Rozwiązywanie numeryczne równań nieliniowych
Wyznaczanie przedziałów izolacji. Niech będzie dane nieliniowe równanie algebraiczne
,
przy czym funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym .
Zadanie polega na odnalezieniu takich przedziałów
które zawierają pojedyncze pierwiastki równania . W tym celu będziemy obliczać wartości funkcji od punktu do punktu z krokiem . Jeżeli w sąsiednich punktach funkcji ma przeciwny znaki
to przedział zawiera pierwiastek.
Zawsze zostaje problem wybory wielkości przedziału . W związku z tym powyższy algorytm uzupełniamy dodatkowo sprawdzaniem warunku
.
W przeciwnym razie krok należę dzielić na pół, dopóki nie przekonamy się, że przedział nie zawiera pierwiastka.
Dotoczymy schemat blokowy poszukiwania przedziałów zawierających pierwiastki.
Koniec!
Metoda równego podziału. Dane jest nieliniowe równanie algebraiczne
przy czym funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym oraz zachodzi nierówność
Twierdzenie (Bolzano – Cauchy’ego). Jeśli funkcja ciągła ma na końcach przedziału domkniętego wartości różnych znaków, to wewnątrz tego przedziału istnieje co najmniej jeden pierwiastek równania .
, , … , , …
przy czym
oraz
Ponieważ , to z poprzedniego wyrażenia wynika istnienie wspólnej granicy .
Oto schemat blokowy algorytmu
Drukuj
Metoda siecznych. Zamiast dzielić przedział na dwie połowy podzielimy go w stosunku
W interpretacji geometrycznej metoda siecznych oznacza zastąpienie krzywej przez cięciwę łączącą punkty
i .
Teoretycznie możliwy cztery różne przypadki podane na rysunku. Punkt, w którym wartość funkcji ma taki sam znak, jak i druga pochodna , pozostaje nieruchomy.
Na rysunkach
nieruchomy jest punkt .
Wtedy otrzymujemy rosnący ciąg ograniczony
, ,
Wtedy otrzymujemy malejący ciąg ograniczony
Oto schemat blokowy odpowiedniego algorytmu dla metody siecznych.
Metoda stycznych. Zakładając, że oraz że pierwsza pochodna i druga pochodna są ciągłe i nie zmieniają znaku w przedziale domkniętym , pierwiastek równania można znaleźć metodą Newtona według wzoru
Jako przybliżenie zerowe wybieramy ten punkt, w którym wartości funkcji i druga pochodna jednakowe znaki. Na przykład, punkt na rysunkach
lub punkt dla poniższych wykresów
Oto schemat blokowy odpowiedniego algorytmu.
Przykład. Znaleźć pierwiastek kwadratowy z liczby (Babilon), tj. rozwiązać równanie
Powyższy wzór Newtona przybiera postać
Metoda iteracji. Metoda ta oparta jest na pojęciu odwzorowania zwężającego.
Definicja. Odwzorowanie przestrzeni metrycznej w siebie
nazywamy odwzorowaniem zwężającym, gdy istnieje taka liczba (), że
dla dowolnych .
Odwzorowanie zwężające jest ciągłym, ponieważ
i ,
wówczas
a więc .
Twierdzenie Banacha. Niech będzie odwzorowaniem zwężającym przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie. Wtedy istnieje jeden i tylko jeden punkt taki, że
Ponadto, jeżeli jest dowolnym punktem przestrzeni oraz
to
i zachodzi nierówność
Twierdzenie Banacha podaje metodę przybliżonego rozwiązywania równania o postaci
za pomocą ciągu
która znana jak metoda iteracji albo metoda kolejnych przybliżeń.
Twierdzenie. Niech funkcja będzie określona i różniczkowalna w przedziale domkniętym i niech jej wartości należą do tego przedziału. Wtedy jeśli istnieje ułamek właściwy taki, że
to proces iteracyjny jest zbieżny niezależnie od przybliżenia początkowego , zaś wartość graniczna
jest jedynym pierwiastkiem równania w przedziale domkniętym .
Więc idea metody iteracji jest sprowadzić każde równanie do równoważnej postaci i następnie sprawdzić warunki poprzedniego twierdzenia.
Interpretacja geometryczna podana na poniższych rysunkach.
metoda iteracyjna jest zbieżna (), wówczas na rysunkach
metoda iteracyjna jest rozbieżna ().
...
fizykauwk