16. Hipotezy wytężeniowe.pdf

(120 KB) Pobierz
Microsoft Word - 16hipot.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Hipotezy wyt ħŇ eniowe.
16. HIPOTEZY WYT Ħņ ENIOWE
16.1. Wyt ħŇ enie i jego miara
Wykres rozci Ģ gania stali mi ħ kkiej pokazuje, Ň e punkt materialny znajduj Ģ cy si ħ w
jednoosiowym stanie napr ħŇ enia przechodzi, w trakcie zwi ħ kszania napr ħŇ enia, przez kolejne
stany mechaniczne: liniowo-spr ħŇ ysty, nieliniowo-spr ħŇ ysty, spr ħŇ ysto-plastyczny, plastyczny
a Ň w ko ı cu osi Ģ ga stan niszcz Ģ cy gdy spójno Ļę mi ħ dzy punktami materialnymi zostanie
zerwana. Jest rzecz Ģ oczywist Ģ , Ň e ten ostatni stan jest stanem niebezpiecznym, a przej Ļ cia
mi ħ dzy stanami reprezentowane s Ģ poprzez odpowiednie napr ħŇ enia graniczne R , R , R i
R .
Nale Ň y jednak zauwa Ň y ę , Ň e nie wszystkie materiały mog Ģ przechodzi ę przez te wy Ň ej
wspomniane stany mechaniczne. Materiał kruchy nie osi Ģ ga stanu plastycznego, a stan
niszcz Ģ cy jest bardzo blisko stanu liniowo-spr ħŇ ystego. Dla wielu materiałów stan plastyczny,
w którym wyst ħ puj Ģ du Ň e odkształcenia trwałe nale Ň y uzna ę za stan niszcz Ģ cy w sensie
niemo Ň no Ļ ci spełniania zada ı u Ň ytkowania.
Mo Ň emy wi ħ c uzna ę , Ň e przez niebezpieczny stan mechaniczny rozumie ę b ħ dziemy stan w
którym zachodz Ģ jako Ļ ciowe zmiany własno Ļ ci materiału, najcz ħĻ ciej rozumiane jako
wyst Ģ pienie du Ň ych nieodwracalnych odkształce ı lub zniszczenie, a granic Ģ niebezpieczn Ģ
R , napr ħŇ enie, przy którym zmiany te si ħ dokonuj Ģ .
Je Ļ li wprowadzimy poj ħ cie wyt ħŇ enia, które mo Ň emy zdefiniowa ę jako stopie ı zbli Ň enia si ħ
materiału do granicy niebezpiecznej, to warunkiem bezpiecznego stanu b ħ dzie nierówno Ļę :
W £ ,
gdzie: W - miara wyt ħŇ enia, W - warto Ļę miary wyt ħŇ enia w stanie niebezpiecznym.
Postawimy teraz pytanie: jak okre Ļ li ę (albo inaczej, czym zmierzy ę ) wyt ħŇ enie w punkcie, w
którym znamy macierz napr ħŇ e ı i ile wynosi warto Ļę tej miary w stanie niebezpiecznym.
Odpowied Ņ na to pytanie jest bardzo łatwa jedynie w przypadku gdy w punkcie panuje
jednoosiowy stan napr ħŇ enia.
Miar Ģ wyt ħŇ enia b ħ dzie wówczas napr ħŇ enie s, a jej warto Ļ ci Ģ w stanie niebezpiecznym -
granica niebezpieczna R , któr Ģ do Ļ wiadczalnie wyznaczymy z próby rozci Ģ gania i Ļ ciskania.
Zatem:
W
N
W
(
1
)
=
s
;
W
(
N
1
)
=
R
,
K
a warunek bezpiecznego stanu ma posta ę :
s ,
je Ļ li przyjmiemy, Ň e warto Ļ ci granic niebezpiecznych przy rozci Ģ ganiu i Ļ ciskaniu s Ģ takie
same
£
R
K
R
K
,
=
R
K
,
=
R
K
.
Graficzn Ģ reprezentacje bezpiecznych stanów
na osi napr ħŇ e ı s , stanowi ę wówczas b ħ d Ģ
punkty wewn Ģ trz odcinka
s
<
−
R
K R
K
>
.
R k
R k
W przypadku gdy w punkcie panuje przestrzenny stan napr ħŇ enia, odpowied Ņ si ħ komplikuje,
gdy Ň niesko ı czenie wiele stanów napr ħŇ enia mo Ň e spowodowa ę w nim stan zniszczenia i
dlatego, musimy posłu Ň y ę si ħ hipotezami wyt ħŇ eniowymi. Hipotezy wyt ħŇ eniowe okre Ļ laj Ģ
miar ħ wyt ħŇ enia niezale Ň nie od rodzaju stanu napr ħŇ enia. Innymi słowy okre Ļ laj Ģ one, co
decyduje o zniszczeniu materiału w danym punkcie ciała, niezale Ň nie od tego, jaki rodzaj
222
,
88670308.049.png 88670308.059.png 88670308.070.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Hipotezy wyt ħŇ eniowe.
stanu napr ħŇ enia w nim wyst ħ puje. Je Ļ li tak, to warunek bezpiecznego stanu mechanicznego
sprowadza si ħ do poni Ň szej zale Ň no Ļ ci:
W
(
3
)
=
W
(
2
)
=
W
(
1
)
£
W
(
N
1
)
,
(16.1)
w której wska Ņ niki w nawiasach symbolicznie okre Ļ laj Ģ wymiarowo Ļę stanu napr ħŇ enia.
Powy Ň sza relacja pokazuje zasadniczy cel hipotez wyt ħŇ eniowych – jest nim odniesienie
przestrzennego stanu napr ħŇ enia do stanu jednoosiowego, w którym zarówno miara wyt ħŇ enia
jak jej warto Ļę w stanie niebezpiecznym jest jasno zdefiniowana i łatwa do do Ļ wiadczalnego
wyznaczenia.
W zale Ň no Ļ ci od tego co przyjmiemy za miar ħ wyt ħŇ enia W , otrzymamy wzór na tzw.
napr ħŇ enie zredukowane (lub zast ħ pcze) s , charakteryzuj Ģ ce dowolny stan napr ħŇ enia pod
wzgl ħ dem wyt ħŇ enia.
Z po Ļ ród wielu dotychczas postawionych hipotez wyt ħŇ eniowych, które ze wzgl ħ du na
postulowan Ģ miar ħ wyt ħŇ enia bardzo ogólnie mo Ň na podzieli ę na: napr ħŇ eniowe,
odkształceniowe i energetyczne omówimy tylko cztery.
16.2. Hipoteza Galileusza − hipoteza maksymalnych dodatnich napr ħŇ e ı normalnych
Postawiona w 1632 roku przez tego genialnego uczonego, cytowana obecnie tylko ze
wzgl ħ dów historycznych. Daje, w wielu przypadkach, wyniki sprzeczne z do Ļ wiadczeniami.
W my Ļ l tej hipotezy:
o wyt ħŇ eniu materiału w danym punkcie ciała decyduje warto Ļę maksymalnego,
dodatniego napr ħŇ enia głównego, niezale Ň nie od rodzaju stanu napr ħŇ enia:
W G =
max
(
s
1
,
s
2
,
s
3
)
,
(16.2)
gdzie: . nawias Macauley’a,
a
=
Ê
a
;
dla
a
>
0
.
0
;
dla
a
£
0
Zatem warunek bezpiecznego stanu ma posta ę :
(
max
s
,
s
2
,
s
3
)
= s
£
R
K
,
.
(16.3)
Powy Ň sz Ģ zale Ň no Ļę mo Ň emy rozpisa ę w postaci trzech nierówno Ļ ci:
s
£
R
K
,
,
s
£
R
K
,
,
s
£
R
K
,
,
, , nazywanej
przestrzeni Ģ Haigha – Beckera, przedstawia przestrze ı ograniczon Ģ od strony dodatnich osi
układu płaszczyznami
s
1
s
2
,
s
)
s
1
=
R
K
,
,
s
2
=
R
K
,
i
s
=
R
K
,
, a w dwuwymiarowej przestrzeni
obszar ograniczony prostymi
s
=
R
K
,
i
s
=
R
K
,
(rys.16.1).
s 3
s 2
R k,r
s 2
R k,r
s 1
s 1
Rys.16.1
223
1
których graficzny obraz w trójwymiarowej przestrzeni napr ħŇ e ı (
3
88670308.075.png 88670308.001.png 88670308.002.png 88670308.003.png 88670308.004.png 88670308.005.png 88670308.006.png 88670308.007.png 88670308.008.png 88670308.009.png 88670308.010.png 88670308.011.png 88670308.012.png 88670308.013.png 88670308.014.png 88670308.015.png 88670308.016.png 88670308.017.png 88670308.018.png 88670308.019.png 88670308.020.png 88670308.021.png 88670308.022.png 88670308.023.png 88670308.024.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Hipotezy wyt ħŇ eniowe.
− hipoteza maksymalnych napr ħŇ e ı normalnych
Zaproponowana przez Rankina (1856 r.) i Clebscha (1862 r.). Nie została dostatecznie dobrze
potwierdzona do Ļ wiadczeniami. Według tej hipotezy:
o wyt ħŇ eniu materiału w danym punkcie ciała decyduje maksymalna bezwzgl ħ dna
warto Ļę napr ħŇ enia głównego, niezale Ň nie od rodzaju stanu napr ħŇ enia:
(
− Clebscha
W R =
−
max
s
1
,
s
2
,
s
3
)
(16.4)
St Ģ d warunek bezpiecznego stanu ma posta ę :
(
s
1
,
s
2
,
s
3
)
= s
£
R
K
,
(16.5)
je Ļ li przyjmiemy, Ň e granice niebezpieczne przy rozci Ģ ganiu i Ļ ciskaniu s Ģ sobie równe
= .
Powy Ň sz Ģ zale Ň no Ļę mo Ň emy rozpisa ę w postaci nierówno Ļ ci:
K
,
R
K
,
=
R
K
s
£
R
K
®
−
R
K
£
s
£
R
K
,
s
£
R
K
®
−
R
K
£
s
£
R
K
,
s
£
R
K
®
−
R
K
£
s
£
R
K
,
których graficzny obraz w trójwymiarowej przestrzeni napr ħŇ e ı Haigha – Beckera,
przedstawia przestrze ı ograniczon Ģ sze Ļ cianem o boku
2
R
K
, a w dwuwymiarowej
przestrzeni - kwadrat o takim samym boku (rys. 16.2).
s 3
s 2
s 2
R k
R k
R k
s 1
s 1
R k
2 R k
Rys. 16.2
16.4. Hipoteza Coulomba – Tresci
− Guesta − hipoteza maksymalnych napr ħŇ e ı
stycznych
Przedstawiona przez Coulomba (1776 r.), Tresc ħ (1872 r.) i Guesta (1900 r.), znajduje
zastosowanie w przypadku materiałów spr ħŇ ysto-plastycznych.
Ta hipoteza postuluje, Ň e:
o wyt ħŇ eniu materiału w danym punkcie ciała decyduje maksymalna bezwzgl ħ dna
warto Ļę ekstremalnych napr ħŇ e ı stycznych, niezale Ň nie od rodzaju stanu napr ħŇ enia:
224
16.3. Hipoteza Rankine’a
max
R
88670308.025.png 88670308.026.png 88670308.027.png 88670308.028.png 88670308.029.png 88670308.030.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Hipotezy wyt ħŇ eniowe.
W
=
max
Å
Æ
s
−
s
2
,
s
1
−
s
3
,
s
2
−
s
3
Õ
Ö
(16.6)
C
−
T
−
G
2
2
2
Tym razem warunek bezpiecznego stanu okre Ļ la nierówno Ļę :
max
Å
Æ
s
1
−
s
2
,
s
1
−
s
3
,
s
2
−
s
3
Õ
Ö
=
s
£
R
K
,
(16.7)
2
2
2
2
2
która jest równowa Ň na trzem ni Ň ej napisanym warunkom:
s
1
− s
2
£
R
K
®
−
R
£
s
1 s
−
£
R
,
2
2
K
2
K
s
1
− s
3
£
R
K
®
−
R
£
s
1 s
−
£
R
,
2
2
K
3
K
s
2
− s
3
£
R
K
®
−
R
£
s
2 s
−
£
R
.
2
2
K
3
K
= ) i o przekroju poprzecznym w
kształcie sze Ļ ciok Ģ ta foremnego, a w dwuwymiarowej przestrzeni - obszar ograniczony
sze Ļ ciok Ģ tem (rys. 16.3).
s
1
s
2
=
s
3
s 3
s 1 = s 2 = s 3
s 2
R k
s 2
R k
R k
s 1
R k
s 1
Rys. 16.3
16.5. Hipoteza Hubera – Misesa – Hencky’ego − hipoteza energii odkształcenia
postaciowego
Hipoteza ta została sformułowana niezale Ň nie przez trzech autorów: Hubera (1904 r.), Misesa
(1913 r.) i Hencky’ego (1924 r.). Pierwszy z nich Maksymilian Tytus Huber był Polakiem i
jego wybitne osi Ģ gni ħ cia na trwale zapisały si ħ w historii mechaniki o Ļ rodków ci Ģ głych .
Hipoteza bardzo dobrze pokrywa si ħ z danymi do Ļ wiadczalnymi w przypadku materiałów
spr ħŇ ysto-plastycznych i według niej:
o wyt ħŇ eniu materiału w danym punkcie ciała decyduje g ħ sto Ļę energii odkształcenia
postaciowego, niezale Ň nie od rodzaju stanu napr ħŇ enia:
225
1
Ä
Ô
Ä
Ô
W trójwymiarowej przestrzeni Haigha – Beckera powy Ň sze nierówno Ļ ci wyznaczaj Ģ
przestrze ı ograniczon Ģ niesko ı czenie długim graniastosłupem o osi równo nachylonej do osi
układu odniesienia (jest tzw. o Ļ aksjatorów
88670308.031.png 88670308.032.png 88670308.033.png 88670308.034.png 88670308.035.png 88670308.036.png 88670308.037.png 88670308.038.png 88670308.039.png 88670308.040.png 88670308.041.png 88670308.042.png 88670308.043.png 88670308.044.png 88670308.045.png 88670308.046.png 88670308.047.png 88670308.048.png 88670308.050.png 88670308.051.png 88670308.052.png 88670308.053.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Hipotezy wyt ħŇ eniowe.
W
=
1
+
n
[
(
s
−
s
) (
+
s
−
s
) (
2
+
s
−
s
)
2
]
.
(16.8)
H
−
M
−
H
6
E
1
2
2
3
3
1
Zatem warunek bezpiecznego stanu mechanicznego przyjmuje form ħ :
1
+
n
[
(
s
−
s
) (
2
+
s
−
s
) (
2
+
s
−
s
)
2
]
=
1
+
n
s
2
£
1
+
n
R
2
,
1
2
2
3
3
1
K
6
E
3
E
3
E
1
(
s
−
s
)
2
+
(
s
−
s
)
2
+
(
s
−
s
)
2
£
R
,
(16.9)
1
2
2
3
3
1
K
2
lub
1
(
s
−
s
)
2
+
(
s
−
s
)
2
+
(
s
−
s
)
2
+
6
(
t
2
+
t
2
+
t
2
)
£
R
.
(16.10)
2
x
y
y
z
z
x
xy
xz
yz
K
W trójwymiarowej przestrzeni Haigha – Beckera powy Ň szy warunek okre Ļ la przestrze ı
wewn Ģ trz niesko ı czenie długiego walca o osi pokrywaj Ģ cej si ħ z osi Ģ aksjatorów a w
przestrzeni dwuwymiarowej - obszar ograniczony elips Ģ (rys. 16.4).
s 3
s 1 = s 2 = s 3
s 2
R k
s 2
R k
s 1
R k
R k
s 1
Rys. 16.4
16.6. Porównanie hipotez
Porównanie zrobimy dla przypadku płaskiego
stanu napr ħŇ enia ( =
s 2
s 0) oraz trzech z wy Ň ej
omówionych hipotez a mianowicie
maksymalnych napr ħŇ e ı normalnych ( R-C ),
maksymalnych napr ħŇ e ı stycznych ( C-T-G ) i
energii odkształcenia postaciowego ( H-M-H ).
Krzywe graniczne dla tych trzech hipotez
zestawione s Ģ na rys.16.5. Wida ę z niego
wyra Ņ nie, Ň e najwi ħ ksze rozbie Ň no Ļ ci miedzy
kwadratem R-C , a sze Ļ ciobokiem C-T-G i
elips Ģ H-M-H wyst ħ puj Ģ w drugiej i czwartej
ę wiartce przestrzeni napr ħŇ e ı na prostej
R k
R k
s 1
R k
R k
s 1 = - s 2
czyste Ļ cinanie
s −
1
=
s
2
tj. dla przypadku czystego Ļ cinania.
Rys.16.5
226
2
88670308.054.png 88670308.055.png 88670308.056.png 88670308.057.png 88670308.058.png 88670308.060.png 88670308.061.png 88670308.062.png 88670308.063.png 88670308.064.png 88670308.065.png 88670308.066.png 88670308.067.png 88670308.068.png 88670308.069.png 88670308.071.png 88670308.072.png 88670308.073.png 88670308.074.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin