am2-a-b_2.pdf
(
177 KB
)
Pobierz
am2ab-lz.dvi
ANALIZAMATEMATYCZNA 2A,B
MAP:2017,2022,2023,2024,2030
Listazadań
Semestrletni2008/09
Całkioznaczone
1
Korzystając z denicji oraz z faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne obliczyć podane całki oznaczone i
podać ich interpretację geometryczną:
2
3
2
a)
(
x
−
1)
dx
;
b)
x
2
dx
;
c)
e
x
dx
.
1
2
−
1
Wskazówka.Ad.
b)
.Zastosowaćwzory1+2+
...
+
n
=
n
(
n
+1)
2
,1
2
+2
2
+
...
+
n
2
=
n
(
n
+1)(2
n
+1)
6
;
Ad.
c)
. Zastosować wzór na sumę ciągu geometrycznego
a
+
aq
+
...
+
aq
n
−
1
=
a
1
−
q
n
1
−
q
oraz wykorzystać równość
e
h
−
1
h
lim
h
→
0
=1;
2
Korzystając z twierdzenia NewtonaLeibniza obliczyć podane całki:
2
√
1
9
x
+
1
4
x
−
1
x
+1
dx
;
c)
dx
x
2
+9
;
a)
3
√
dx
;
b)
x
1
0
0
1
2
dx
x
2
−
1
;
e)
e
d)
ln
xdx
;
f)
sin
2
x
cos
xdx
.
−
2
e
0
* 3
Korzystając z denicji całki oznaczonej uzasadnić podane równości:
a)
lim
n
→∞
4
n
tg
4
n
+tg
2
4
n
+
...
+tg
n
√
=ln
2;
4
n
b)
lim
n
→∞
1
3
+2
3
+
...
+
n
3
n
4
=
1
4
;
c)
lim
n
→∞
n
ln
(1+
n
)
(2+
n
)
...
(
n
+
n
)
=ln4
−
1.
n
n
4
Obliczyć podane całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień:
1
2
ln3
e
x
dx
1+
e
2
x
, t
=
e
x
;
b)
3
xdx
√
a)
sin
xe
cos
x
dx, t
=cos
x
;
c)
x
+1
,
1+
x
=
t
2
;
0
0
1
√
1
3
1
x
−
x
3
dx
x
4
dx
3
, x
=
1
d)
√
x
(4
−
x
)
, x
=
t
2
;
e)
9
−
x
2
dx, x
=3sin
t
;
f)
t
.
0
1
3
1
4
5
Metodą całkowaniaprzez części obliczyć podane całki oznaczone:
1
4
a)
x
2
e
2
x
dx
;
b)
x
sin2
xdx
;
c)
x
(1+cos
x
)
dx
;
0
0
0
2
1
e
ln
x
x
2
dx
.
d)
ln
xdx
;
e)
arcsin
xdx
;
f)
√
1
0
e
1
1
6
Narysować funkcje podcałkowe i obliczyć podane całki oznaczone:
2
1
a)
||
x
|−
1
|
dx
;
b)
|
e
x
−
1
|
dx
;
−
2
−
1
2
x
−
x
2
3
c)
sgn
dx
;
d)
x
⌊
x
⌋
dx
.
−
2
1
7
Obliczyćwartościśredniepodanychfunkcjinawskazanychprzedziałachipodaćichinterpretacjegeome
tryczną:
a)
f
(
x
)=
1
x
2
+4
,
[0
,
2];
b)
f
(
x
)=sin
3
x,
[0
,
];
c)
f
(
x
)=arctg
x,
0
,
√
3
;
d)
f
(
x
)=
x
1+
x
2
,
[0
,
2].
8
Wykorzystując własności całek z funkcji parzystych, nieparzystych lub okresowych uzasadnić podane
równości:
1
x
5
−
3
x
3
+
x
x
4
+2
x
2
+1
dx
=0;
b)
x
sin
xdx
2+cos
x
2
=2
x
sin
xdx
2+cos
x
2
;
a)
−
1
−
0
e
ln
1+sin
x
5
1
c)
1
−
sin
x
dx
=0;
d)
(
x
−⌊
x
⌋
)
dx
=5
(
x
−⌊
x
⌋
)
dx
.
−
e
0
0
9
Obliczyć pola obszarów ograniczonychpodanymi krzywymi:
a)
y
=2
x
−
x
2
, x
+
y
=0;
b)
y
=
x
3
, y
=2
x
;
c)
y
=
x
2
, y
=
1
2
x
2
, y
=3
x
;
8
x
2
+4
;
e)
yx
2
=1
, y
=
x, y
=8
x
;
f)
yx
4
=1
, y
=1
, y
=16.
d)
4
y
=
x
2
, y
=
10
Obliczyć długości podanych krzywych:
a)
y
=2
√
x
3
,
gdzie 0
x
11;
b)
y
=ch
x,
gdzie 0
x
1;
1
−
x
2
,
gdzie 0
x
1;
d)
y
=lncos
x,
gdzie 0
x
c)
y
=
4
.
11
Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu podanych gur
T
wokół wskazanych osi:
a)
T
:0
x
2
,
0
y
2
x
−
x
2
, Ox
;
b)
T
:0
x
4
,
0
y
tg
x, Ox
;
√
x
2
+4
, Oy
;
d)
T
:0
x
1
, x
2
y
√
5
,
0
y
2
c)
T
:0
x
√
x, Oy
.
12
Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów podanych funkcji wokół wskazanychosi:
a)
f
(
x
)=
√
4+
x,
−
4
x
2
, Ox
;
b)
f
(
x
)=cos
x,
0
x
2
, Ox
;
√
c)
f
(
x
)=ln
x,
1
x
3
, Oy
;
d)
f
(
x
)=
|
x
−
1
|
+1
,
0
x
2
, Oy
.
13 a)
Punkt materialny rozpoczął ruch prostoliniowy z prędkością początkową
v
0
=10m/s i przyspiesze
niem
a
0
= 2m
/
s
2
.
Po czasie
t
1
= 10s punkt zaczął poruszać się z opóźnieniem
a
1
=
−
1m
/
s
2
.
Znaleźć jego
położenie po czasie
t
2
=20s
.
b)
Dwie cząstki
A
i
B
położonew odległości
d
=36 zaczynajązbliżać się do siebie z prędkościamiodpowiednio
v
A
(
t
)=10
t
+
t
3
,
v
B
(
t
)=6
t
, gdzie
t
0
.
Po jakim czasie nastąpi ich zderzenie?
2
Całkiniewłaściwepierwszegorodzaju
14
Korzystając z denicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
∞
∞
∞
dx
(
x
+2)
2
;
b)
dx
a)
√
3
x
+5
;
c)
x
sin
xdx
;
3
1
1
∞
0
∞
dx
x
2
+4
;
f)
dx
x
2
−
4
x
+13
.
d)
x
(2
−
x
)
e
−
x
dx
;
e)
0
−∞
−∞
15
Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego
rodzaju:
∞
∞
∞
dx
dx
x
(
x
+1)
dx
x
4
+
x
+1
;
a)
√
x
+1)
;
b)
√
x
−
3
;
c)
x
(
0
10
1
∞
x
2
+1
∞
∞
√
dx
x
4
+
x
2
+1
;
e)
(
x
+sin
x
)
dx
x
3
2+cos
x
dx
d)
;
f)
√
.
x
−
1
−∞
2
16
Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego ro
dzaju:
∞
√
∞
x
2
dx
√
1
x
+1
dx
x
(
x
+1)
;
b)
x
+1
dx
√
a)
x
5
−
3
;
c)
1
−
x
3
;
1
5
−∞
∞
∞
x
2
dx
x
3
−
sin
x
;
f)
−
1
e
2
x
+1
sin
2
1
dx
d)
x
dx
;
e)
.
e
x
−
1
1
1
−∞
x
2
+4
oraz osią
Ox
.
b)
Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu wokół osi
Ox
obszaru
D
=
17 a)
Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą
y
=
1
(
x,y
)
∈
R
2
:
x
0
,
0
y
e
−
x
.
c)
Uzasadnić, że pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji
y
=
√
1
x
dla
x
1 wokół osi
Ox
ma
x
skończoną wartość.
Funkcjedwóchitrzechzmiennych
18
Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji:
a)
f
(
x,y
)=
2
x
−
5
y
;
b)
f
(
x,y
)=
sin
3
x
x
2
+
y
2
;
c)
f
(
x,y
)=
x
2
y
;
x
2
+
y
2
x
2
+
y
2
−
25
d)
f
(
x,y
)=ln
x
2
+
y
2
−
4
√
√
9
−
x
2
−
y
2
;
e)
f
(
x,y,z
)=
x
+
y
−
1+
z
−
2;
f)
f
(
x,y,z
)=arcsin
x
2
+
y
2
+
z
2
−
2
.
19
Podane wykresy (rys.
a)
–
c)
) połączyć z odpowiadającymi im poziomicami (rys.
A)
–
C)
) wykonanymi
dla
h
=2
,
2
,
1
,
2
,
0:
a)
z
√
b)
z
√
c)
z
z
=
x
2
+
y
2
z
=
4
−
(
x
2
+
y
2
)
z
=
2
(
x
2
+
y
2
)
O
y
O
y
O
y
x
x
x
3
A)
y
B)
y
C)
y
2
x
2
x
2
x
20
Naszkicować wykresy podanych funkcji:
a)
f
(
x,y
)=1
−
x
2
+
y
2
;
b)
f
(
x,y
)=
4
−
(
x
−
1)
2
−
y
2
;
c)
f
(
x,y
)=1+(
x
−
1)
2
+(
y
+1)
2
;
d)
f
(
x,y
)=sin
y
;
e)
f
(
x,y
)=
x
2
−
1;
f)
f
(
x,y
)=1
−|
x
|
.
21
Uzasadnić, że podane granice funkcji nie istnieją:
a)
lim
(
x,y
)
→
(
,
0)
sin
2
x
y
2
;
b)
lim
(
x,y
)
→
(1
,
1)
x
+
y
−
2
x
2
+
y
2
−
2
;
c)
lim
(
x,y
)
→
(0
,
0)
x
2
y
2
x
4
+
y
4
;
d)
lim
(
x,y
)
→
(0
,
0)
x
2
y
x
4
+
y
2
.
22
Obliczyć, podane granice funkcji:
a)
lim
(
x,y
)
→
(0
,
0)
x
4
−
y
4
x
2
−
y
2
;
b)
lim
x
2
y
2
−
4
x
2
−
y
2
+4
xy
−
2
x
−
y
+2
;
c)
lim
1
−
cos
x
2
+
y
2
;
(
x,y
)
→
(1
,
2)
(
x,y
)
→
(0
,
0)
(
x
2
+
y
2
)
2
x
3
−
y
3
d)
lim
(
x,y
)
→
(0
,
0)
tg
;
e)
lim
(
x,y
)
→
(0
,
0)
xy
2
x
2
+
y
2
;
f)
lim
(
x,y
)
→
(0
,
0)
x
2
+
y
2
sin
1
x
−
y
23
Dobrać parametr
a
∈
8
<
R tak, aby podane funkcjie były ciągłe w punkcie (
x
0
,y
0
)=(0
,
0):
8
<
:
sin
xy
dla (
x,y
)
=(0
,
0)
,
:
xy
2
dla (
x,y
)
=(0
,
0)
,
a)
f
(
x,y
)=
y
b)
f
(
x,y
)=
x
2
+
y
2
a
dla (
x,y
)=(0
,
0);
a
dla (
x,y
)=(0
,
0);
:
x
2
+
y
2
dla (
x,y
)
=(0
,
0)
,
:
tg
x
2
+
ay
2
dla (
x,y
)
=(0
,
0)
,
c)
f
(
x,y
)=
x
2
+
y
2
+1
−
1
d)
f
(
x,y
)=
x
2
+2
y
2
a
dla (
x,y
)=(0
,
0);
1
dla (
x,y
)=(0
,
0)
.
Rachunekróżniczkowyfunkcjidwóchitrzechzmiennych
24
Korzystającz denicji obliczyć pochodne cząstkowerzędupierwszegopodanychfunkcji wewskazanych
punktach:
8
<
a)
f
(
x,y
)=
x
2
−
xy
+1, (0
,
1);
b)
f
(
x,y
)=
x
+
y
:
x
2
+
y
3
dla (
x,y
)
=(0
,
0)
x
, (1
,
1);
c)
f
(
x,y
)=
x
2
+
y
2
, (0
,
0);
0 dla (
x,y
)=(0
,
0)
d)
f
(
x,y,z
)=
xy
2
z
, (0
,
1
,
1);
e)
f
(
x,y,z
)=
y
z
x
, (1
,
1
,
1)
.
25
Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji:
a)
f
(
x,y
)=
x
2
+
y
2
xy
;
b)
f
(
x,y
)=arctg
1
−
xy
x
+
y
;
c)
f
(
x,y
)=
e
sin
x
;
d)
f
(
x,y,z
)=
x
2
+
xz
y
+
yz
3
;
e)
f
(
x,y,z
)=
x
x
2
+
y
2
+
z
2
;
f)
f
(
x,y,z
)=sin(
x
cos(
y
sin
z
)).
4
xy
.
8
<
8
<
26
Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji i sprawdzić, czy pochodne
cząstkowe mieszane są równe:
a)
f
(
x,y
)=sin
x
2
+
y
2
;
b)
f
(
x,y
)=
xe
xy
;
c)
f
(
x,y
)=
x
+
y
x
;
d)
f
(
x,y
)=
y
ln
xy
;
e)
f
(
x,y,z
)=
x
2
+
y
2
+
z
2
;
f)
f
(
x,y,z
)=ln
1
x
2
+
y
4
+
z
6
+1
.
27
Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe podanych funkcji:
a)
@
3
f
@y
2
@x@y
,
f
(
x,y
)=
x
+
y
@
4
f
x
−
y
;
@x@y@z
,
f
(
x,y,z
)=
x
2
y
3
z
;
d)
@
5
f
@x@y
2
@z
2
, f
(
x,y,z
)=
e
xy
+
z
.
28
Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wy
kresu:
a)
z
=
x
2
y
+1
,
(
x
0
,y
0
,z
0
)=(1
,
3
,z
0
);
b)
z
=
e
x
+2
y
,
(
x
0
,y
0
,z
0
)=(2
,
−
1
,z
0
);
c)
z
=
arcsin
x
−
1
3
2
,z
0
arccos
y
,
(
x
0
,y
0
,z
0
)=
2
,
;
d)
z
=
x
y
,
(
x
0
,y
0
,z
0
) =(2
,
4
,z
0
).
29 a)
Na wykresie funkcji
z
=arctg
x
y
wskazać punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległado
płaszczyzny
x
+
y
−
z
=5
.
a)
Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji
z
=arcctg
1
−
xy
x
+
y
, która jest prostopadła do
prostej
x
=
t
2
,
y
=
t
2
,
z
=
t
, gdzie
t
∈
R
.
30
Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżone wartościpodanych wyrażeń:
a)
(1
.
02)
3
(0
.
997)
2
;
b)
3
(2
.
93)
3
+(4
.
05)
3
+(4
.
99)
3
;
c)
2
.
97
e
0
.
05
;
d)
cos0
.
05
1
.
96
.
31 a)
Wysokość i promień podstawy stożka zmierzono z dokładnością
±
1 mm. Otrzymano
h
= 350 mm
oraz
r
=145mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć objętość
V
tego stożka?
b)
Krawędzieprostopadłościanumajądługości
a
=3m,
b
=4m,
c
=12m.Obliczyćwprzybliżeniu,jakzmieni
się długość przekątnej prostopadłościanu
d
, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o 2 cm.
c)
Oszacować błąd względny
V
objętości prostopadłościamu
V
, jeżeli pomiaru jego boków
x
,
y
,
z
dokonano z
dokładnością odpowiednio
x
,
y
,
z
.
32
Korzystając z denicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i
kierunkach:
√
√
2
2
,
2
2
a)
f
(
x,y
)=2
|
x
|
+
|
y
|
,
(
x
0
,y
0
)=(0
,
0)
,
~
v =
;
√
2
,
1
3
b)
f
(
x,y
)=
3
xy,
(
x
0
,y
0
)=(1
,
0)
,
~
v =
;
2
c)
f
(
x,y,z
)=
x
2
+
yz,
(
x
0
,y
0
,z
0
)=(
−
1
,
0
,
1)
,
~
v =
13
,
4
3
13
,
12
.
13
33
Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
5
@x@y
2
,
f
(
x,y
)=sin
xy
;
b)
c)
@
3
f
√
√
Plik z chomika:
oxide90
Inne pliki z tego folderu:
am2-a-b_2.pdf
(177 KB)
Inne foldery tego chomika:
AGH IMIR Mechanika i budowa maszyn
Angielski,hasło na prv
Książka
Playlisty
Prywatne
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin