Zagadnienie Cauchy.docx

Zagadnienie Cauchy’ego

Punkty w których poszukujemy przybliżonego rozwiązania albo obiera się z góry,

albo wybiera się kolejno w trakcie konstruowania rozwiązania przybliżonego.

Nazywamy je węzłami i oznaczymy przez x0, x1, x2, .... , xn .

Na ogół węzły dobiera się tak, aby wielkości hn = xn+1 - xn , zwane krokami

całkowania, były dostatecznie małe.

Przyjmujemy założenie, że węzły są równoodległe, tj

xi = x0 + i×h , i = 1, 2, ...., n

h=(b-x0)/n

gdzie h jest krokiem całkowania.

W praktyce, podczas obliczeń, można zmieniać krok h.

Najprostszą metodą dyskretną jest jawna metoda Eulera, według której

yi+1 = yi + h×f (xi , yi) , i = 0, 1, 2, .....

co pozwala kolejno określać y1, y2 , ..... , jeśli tylko dane są x0 i y0 .

Metoda Eulera ma prostą interpretację geometryczną.

Oznaczymy punkty Mi = Mi(xi,yi) . Odcinek MiMi+1 ma w punkcie Mi kierunek

zgodny z kierunkiem stycznej do rozwiązania, które przechodzi przez ten punkt.

Pojęcie zbieżności metody dyskretnej jest podstawowym pojęciem teorii

metod rozwiązywania zagadnień (1).

Niech y = y(x) będzie rozwiązaniem (dokładnym) zagadnienia (1) i niech yi = yi(h)

oznacza przybliżone rozwiązanie tego zagadnienia w punktach

xi = xi(h), i = 1, 2, ... , n = n(h)

otrzymane pewną metodą dyskretną.

Oznaczymy przez

ei = ei(h) = y(xi) - yi(h)

błąd przybliżenia odpowiadający punktowi xi.

Idea zbieżności metody dyskretnej jest następująca: im bardziej gęsty jest podział

odcinka [x0 , b] węzłami, tym mniejsze są błędy ei odpowiadające tym punktom.

Powiemy, że metoda jest zbieżna, jeżeli błędy te zbiegają do zera, gdy h maleje do zera.

Z praktycznego punktu widzenia ważna jest szybkość tej zbieżności.

Największą liczbę całkowitą p taką, że dla dostatecznie małych h zachodzi

nierówność

|ei(h)|≤c*hp
dla kaŜdego i = 0,1, ... ,n(h) , gdzie c jest stałą niezalażną od h, nazywamy

rzędem metody.

Metoda Eulera jest rzędu 1-go. Również rzędu 1 jest niejawna metoda Eulera

yi+1 = yi + h×f (xi+1, yi+1) , i = 0, 1, 2, .....

Jeżeli znamy już yi , to i-tą spośród powyższych równości można traktować

jako równanie z niewiadomą yi+1 . Zatem wyznaczenie yi+1 wymaga rozwiązania

równania (na ogół nieliniowego). Zakładamy, że równanie to dla dostatecznie

małych h ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Standardowo proponuje się rozwiązywać je następującą metodą iteracyjną

(indeks iteracji oznaczony jest literą j)

(yi+1)<j+1>=yi+h*f[xi+1;(yi+1)<j+1>], j=0, 1, 2,…

gdzie przybliżenie początkowe (yi+1)<0> jest wyznaczane jawną metodą Eulera

(yi+1)<0> = yi + h*f(xi;yi)

Do obliczenia yi+1 z ustaloną dokładnością, wystarcza na ogół, wobec faktu, Ŝe

h jest małe, niewielka liczba iteracji.