Zadania maturalne z matematyki- stereometria poziom podstawowy.pdf

(125 KB) Pobierz

Microsoft Word - STEREOMETRIA.doc

STEREOMETRIA

Poziom podstawowy

Zadanie 1 ( 8 pkt. )

W stoŇku tworzĢca o dþugoĻci 16 jest nachylona do powierzchni podstawy pod kĢtem,

ktrego tangens jest rwny 4

3 . Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy

tego stoŇka.

Zadanie 2 ( 3 pkt. )

ProstokĢtny arkusz blachy o wymiarach 40 cm na 60 cm jest rozwiniħciem powierzchni

bocznej walca. Oblicz objħtoĻę walca, ktrego wysokoĻę jest rwna krtszemu bokowi

prostokĢta.

Zadanie 3 ( 7 pkt. )

ObjħtoĻę prostopadþoĻcianu, ktrego wysokoĻę ma dþugoĻę 10 cm, rwna siħ 480 cm 3 .

Stosunek dþugoĻci krawħdzi podstawy wynosi 3 : 4. Wyznacz miarħ kĢta nachylenia

przekĢtnej prostopadþoĻcianu do pþaszczyzny podstawy. SporzĢdŅ rysunek prostopadþoĻcianu

i zaznacz szukany kĢt.

Zadanie 4 ( 6 pkt. )

Asia chce rozlaę 8 l soku malinowego do sþoiczkw w ksztaþcie graniastosþupa prawidþowego

szeĻciokĢtnego, ktrych wysokoĻę jest rwna dþuŇszej przekĢtnej podstawy. Wykonaj

odpowiednie obliczenia i odpowiedz, czy wystarczy jej 26 sþoiczkw, jeĻli wysokoĻę kaŇdego

z nich jest rwna 0,8 dm?

Zadanie 5 ( 5 pkt. )

KrawħdŅ podstawy ostrosþupa prawidþowego czworokĢtnego ma dþugoĻę 6 cm. Pole

powierzchni caþkowitej tego ostrosþupa jest rwne 108 cm 2 . Wyznacz miarħ kĢta nachylenia

Ļciany bocznej do pþaszczyzny podstawy. SporzĢdŅ rysunek ostrosþupa i zaznacz szukany kĢt.

Zadanie 6 ( 6 pkt. )

Dach pewnej budowli ma ksztaþt ostrosþupa prawidþowego szeĻciokĢtnego. KrawħdŅ boczna

tego ostrosþupa ma dþugoĻę b, a miara kĢta nachylenia tej krawħdzi do pþaszczyzny podstawy

wynosi a. Wyznacz objħtoĻę tego ostrosþupa i tangens kĢta dwuĻciennego miħdzy ĻcianĢ

bocznĢ a pþaszczyznĢ podstawy.

Zadanie 7 ( 4 pkt. )

Agnieszka, planujĢc wycieczkħ za miasto, postanowiþa kupię termos. W sklepie byþy dwa

rodzaje termosw: biaþe i czerwone. Biaþy termos miaþ Ļrednicħ dwa razy wiħkszĢ niŇ

czerwony, ale za to byþ dwa razy niŇszy.

a) Ktry z termosw ma wiħkszĢ pojemnoĻę? OdpowiedŅ uzasadnij.

b) PojemnoĻę czerwonego termosu jest rwna 0,75 litra. Jaka jest pojemnoĻę biaþego

termosu?

Zadanie 8 ( 5 pkt. )

Oblicz objħtoĻę bryþy pokazanej na rysunku. Wymiary podane sĢ w milimetrach.

Poziom rozszerzony

Zadanie 1 ( 8 pkt. )

W ostrosþupie prawidþowym trjkĢtnym, ktrego krawħdzie majĢ dþugoĻę a, poprowadzono

pþaszczyznħ przechodzĢcĢ przez krawħdŅ podstawy i Ļrodek przeciwlegþej krawħdzi bocznej.

Pþaszczyzna przekroju nachylona jest do pþaszczyzny podstawy pod kĢtem a.

a) WykaŇ, Ňe

cos

a

6

.

3

b) SporzĢdŅ rysunek ostrosþupa i zaznacz kĢt a.

Zadanie 2 ( 4 pkt. )

Ostrosþup Ļciħty to czħĻę ostrosþupa zawarta miħdzy jego podstawĢ i przekrojem pþaszczyznĢ

rwnolegþa do podstawy. ĺciany boczne ostrosþupa Ļciħtego sĢ trapezami, a podstawy

wielokĢtami podobnymi.

Ostrosþup prawidþowy o objħtoĻci V = 216 cm 3 przeciħto pþaszczyznĢ rwnolegþĢ do

podstawy, dzielĢcĢ wysokoĻę tego ostrosþupa w stosunku 12, liczĢc od jego wierzchoþka.

Oblicz objħtoĻę ostrosþupa Ļciħtego.

®ABC . Promieı

okrħgu opisanego na tym trjkĢcie ma dþugoĻę R. TrjkĢt obracamy wokþ boku BC. Oblicz

objħtoĻę otrzymanej bryþy obrotowej.

®BCA ,

a

®BAC , zaĻ

=

b

>

90

A

Zadanie 4 ( 3 pkt. )

JakĢ figurĢ jest przekrj szeĻcianu pþaszczyznĢ przechodzĢcĢ przez Ļrodki dwch sĢsiednich

krawħdzi i Ļrodek symetrii szeĻcianu? Oblicz pole tego przekroju, przyjmujĢc, Ňe krawħdŅ

szeĻcianu ma dþugoĻę a. Wykonaj rysunek.

Zadanie 5 ( 6 pkt. )

PrzekĢtna przekroju osiowego walca ma dþugoĻę d i jest nachylona do pþaszczyzny podstawy

pod kĢtem a. W walec wpisano graniastosþup prawidþowy szeĻciokĢtny. Oblicz pole

powierzchni tego graniastosþupa i dþugoĻę jego krtszej przekĢtnej.

Zadanie 3 ( 6 pkt. )

Dany jest trjkĢt ABC, w ktrym

=

118538863.086.png

118538863.097.png

118538863.108.png

118538863.001.png

118538863.012.png

Zadanie 6 ( 10 pkt. )

W prostopadþoĻcianie przekĢtne Ļcian bocznych poprowadzone z tego samego wierzchoþka

majĢ dþugoĻci rwne 5 i 4. KĢt, ktrego ramiona zawierajĢ te przekĢtne, ma miarħ 60 0 . Oblicz

sinus kĢta nachylenia przekroju prostopadþoĻcianu wyznaczonego przez te przekĢtne do

podstawy tego prostopadþoĻcianu.

SCHEMAT PUNKTOWANIA Î STEREOMETRIA

Poziom podstawowy

Numer

zadania

Etapy rozwiĢzania zadania

Liczba

punktw

Wykonanie rysunku lub przyjħcie oznaczeı, np. h- dþugoĻę wysokoĻci

stoŇka, r- dþugoĻę promienia podstawy.

1

Zapisanie ukþadu rwnaı pozwalajĢcego wyznaczyę wysokoĻę stoŇka

Ë

h

=

3

2

i promieı jego podstawy:

r

4

.

Ì

h

2

+

r

2

=

16

2

RozwiĢzanie zapisanego ukþadu rwnaı:

h ,

=

48

r .

=

64

5

5

2

1

( w wypadku jednego bþħdu rachunkowego Î 1 pkt. )

1024

Obliczenie pola powierzchni bocznej stoŇka:

P .

=

p

1

5

Obliczenie pola podstawy stoŇka:

P .

=

4096

p

1

25

Obliczenie stosunku pola powierzchni bocznej do pola podstawy tego

stoŇka:

b

P

=

5

.

1

4

p

SporzĢdzenie rysunku wraz z oznaczeniami lub wprowadzenie opisowych

oznaczeı

1

2

Obliczenie dþugoĻci promienia r podstawy walca: cm

r

= .

30

1

p

36000

Obliczenie objħtoĻci walca

V cm 3 .

=

1

p

SporzĢdzenie rysunku prostopadþoĻcianu i zaznaczenie na nim szukanego

kĢta.

1

Ë

10

ab

=

480

Zapisanie ukþadu rwnaı:

a

=

3

, gdzie a, b to dþugoĻci krawħdzi

2

Ì

3

b

4

podstawy.

Obliczenie dþugoĻci krawħdzi podstawy: 6cm, 8 cm.

2

Obliczenie dþugoĻci przekĢtnej podstawy: d = 10 cm.

1

ZauwaŇenie, Ňe a= 45 0

1

SporzĢdzenie rysunku i przyjħcie oznaczeı, np. h- wysokoĻę

graniastosþupa, d = h- dþugoĻę dþuŇszej przekĢtnej podstawy, a- dþugoĻę

krawħdzi podstawy

1

Wykorzystanie wþasnoĻci szeĻciokĢta foremnego i zauwaŇenie, Ňe dþugoĻę

krawħdzi podstawy jest rwna poþowie dþugoĻci dþuŇszej przekĢtnej:

4

a

=

1

d

=

1

h

=

0

4

dm

.

1

2

2

Ê

P

Ê

118538863.023.png

118538863.029.png

118538863.030.png

118538863.031.png

118538863.032.png

118538863.033.png

118538863.034.png

118538863.035.png

118538863.036.png

118538863.037.png

118538863.038.png

118538863.039.png

118538863.040.png

118538863.041.png

118538863.042.png

118538863.043.png

118538863.044.png

118538863.045.png

118538863.046.png

118538863.047.png

118538863.048.png

118538863.049.png

118538863.050.png

118538863.051.png

118538863.052.png

118538863.053.png

118538863.054.png

118538863.055.png

118538863.056.png

118538863.057.png

118538863.058.png

118538863.059.png

118538863.060.png

118538863.061.png

118538863.062.png

118538863.063.png

Numer

zadania

Etapy rozwiĢzania zadania

Liczba

punktw

1

a

2

3

Obliczenie pola podstawy graniastosþupa:

P P

=

6

µ

=

0

24

3

dm 2

4

4

Obliczenie objħtoĻci sþoiczka:

V

=

0

192

3

l.

1

Obliczenie, ile soku zmieĻci siħ w 26 sþoiczkach: 4,992 3 l .

1

Oszacowanie þĢcznej pojemnoĻci sþoiczkw: ok. 8,64 l. Podanie

odpowiedzi.

1

SporzĢdzenie rysunku ostrosþupa i zaznaczenie szukanego kĢta a.

1

Zapisanie wzoru na pole powierzchni caþkowitej ostrosþupa:

42 + 4 0,5 6 h = 108, gdzie h- dþugoĻę wysokoĻci Ļciany bocznej .

1

5

Obliczenie dþugoĻci wysokoĻci Ļciany bocznej: h = 6 cm.

1

Obliczenie cosinusa szukanego kĢta:

cos

a

3

=

1

.

1

6

2

Podanie miary kĢta: a= 60 0

1

SporzĢdzenie rysunku wraz z oznaczeniami i poprawnym zaznaczeniem

kĢtw. np. h- wysokoĻę ostrosþupa, a- dþugoĻę krawħdzi podstawy,

b- miara kĢta dwuĻciennego przy podstawie, P p - pole podstawy,

V- objħtoĻę.

1

Obliczenie dþugoĻci wysokoĻci

h .

= b

µ

sin

a

1

Obliczenie dþugoĻci krawħdzi podstawy

a .

= b

µ

cos

a

1

6

Obliczenie pola podstawy ostrosþupa: =

P P =

3

3

b

2

cos

2

a

.

1

2

Obliczenie objħtoĻci:

V p

=

1

P

µ

h

=

3

b

3

cos

2

asin

a

.

1

3

2

Wyznaczenie

tg

b

=

2

3

tg

a

i sformuþowanie odpowiedzi.

1

3

Obliczenie promienia podstawy walca i stoŇka: r = 60 mm.

1

Zapisanie proporcji:

r

=

tg 30 0

1

h

8

Zastosowanie wzoru na objħtoĻę walca i obliczenie objħtoĻci:

V w = 144 000 pmm 3

1

Zastosowanie wzoru na objħtoĻę stoŇka i obliczenie objħtoĻci:

V s = 72 000

3 mm 3

1

Obliczenie objħtoĻci bryþy: V = 72 000 p(2 + 3 ) mm 3

1

Wprowadzenie oznaczeı, np. r, h - wymiary biaþego termosu,

0,5r, 2h Î wymiary czerwonego termosu.

1

7

Wyznaczenie wzorw na objħtoĻę termosw: V b = pr 2 h, V c = 0,5pr 2 h.

1

Obliczenie stosunku objħtoĻci termosw V b V c = 2 i uzasadnienie, Ňe

Agnieszka powinna kupię biaþy termos.

1

Obliczenie objħtoĻci biaþego termosu: V b = 1,5 l

1

118538863.064.png

118538863.065.png

118538863.066.png

118538863.067.png

118538863.068.png

118538863.069.png

118538863.070.png

118538863.071.png

118538863.072.png

118538863.073.png

118538863.074.png

118538863.075.png

118538863.076.png

118538863.077.png

118538863.078.png

118538863.079.png

118538863.080.png

118538863.081.png

118538863.082.png

118538863.083.png

118538863.084.png

118538863.085.png

118538863.087.png

118538863.088.png

118538863.089.png

118538863.090.png

118538863.091.png

118538863.092.png

118538863.093.png

118538863.094.png

118538863.095.png

118538863.096.png

118538863.098.png

118538863.099.png

118538863.100.png

118538863.101.png

118538863.102.png

118538863.103.png

118538863.104.png

118538863.105.png

118538863.106.png

118538863.107.png

118538863.109.png

118538863.110.png

118538863.111.png

118538863.112.png

118538863.113.png

118538863.114.png

118538863.115.png

118538863.116.png

118538863.117.png

118538863.118.png

118538863.002.png

118538863.003.png

118538863.004.png

118538863.005.png

118538863.006.png

118538863.007.png

118538863.008.png

118538863.009.png

118538863.010.png

118538863.011.png

118538863.013.png

118538863.014.png

118538863.015.png

118538863.016.png

118538863.017.png

118538863.018.png

118538863.019.png

118538863.020.png

118538863.021.png

118538863.022.png

118538863.024.png

118538863.025.png

118538863.026.png

118538863.027.png

118538863.028.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin