wyklad3.pdf

(156 KB) Pobierz
Naprê¿enia g³ówne
1
Wykład 3
II. STAN ODKSZTAŁCENIA
Przemieszczenia i odkształcenia
Oznaczmy przez B 0 obszar zajmowany przez analizowane ciało w chwili początkowej,
a przez b przestrzeń zajmowaną przez nie w dowolnej fazie procesu deformacji.
Na rysunku oznaczono:
x i Î wspłrzędne materialne punktw ciała, wspłrzędne określające położenie punktw
ciała przed obciążeniem,
i Î wspłrzędne przestrzenne punktw ciała, wspłrzędne określające położenie
punktw ciała w dowolnej fazie deformacji.
W chwili początkowej, tuż przed przyłożeniem obciążenia, mamy oczywiście
i
x
i
(1)
Wektor
r
r
r
r
r
u
) (
e
) (
e
) (
x
e
x
e
(2)
i
i
i
1
1
1
2
2
2
3
3
3
nazywamy wektorem przemieszczenia.
Stan przemieszczenia ciała będzie znany jeśli znane będą funkcje wiążące wspłrzędne
materialne x i ze wspłrzędnymi przestrzennymi
i
x
x
100058401.006.png
2
i
i
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
,
i
1
2
3
,
(3)
x
x
(
,
,
)
,
i
1
2
3
.
i
i
1
2
3
Składowe wektora przemieszczenia możemy przedstawić tak
u
i
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
i
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
x
i
,
(4)
będziemy wtedy mwili o opisie materialnym , lub tak
u
i
(
1
,
2
,
3
)
i
x
i
(
1
,
2
,
3
)
.
(5)
W tym przypadku mamy do czynienia z opisem przestrzennym .
Miarą odkształcenia może być zmiana odległości pomiędzy sąsiednimi punktami ciała.
Jeśli odległości pomiędzy dowolnymi punktami ciała nie uległy zmianie, to ciało to nie
uległo żadnym deformacjom choć mogło się przemieścić jako ciało sztywne.
Niech d s 0 oznacza odległość między punktami A i B punktami ciała w konfiguracji
początkowej, a d s Î odległość między punktami a i b punktami ciała w konfiguracji
aktualnej. Jeżeli położenie punktw wybrano tak jak to pokazano na rysunku, to
ds
0
dx
i
dx
i
,
ds
d
i
d
i
.
(6)
Za miarę odkształcenia przyjmiemy rżnicę kwadratw długości odcinkw
elementarnych tj.
ds
2
ds
2
0
d
i
d
i
dx
j
dx
j
.
(7)
Przyjmijmy dalej, że stosujemy opis materialny, tzn. że za zmienne niezależne
przyjmujemy wspłrzędne materialne
x
1
,
x
2
,
x
3
. A zatem
100058401.007.png
3
i
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
,
d
i
i
dx
k
.
(8)
x
k
Tak więc
ds
2
ds
2
0
d
i
d
i
dx
j
dx
j
i
dx
k
i
dx
m
.
dx
j
dx
j
x
x
k
m
(9)
i
dx
k
i
dx
m
.
jk
dx
k
jm
dx
m
i
i
km
dx
k
dx
.
x
x
x
x
k
m
k
m
ale
i
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
u
i
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
x
i
,
(10)
i
u
i
x
i
u
i
,
(11)
ik
x
x
x
x
k
k
k
k
i analogicznie
i
u
i
x
i
u
i
.
(12)
im
x
x
x
x
m
m
m
m
Mamy zatem
ds
2
ds
2
0
u
i
u
i
dx
dx
ik
im
km
k
m
x
x
k
m
(13)
u
u
u
u
m
k
i
i
dx
dx
.
km
km
k
m
x
x
x
x
k
m
k
m
Ostatecznie otrzymujemy (po dozwolonej zmianie indeksw)
ds
2
ds
2
0
u
i
u
j
u
k
u
k
dx
dx
.
(14)
i
j
x
x
x
x
j
i
i
j
1
442
443
G
ij
2
Wielkość dwuwskaźnikową wydzieloną nawiasem oznaczmy przez
2 , gdzie
G
ij
G
1
u
i
u
j
u
k
u
k
1
u
u
u
u
(15)
i
'
j
j
'
i
k
i
k
'
i
ij
2
x
x
x
x
2
j
i
i
j
jest tensorem odkształcenia Greena
Saint-Venanta.
m
'
100058401.008.png
 
4
Gdyby powtrzyć to samo wyprowadzenie z wykorzystaniem opisu przestrzennego,
otrzymalibyśmy miarę deformacji w postaci tensora odkształceń Almansiego :
A
1
u
i
u
j
u
k
u
k
1
u
u
u
u
.
(16)
i
'
j
j
i
k
i
k
i
ij
2
2
j
i
i
j
Dalej rozpatrywać będziemy jedynie problemy, w ktrych przemieszczenia są
niewielkie a iloczyny gradientw przemieszczeń są pomijalnie małe wobec samych
gradientw.
Zamiast tensora Greena
Saint-Venanta (czy tensora Almansiego) używać będziemy
tensor małych odkształceń czyli tensor CauchyÓego :
1
u
u
(17)
ij
2
i
'
j
j
i
Związki te noszą nazwę związkw geometrycznych albo związkw CauchyÓego .
Po założeniu małych odkształceń znika rżnica pomiędzy opisem materialnym a
opisem przestrzennym. Pochodna
u '
oznaczać będzie
u
i
Î wszystkie wielkości
j
x
j
uzależnimy od wspłrzędnych materialnych x i .
Można pokazać, że składowe
ij istotnie są składowymi tensora o walencji 2. Tak więc
11
12
13
ij
21
22
23
(18)
31
32
33
jest macierzową reprezentacją tensora co można pokazać rozpatrując prawo transformacji
(tego tu nie robimy).
Interpretacja składowych stanu odkształcenia. Umowa znakowania
Składowe diagonalne tensora odkształcenia mają interpretację odkształceń liniowych
(wydłużeń) w odpowiednich kierunkach. I tak
u
1
Î jest względnym odkształceniem liniowym włkna leżącego wzdłuż osi x 1 ,
11
x
1
'
'
'
'
100058401.001.png 100058401.002.png 100058401.003.png
 
5
u
2
Î jest względnym odkształceniem liniowym włkna leżącego wzdłuż osi
22
x
2
x 2 ,
u
3
Î jest względnym odkształceniem liniowym włkna leżącego wzdłuż osi
33
x
3
x 3 .
Jeśli chodzi o umowę znakowania, to względne wydłużenia mają znak plus, a względne
skrcenia Î znak minus.
Składowe pozadiagonalne dotyczą odkształceń postaciowych. Ich interpretacja fizyczna
jest następująca:
1
u
2
u
1
Î jest połową
12
2
x
x
1
2
zmiany kąta (w radianach), pomiędzy
początkowo prostopadłymi włknami leżącymi
wzdłuż osi x 1 i osi x 2 .
1
u
3
u
1
Î jest połową zmiany kąta (w radianach), pomiędzy
13
2
x
x
1
3
początkowo prostopadłymi włknami leżącymi wzdłuż osi x 1 i osi x 3 .
1
u
3
u
2
Î jest połową zmiany kąta (w radianach), pomiędzy
23
2
x
x
2
3
początkowo prostopadłymi włknami leżącymi wzdłuż osi x 2 i osi x 3 .
Za dodatnie uważa się zmiany kątowe powodujące zmniejszenie kąta prostego (kąt
prosty przechodzi w kąt ostry).
Przykład.
W pewnym ciele stan przemieszczenia opisują następujące funkcje:
(
u
1
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
x
2
1
L
2
0
.
x
2
2
x
2
3
,
2
u
2
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
0
.
x
1
x
2
,
u
3
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
0
.
x
1
x
3
.
100058401.004.png 100058401.005.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin