11. Poprzeczne zginanie.pdf

(317 KB) Pobierz
Microsoft Word - 11popzgi.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Poprzeczne zginanie
11. POPRZECZNE ZGINANIE
11.1. Napr ħŇ enia i odkształcenia
Poprzecznym zginanie wyst ħ puje wówczas, gdy do pobocznicy pr ħ ta pryzmatycznego o
symetrycznym przekroju poprzecznym przyło Ň one jest obci ĢŇ enie rozło Ň one symetrycznie
wzgl ħ dem płaszczyzny symetrii pr ħ ta, które w jego przekroju poprzecznym redukuje si ħ do
momentu zginaj Ģ cego M i siły poprzecznej Q . Płaszczyzn Ģ działania obu tych sił
przekrojowych zarówno Q jak i M , jest płaszczyzna symetrii pr ħ ta. Zagadnienie to wyst ħ puje
wtedy, gdy moment zginaj Ģ cy zmienia swoj Ģ warto Ļę na długo Ļ ci pr ħ ta, gdy Ň - zgodnie ze
znan Ģ zale Ň no Ļ ci Ģ ró Ň niczkow Ģ -
d
M
y
( )
=
Q
( )
x
, wówczas siła poprzeczna ( ) 0
Q z
x
¹
z
dx
(patrz rys. 11.1).
Z
q(x)
Z
Y
X
Y
x
dx
M y ( x )
M y ( x )
Q z ( x )
Q z ( x )
Rys. 11.1
W tak obci ĢŇ onym pr ħ cie poszukiwa ę b ħ dziemy macierzy napr ħŇ e ı , odkształce ı oraz wektora
przemieszczenia w dowolnym jego punkcie. Postawione zadanie, w tym przypadku, nie daje
si ħ rozwi Ģ za ę w sposób Ļ cisły nie tylko metodami wytrzymało Ļ ci materiałów ale i metodami
teorii spr ħŇ ysto Ļ ci . Aby uzyska ę zale Ň no Ļ ci okre Ļ laj Ģ ce poszukiwane wielko Ļ ci, konieczne
b ħ dzie przyj ħ cie dodatkowych zało Ň e ı upraszczaj Ģ cych. Mo Ň na jednak pokaza ę poprzez
eksperymenty do Ļ wiadczalne i numeryczne, Ň e otrzymane w ten sposób wyniki nie odbiegaj Ģ
w sposób istotny od Ļ cisłych rozwi Ģ za ı dla szczególnych przypadków poprzecznego zginania,
a ich niew Ģ tpliw Ģ zalet Ģ jest prostota formy.
Jednak Ň e zanim przejdziemy do ich wyznaczenia, przeanalizujmy deformacj ħ zginanego
poprzecznie wspornika o przekroju prostok Ģ tnym pokazanego na rys. 11.2.
121
x
88670282.023.png 88670282.024.png 88670282.025.png 88670282.026.png 88670282.001.png 88670282.002.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Poprzeczne zginanie
Z
Z
X
konfiguracja
pocz Ģ tkowa
X
konfiguracja
aktualna
g ) włókien równoległych do osi układu odniesienia i, co
za tym idzie napr ħŇ e ı stycznych w przekroju poprzecznym. Mimo tego, przy wyprowadzaniu
zale Ň no Ļ ci okre Ļ laj Ģ cych odkształcenie liniowe przyjmiemy spełnienie hipotezy Bernoulliego
głosz Ģ cej, Ň e przekrój płaski i prostopadły do osi pr ħ ta przed przyło Ň eniem obci ĢŇ enia
pozostaje płaski i prostopadły do ugi ħ tej osi po przyło Ň eniu obci ĢŇ enia. Mo Ň na pokaza ę , Ň e
takie zało Ň enie upraszczaj Ģ ce b ħ dzie skutkowało w warto Ļ ciach napr ħŇ e ı normalnych bł ħ dem
rz ħ du h/l gdzie: h jest wysoko Ļ ci Ģ przekroju pr ħ ta, a l jego długo Ļ ci Ģ . St Ģ d te Ň nale Ň y
pami ħ ta ę , Ň e wyprowadzone zale Ň no Ļ ci mog Ģ by ę stosowane w przypadku zginania
poprzecznego pr ħ tów długich.
Po tych wst ħ pnych uwagach rozwa Ň my pokazany na rys. 11.1 pr ħ t pryzmatyczny o polu
przekroju poprzecznego A , okre Ļ lony w układzie współrz ħ dnych ( X, Y, Z ) w którym osie ( Y,
Z ) s Ģ głównymi centralnymi osiami bezwładno Ļ ci przekroju poprzecznego, a płaszczyzna ( X,
Z ) jest płaszczyzn Ģ symetrii pr ħ ta i zarazem płaszczyzn Ģ obci ĢŇ enia. Materiał pr ħ ta jest
izotropowy, liniowo spr ħŇ ysty o stałych materiałowych E oraz n.
Dalej post ħ powa ę b ħ dziemy według schematu, który poprzednio był ju Ň dwukrotnie
zastosowany. Po dokonaniu my Ļ lowego przekroju pr ħ ta na dwie cz ħĻ ci w miejscu o odci ħ tej
x , odrzuceniu cz ħĻ ci II i przyło Ň eniu do cz ħĻ ci I układu sił wewn ħ trznych (rys.11.3)
rozwa Ň ymy trzy komplety równa ı tzn. równania równowagi, geometryczne i fizyczne.
Z
t
xz
t
xy
Y
s
M y ( x )
X
I
Q z ( x )
A
x
Rys.11.3
122
Rys. 11.2
Wspornik pokazany w lewej cz ħĻ ci rysunku składa si ħ z kilku poło Ň onych na sobie
elementów , a w cz ħĻ ci prawej wspornik wykonany jest z jednego elementu. Obraz deformacji
na rys. 11.2 pokazuje, Ň e w przypadku poprzecznego zginania przekrój płaski i prostopadły do
osi pr ħ ta w konfiguracji pocz Ģ tkowej nie pozostaje płaski po przyło Ň eniu obci ĢŇ enia, jak to
było w przypadku zginania prostego. Dowodzi to wyst Ģ pienia odkształce ı k Ģ towych (w
pokazanym przykładzie b ħ dzie to xz
88670282.003.png 88670282.004.png 88670282.005.png 88670282.006.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Poprzeczne zginanie
Równania równowagi wynikaj Ģ ce z twierdzenia o równowa Ň no Ļ ci odpowiednich układów sił
wewn ħ trznych i zewn ħ trznych w tym przypadku przyjm Ģ posta ę :
Í
Ë
ÐÐ
s
x
dA
=
0
,
ÐÐ
t
xy
dA
=
0
,
ÐÐ
t
xz
dA
=
−
Q
z
(
x
),
A
A
A
(11.1)
(
)
ÐÐ
ÐÐ
ÐÐ
−
t
z
+
t
y
dA
=
0
,
s
z
dA
=
M
(
x
),
−
s
y
dA
=
0
.
Í
xy
xz
x
y
x
Ì
A
A
A
Równania geometryczne napiszemy przyjmuj Ģ c, Ň e:
• przekroje płaskie i prostopadłe do osi pr ħ ta przed przyło Ň eniem obci ĢŇ e ı pozostaj Ģ
płaskie i prostopadłe do ugi ħ tej osi pr ħ ta po przyło Ň eniu obci ĢŇ e ı ,
• odkształcenia k Ģ towe włókien równoległych do osi układu odniesienia s Ģ równe zero,
• odkształcenia liniowe zwi Ģ zane s Ģ zale Ň no Ļ ci Ģ :
= ,
• górne włókna uległy wydłu Ň eniu, a dolne skróceniu, istnieje warstwa włókien - warstwa
oboj ħ tna, których długo Ļę nie uległa zmianie, cho ę przyj ħ ły form ħ krzywoliniow Ģ o
zmiennym promieniu krzywizny ( )
e
y
e
z
=
−
n
x
r , i w konfiguracji pocz Ģ tkowej włókna te le Ň ały na
płaszczy Ņ nie ( X, Y ).
dx+ D dx
D ‘
Odkształcenia liniowe e wyznaczymy analizuj Ģ c
wydłu Ň enie odcinka pr ħ ta o dowolnie małej długo Ļ ci dx
przed przyło Ň eniem obci ĢŇ e ı (rys. 11.4). Po deformacji
przekroje skrajne obróc Ģ si ħ i utworz Ģ dowolnie mały k Ģ t
d j( x ). Je Ļ li r( x ) jest promieniem krzywizny warstwy
oboj ħ tnej, to odkształcenia liniowe e włókien odległych o
z od warstwy oboj ħ tnej wynosz Ģ :
C ‘
C
z
D
X
z
A
B
warstwa
oboj ħ tna
dx
r
z
( )
x
lim
D
dx
d j
( )
x
e
=
=
x
dx
®
0
dx
=
lim
[
r
( )
x
+
z
]
d
j
(
x
)
−
r
( )
x
d
j
(
x
)
=
z
( )
( )
d
j
(
x
)
®
0
r
x
d
j
(
x
)
r
x
Rys. 11.4
Równania geometryczne zapiszemy w postaci:
e =
( ) ,
e
=
e
=
−
n
=
−
n
z
,
x
r
x
y
z
x
r
( )
x
g
xy
=
0
g
yz
=
0
.
Podstawienie tych odkształce ı do równa ı fizycznych daje poni Ň sze zale Ň no Ļ ci i warto Ļ ci
napr ħŇ e ı :
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
)
Ù
®
s
=
E
e
,
x
1
+
n
x
1
−
2
n
x
y
z
x
x
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
)
Ù
®
s
=
0
,
y
1
+
n
y
1
−
2
n
x
y
z
y
123
Ê
z
Ç
×
Ç
×
88670282.007.png 88670282.008.png 88670282.009.png 88670282.010.png 88670282.011.png 88670282.012.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Poprzeczne zginanie
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
)
Ù
®
s
=
0
,
z
1
+
n
z
1
−
2
n
x
y
z
z
t
xy G
=
g
xy
®
t
xy
=
0
,
t
yz G
=
g
yz
®
t
yz
=
0
.
W wyniku podstawienia do równa ı równowagi zawieraj Ģ cych napr ħŇ enia normalne
otrzymujemy:
ÐÐ
s
dA
=
0
®
ÐÐ
E
e
dA
=
0
®
E
( ) ÐÐ
z
dA
=
0
x
x
r
x
A
A
A
ÐÐ
−
s
y
dA
=
0
®
−
E
ÐÐ
yz
dA
=
0
x
r
( )
x
A
A
ÐÐ
s
z
dA
=
M
( )
x
®
E
ÐÐ
z
2
dA
=
M
( )
x
x
y
( )
y
r
x
A
A
zale Ň no Ļę mi ħ dzy krzywizn Ģ osi zdeformowanego pr ħ ta i momentem zginaj Ģ cym:
1
=
M
y
J
( )
x
,
(11.2)
( )
r
x
E
y
co pozwala napisa ę zwi Ģ zki wi ĢŇĢ ce moment zginaj Ģ cy z odkształceniem liniowym i
napr ħŇ eniem normalnym:
e
=
M
y
(
x
)
z
,
(11.3)
x
E
J
y
s
=
M
y
(
x
)
z
.
(11.4)
x
J
y
t , wytnijmy z długo Ļ ci pr ħ ta
dwoma płaszczyznami prostopadłymi do jego osi odcinek o dowolnie małej długo Ļ ci dx i
rozwa Ň my równowag ħ górnej jego cz ħĻ ci odci ħ tej płaszczyzn Ģ z = const (rys. 11.5).
Z
b ( z )
A 1
( )
D
F
s
x
s
x +
(
x
dx
)
Y
B
~
x
C
X
z
x
dx
Rys. 11.5
124
Ç
×
Aby wyznaczy ę , ostatni, nieznany element macierzy napr ħŇ e ı xz
88670282.013.png 88670282.014.png 88670282.015.png 88670282.016.png 88670282.017.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Poprzeczne zginanie
~ oznaczymy Ļ rednie napr ħŇ enie styczne na Ļ ciance BCDF to jeden z
warunków równowagi a mianowicie sumy rzutów sił na o Ļ X mo Ň emy zapisa ę w postaci:
Ã
X
= 0
−
ÐÐ
s
x
(
x
)
dA
+
t
~
zx
b
(
z
)
dx
+
ÐÐ
s
x
(
x
+
dx
)
dA
=
0
A
A
1
1
Wykorzystanie zale Ň no Ļ ci (10.4) wi ĢŇĢ cej napr ħŇ enia normalne z momentem zginaj Ģ cym, a
nast ħ pnie twierdzenia Lagrange’a pozwala przepisa ę powy Ň sze równanie w formie:
−
ÐÐ
M
y
(
x
)
z
dA
+
t
~
b
(
z
)
dx
+
ÐÐ
Ç
M
(
x
)
+
dM
y
(
x
+
a
dx
)
dx
×
z
dA
=
0
É
Ù
zx
y
J
dx
J
y
y
A
A
1
1
£ a .
Podstawiaj Ģ c do równania zwi Ģ zek ró Ň niczkowy mi ħ dzy momentem zginaj Ģ cym i sił Ģ
poprzeczn Ģ mo Ň emy otrzyma ę :
0
£
1
t
=
−
Q
z
(
x
+
a
dx
)
ÐÐ
z
dA
.
zx
J
b
(
z
)
y
A
1
Po obustronnym przej Ļ ciu do granicy
dx
®
0
otrzymujemy ostatecznie zale Ň no Ļę okre Ļ laj Ģ c Ģ
poszukiwane napr ħŇ enia styczne:
t
=t
=
−
Q
z
(
x
)
S
y
(
z
)
,
(11.5)
zx
xz
J
b
(
z
)
y
gdzie: x t - Ļ rednie napr ħŇ enie styczne we włóknach z = const w przekroju pr ħ ta o
współrz ħ dnej x,
( )
S y - moment statyczny wzgl ħ dem osi zginania cz ħĻ ci przekroju ponad włóknami w
których wyznaczamy napr ħŇ enia,
( )
z
b - szeroko Ļę przekroju na wysoko Ļ ci z ,
( )
Q z - siła poprzeczna w przekroju w którym wyznaczamy napr ħŇ enia.
Znaki w wyprowadzonych wzorach obowi Ģ zuj Ģ przy przyj ħ tych zwrotach osi układu
odniesienia i sił przekrojowych. W przypadku innych zwrotów nale Ň y dokona ę odpowiedniej
korekty znaków.
Zatem macierze napr ħŇ e ı i odkształce ı w pr ħ cie poddanym poprzecznemu zginaniu w
płaszczy Ņ nie ( X, Z ) maj Ģ posta ę :
x
Ä
s
x
0
t
xz
Ô
Ä
e
x
0
g
xz
2
Ô
T
=
0
0
0
,
T
=
0
−
n
0
(11.6)
Å
Õ
Å
Õ
s
e
x
Å
Õ
Å
Õ
Æ
t
zx
0
0
Ö
Æ
g
zx
2
0
−
n
e
x
Ö
w których napr ħŇ enia wyra Ň one poprzez siły przekrojowe i charakterystyki geometryczne
okre Ļ laj Ģ wzory wyprowadzone wy Ň ej a odkształcenia liniowe i k Ģ towe zwi Ģ zane s Ģ z nimi
równaniami Hooke’a.
Warto jednak w tym miejscu doda ę , Ň e jest to najprostsza posta ę macierzy napr ħŇ e ı i
odkształce ı dla tego przypadku wytrzymało Ļ ci. Bywaj Ģ one jeszcze uzupełnione
napr ħŇ eniami x t oraz s i odpowiadaj Ģ cymi im odkształceniami ale i wówczas s Ģ one
125
Siły przyło Ň one do tej odci ħ tej cz ħĻ ci winny spełnia ę ogólnie znane warunki równowagi.
Je Ň eli przez zx
gdzie:
~
Å
Õ
Å
Õ
88670282.018.png 88670282.019.png 88670282.020.png 88670282.021.png 88670282.022.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin