S.Kryszewski - Mechanika kwantowa - zadania.pdf
(
510 KB
)
Pobierz
57182765 UNPDF
3.10.2004
Zadania domowe: Seria 1
1
Zadania domowe: Seria 1
Zadanie 1.1.
(Macierze Pauliego cz.1)(1.43)
Znale¹¢ unormowane wektory wªasne i warto±ci wªasne dla operatorów
!
!
0 1
1 0
0
i
i
0
x
=
y
=
Zadanie 1.2.
(Macierz
S
y
spinu 1)(1.44)
Dany jest wypisany obok operator.
0
@
0
p
2
0
1
A
S
=
p
0
p
A.) Zbada¢, czy operator ten jest hermitowski.
B.) Obliczy¢ warto±ci wªasne tego operatora.
C.) Znale¹¢ odpowiednie wektory wªasne.
2
2
0
p
2
0
Zadanie 1.3.
(Operatory i ich wªasno±ci)(1.1)
Niech
A
oraz
B
b¦d¡ operatorami. Sprowadzi¢ do prostszej postaci wyra»enie:
B
2
+(
A
B
)(
A
+
B
)
A
2
:
Zadanie 1.4.
(Elementarne wªasno±ci operatorów)(1.2)
Wykaza¢, »e o ile istniej¡ operatory odwrotne do operatorów
A
i
B
to speªniona jest relacja
(
AB
)
1
A
1
.
Zadanie 1.5.
(Hermitowsko±¢ i unitarno±¢ operatorów)(1.3)
Wykaza¢, »e:
A.) Warto±ci wªasne operatora hermitowskiego s¡ rzeczywiste.
B.) Wektory wªasne
j
f
1
i
i
j
f
2
i
odpowiadaj¡ce dwóm ró»nym warto±ciom wªasnym s¡ ortogo-
nalne.
Zadanie 1.6.
(Hermitowsko±¢ i unitarno±¢ operatorów)(1.4)
Zbada¢ hermitowsko±¢ nast¦puj¡cych operatorów:
a
:
)
A
+
A
y
;
b
:
)
AA
y
;
c
:
)
A
A
y
;
d
:
)
i
(
A
A
y
)
;
gdzie
A
jest dowolnym operatorem liniowym.
Zadanie 1.7.
(Hermitowsko±¢ i unitarno±¢ operatorów)(1.5)
Zbada¢ hermitowsko±¢ nast¦puj¡cych operatorów:
a
:
)
H
+
K
y
;
b
:
)
HK
y
;
c
:
)
HKH;
d
:
)
H
n
;
h
H; K
i
h
i
h
i
H; K
H; K
e
:
)
+
;
f
:
)
;
g
:
)
i
;
gdzie
H
i
K
s¡ dowolnymi operatorami hermitowskimi, za±
;
oraz
;
+
oznaczaj¡ odpowied-
nio komutator i antykomutator dwóch operatorów.
S.Kryszewski
MECHANIKA KWANTOWA
1
1
=
B
3.10.2004
Zadania domowe: Seria 1
2
Zadanie 1.8.
(Hermitowsko±¢ i unitarno±¢ operatorów)(1.6)
Niech
H
b¦dzie operatorem hermitowskim, dla którego istniej¡ operatory odwrotne
H
1
oraz
(
H
y
)
1
. Udowodni¢, »e
a
:
) (
H
y
)
1
= (
H
1
)
y
;
b
:
) (
H
y
)
1
=
H
1
:
Zadanie 1.9.
(Hermitowsko±¢ i unitarno±¢ operatorów)(1.9)
Jakie warunki musz¡ speªnia¢ operatory hermitowskie
K
i
H
, na to, aby operator
A
=
H
+
iK
byª operatorem:
a
:
) normalnym
;
b
:
) unitarnym
;
c
:
) speªniaj¡cymrelacj¦ :
h
A
y
; A
i
= 2
C:
gdzie
C
jest pewnym ustalonym (znanym) operatorem.
Zadanie 1.10.
(Hermitowsko±¢ i unitarno±¢ operatorów)(1.10)
Jaki warunek (warunki) musi speªnia¢ operator hermitowski na to, aby jednocze±nie byª unitarny.
Omówi¢ uzyskane wyniki.
Zadanie 1.11.
(Funkcje operatorowe, itp.)(1.35)
Zakªadamy, »e istnieje operator
A
1
odwrotny do danego. Udowodni¢ przez indukcj¦,
»e: (
A
n
)
1
=(
A
1
)
n
.
Zadanie 1.12.
(Funkcje operatorowe, itp.)(1.36)
Wykaza¢ relacj¦
A B
n
A
1
=
A B A
1
n
.
Zadanie 1.13.
(Funkcje operatorowe, itp.) (1.37)
Zakªadamy, »e dla danego operatora
A
istnieje operator (1
A
)
1
. Pokaza¢, »e
X
1
(1
A
)
1
=
A
n
:
n
=0
Zadanie 1.14.
(Funkcje operatorowe, itp.)(1.38)
Niech
A; B
operatory.
2
C, za±
n
2
N. Pokaza¢, »e zachodzi zwi¡zek
e
A
B
n
e
A
=
h
e
A
Be
A
i
n
:
Zadanie 1.15.
(Funkcje operatorowe, itp.)(1.39)
Udowodni¢, »e zachodzi nast¦puj¡ca relacja operatorowa:
e
A
Be
A
=
B
+
h
A; B
i
+
2
2!
h
A;
h
A; B
ii
+
3
3!
h
A;
h
A;
h
A; B
iii
+
::::::;
gdzie
2
C. Zwró¢my uwag¦, »e relacja ta przypomina rozwini¦cie Taylora.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
S.Kryszewski
MECHANIKA KWANTOWA
2
3.10.2004
Zadania domowe: Seria 2
3
Zadania domowe: Seria 2
Zadanie 2.1.
(Hermitowsko±¢ i unitarno±¢ operatorów)(1.11)
Niech
A
hermitowski. Zbada¢ unitarno±¢ operatora
B
=exp(
iA
), gdzie
2
C.
Zadanie 2.2.
(Elementarne wªasno±ci komutatorów)(1.13)
Udowodni¢ nast¦puj¡ce relacje komutacyjne:
a
:
)
A; B
=
B; A
;
b
:
)
A; a
= 0
;
c
:
)
(
aA
bB
)
; D
=
a
A; D
b
B; D
;
d
:
)
AB; D
=
A
B; D
+
A; D
B;
e
:
)
A; BC
=
B
A; C
+
A; B
C
f
:
)
A
2
; B
=
A
A; B
+
A; B
A:
gdzie
a
i
b
s¡ dowolnymi liczbami zespolonymi.
Zadanie 2.3.
(Elementarne wªasno±ci komutatorów)(1.14)
Nast¦puj¡ce komutatory sprowadzi¢ do prostszej postaci:
a
:
)
(
A
B
)
;
(
A
+
B
)
;
b
:
)
(
A
)
;
(
B
+
)
;
2
C
;
c
:
)
(
A
B
)
;
(
A
+
B
)
+
;
gdzie
A; B
+
=
AB
+
AB
jest tak zwanym antykomutatorem dwóch operatorów.
Zadanie 2.4.
(Elementarne wªasno±ci komutatorów)(1.15)
Obliczy¢ sum¦ komutatorów:
A; B
; C
+
B; C
; A
+
C; A
; B
:
Zadanie 2.5.
(Elementarne wªasno±ci komutatorów)(1.16)
Udowodni¢ to»samo±ci operatorowe:
a
:
)
A; B
; C
=
C;
B; A
b
:
)
A; B
; C
=
AB; C
+
C; BA
:
Zadanie 2.6.
(Przemienno±¢ operatorów)(1.17)
Niech operator
A
speªnia relacj¦:
A; A
y
=1. Obliczy¢ komutator:
A
2
; A
y
.
Zadanie 2.7.
(Przemienno±¢ operatorów)(1.18)
Zbada¢ przemienno±¢ operatorów
A
oraz
B
speªniaj¡cych kolejno warunki:
a
:
) [
A; B
]
+
=2
AB
;
b
:
)
A
=
BAB
1
;
gdzie
A; B
+
jest antykomutatorem.
S.Kryszewski
MECHANIKA KWANTOWA
3
3.10.2004
Zadania domowe: Seria 2
4
Zadanie 2.8.
(Przemienno±¢ operatorów)(1.19)
Niech operator
A
b¦dzie przemienny z operatorami
B
oraz
C
. Obliczy¢ komutatory:
a
:
) [
A;
[
B; C
]]
;
b
:
) [
B
2
+
C
2
; A
]
:
Zadanie 2.9.
(Przemienno±¢ operatorów)(1.20)
Jakie warunki musz¡ speªnia¢ operatory
A
oraz
B
na to, aby byªy przemienne z operatorem:
C
=
A
+
B
, gdzie
;
2
C.
Zadanie 2.10.
(Przemienno±¢ operatorów)(1.21)
Niech
K; H
b¦d¡ operatorami hermitowskimi, speªniaj¡cymi relacj¦ komutacyjn¡:
[
H; K
]=
1
2
i
. Okre±lamy nowy operator
A
=
H
+
iK
. Obliczy¢ komutatory:
a
:
)
A; A
y
;
b
:
)
A; H
;
c
:
)
A; K
;
d
:
)
(
A
+
A
y
)
; K
;
e
:
)
K; AA
y
;
f
:
)
A; AA
y
:
Zadanie 2.11.
(Przemienno±¢ operatorów)(1.22)
Niech
=0. W punkcie a) zakªadamy istnienie
B
1
odwrotnego do
B
. Pokaza¢, »e
a
:
)
A; B
1
=0
;
b
:
)
A; B
n
=0
:
Zadanie 2.12.
(Po»yteczne relacje komutatorowe)(1.23)
A
oraz
B
s¡ pewnymi operatorami. Udowodni¢ nast¦puj¡ce stwierdzenie:
n
A; B
=
;
2
C
o
=
)
n
A
n
; B
=
nA
n
1
o
:
Zadanie 2.13.
(Po»yteczne relacje komutatorowe)(1.24)
Pokaza¢, »e zachodzi nast¦puj¡ca relacja komutacyjna:
X
n
A
n
; B
A
n
k
A; B
A
k
1
:
=
k
=1
Zadanie 2.14.
(Po»yteczne relacje komutatorowe)(1.25)
Niech
W
(
x
)=
P
k
=0
a
k
x
k
oznacza wielomian n-tego stopnia. Wykaza¢ nast¦puj¡ce stwierdzenie:
n
A; B
o
n
W
(
A
)
; B
=
dW
(
A
)
o
=
;
2
C
=
)
:
dA
Ostatnia pochodna powstaje przez zró»niczkowanie wielomianu
W
(
x
) po zmiennej
x
, a nast¦pnie
podstawienie
A
zamiast
x
.
Zadanie 2.15.
(Po»yteczne relacje komutatorowe)(1.26)
Niech funkcja
F
(
z
) ma rozwini¦cie w szereg
F
(
z
)=
P
1
n
=0
a
n
z
n
, (szereg Taylora, gdzie
a
n
s¡
liczbami zespolonymi).
Niech
A
oraz
B
b¦d¡ dwoma operatorami, których komutator
C
=
A; B
ma wªasno±¢
A; C
=0=
B; C
:
Udowodni¢, »e:
[
A; F
(
B
)] = [
A; B
]
dF
(
B
)
dB
:
gdzie
dF
(
z
)
=dz
=
F
0
(
z
) jest pochodn¡ funkcji
F
(
z
).
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
S.Kryszewski
MECHANIKA KWANTOWA
4
A; B
3.10.2004
Zadania domowe: Seria 3
5
Zadania domowe: Seria 3
Zadanie 3.1.
(Operatorowy model momentu p¦du)(1.42)
Niech operatory hermitowskie
A
,
B
,
C
speªniaj¡ nast¦puj¡ce trzy zwi¡zki komutacyjne:
h
A; B
i
=
iC;
(
ii
)
h
B; C
i
=
iA;
(
iii
)
h
C; A
i
=
iB;
(
i
)
Deniujemy operator
T
=
B
+
iC
. Obliczy¢ nast¦puj¡ce komutatory:
h
T; T
i
h
A; T
i
h
T
; A
i
a
:
)
y
;
b
:
)
;
c
:
)
y
;
h
A
2
; T
i
h
A;
(
B
2
+
C
2
)
i
d
:
)
;
e
:
)
:
Zadanie 3.2.
(To»samo±ci BakeraHausdora)(1.40)
Niech
A; B
operatory speªniaj¡ce relacje komutacyjne: [
A;
[
A; B
]]=0=[
B;
[
B; A
]].
Pokaza¢, »e:
a
:
)
e
A
+
B
=
e
A
e
B
exp
1
2
A; B
;
b
:
)
e
A
+
B
=
e
B
e
A
exp
+
1
2
A; B
:
Zadanie 3.3.
(Hermitowsko±¢ i unitarno±¢ operatorów)(1.7)
Rozwa»amy przestrze«
L
2
(
a;b
) funkcji caªkowalnych w kwadracie na odcinku (
a;b
) (±ci±lej, pod-
przestrze« funkcji falowych znikaj¡cych na brzegach przedziaªu). W przestrzeni tej mamy
iloczyn skalarny
Z
b
h
f; g
i
=
dxf
(
x
)
g
(
x
)
:
a
Udowodni¢, »e operator
A
F
dziaªaj¡cy na tej przestrzeni i polegaj¡cy na mno»eniu
f
2
L
2
(
a;b
)
przez funkcj¦
F
(
x
)
(
x
)=
F
(
x
)
f
(
x
)
jest hermitowski, tj.
A
F
=
A
F
.
dx
na przestrzeni
L
2
(
a;b
) jest operatorem hermitowskim. Poda¢
peªny dowód (tzn. nie korzysta¢ z »adnych stwierdze« pomocniczych).
dx
(dziaªaj¡cego w przestrzeni funkcji falowych
funkcji caªkowalnych w kwadracie z odpowiednimi warunkami brzegowymi).
Zadanie 3.6.
(Operatory poªo»enia i p¦du)(1.28)
Zbada¢ przemienno±¢ nast¦puj¡cych operatorów:
A
=
x
,
B
=
d
dx
.
S.Kryszewski
MECHANIKA KWANTOWA
5
A
F
f
y
Zadanie 3.4.
(Hermitowsko±¢ i unitarno±¢ operatorów)(1.8)
Udowodni¢, »e operator
i
d
Zadanie 3.5.
(Operatory poªo»enia i p¦du)(1.27)
Znale¹¢ operator sprz¦»ony do operatora
D
x
=
d
Plik z chomika:
hinatka3991
Inne pliki z tego folderu:
Fizyka - siedem teorii, które wstrząsnęły światem.tif
(88576 KB)
Mechanika ogólna - statyka (Hendzel, Żylski).pdf
(9952 KB)
Kwanty i fale - Oldrich Lepil.pdf
(10166 KB)
Podstawy analizy układów kinematycznych.pdf
(7565 KB)
S.Kryszewski - Mechanika kwantowa - kurs podstawowy.pdf
(6382 KB)
Inne foldery tego chomika:
Pliki dostępne do 21.01.2024
! spakowane RAR (hasło EN)
!Sonic Generations! ★★★★★★★★★★
#
# ★RYSUNEK I MALARSTWO★
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin