3. Siły wewnętrzne i przekrojowe.pdf

(68 KB) Pobierz
Microsoft Word - 03silwe.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Siły wewn ħ trzne i przekrojowe.
3. SIŁY WEWN Ħ TRZNE I PRZEKROJOWE
3.1 Siła wewn ħ trzna
v
P
(
r
,
v
)
C
Z
I
II
r
Y
X
Rys. 3.1
Rozwa Ň my ciało materialne pozostaj Ģ ce w równowadze pod działaniem zrównowa Ň onego
układu sił zewn ħ trznych { Z } (rys. 3.1). Zgodnie z zało Ň eniem o continuum materialnym
ciało to jest g ħ sto wypełniaj Ģ cym obj ħ to Ļę zbiorem punktów materialnych.
Pod wpływem przyło Ň onych obci ĢŇ e ı ciało zmienia swoje kształty i wymiary ale zachowuje
ci Ģ gło Ļę , bo to podstawowe ŇĢ danie jakie stawiamy konstrukcji, co Ļ wiadczy o istnieniu mi ħ dzy
punktami materialnymi pewnych wi ħ zów – sił mi ħ dzycz Ģ steczkowych.
Wybierzmy wewn Ģ trz bryły dowolny punkt C o wektorze wodz Ģ cym r i dokonajmy
my Ļ lowego podziału bryły na dwie cz ħĻ ci płaszczyzn Ģ o normalnej zewn ħ trznej v . Mi ħ dzy
punktem C le ŇĢ cym na płaszczy Ņ nie podziału i przyporz Ģ dkowanym cz ħĻ ci I a wszystkimi
punktami cz ħĻ ci II istniej Ģ wzajemne oddziaływania. Zało Ň ymy, Ň e te oddziaływania mi ħ dzy
cz Ģ steczkowe sprowadzaj Ģ si ħ jedynie do sił, bez momentów.
Przyjmiemy teraz wa Ň n Ģ definicj ħ :
P = w danym punkcie o wektorze wodz Ģ cym r na płaszczy Ņ nie
przekroju o wersorze normalnym v nazywamy wypadkow Ģ sił mi ħ dzycz Ģ steczkowych z
jakimi wszystkie punkty cz ħĻ ci II rozwa Ň anej bryły wyznaczonej płaszczyzn Ģ przekroju
działaj Ģ na ten punkt przyporz Ģ dkowany cz ħĻ ci I .
Jak łatwo zauwa Ň y ę w ogólno Ļ ci wypadkowa ta b ħ dzie zale Ň ała od wyboru punktu i
płaszczyzny przekroju bryły i st Ģ d jest ona funkcj Ģ wektorow Ģ dwóch wektorów r i v .
Obrazowo mo Ň emy powiedzie ę , Ň e siła wewn ħ trzna w punkcie C to siła z jak Ģ wszystkie
punkty materialne cz ħĻ ci II chc Ģ np. wyrwa ę ten punkt z cz ħĻ ci I .
Oczywi Ļ cie całe rozumowanie wygl Ģ da analogicznie gdy punkt C przypiszemy cz ħĻ ci II.
W tym miejscu warto zwróci ę uwag ħ na dwie sprawy:
• podziału bryły dokonujemy na dwie i tylko dwie cz ħĻ ci,
• bł ħ dne jest powiedzenie: siła wewn ħ trzna w danym punkcie lub na danej płaszczy Ņ nie
przekroju. Nale Ň y okre Ļ li ę i punkt i płaszczyzn ħ przekroju.
P
( v
)
24
sił Ģ wewn ħ trzn Ģ
r
88670233.047.png 88670233.048.png 88670233.049.png 88670233.050.png 88670233.001.png 88670233.002.png 88670233.003.png 88670233.004.png 88670233.005.png 88670233.006.png 88670233.007.png 88670233.008.png 88670233.009.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Siły wewn ħ trzne i przekrojowe.
Zgodnie z postulatem o wi ħ zach dokonuj Ģ c
podziału konstrukcji na dwie cz ħĻ ci mo Ň emy np.
cze Ļę II odrzuci ę zast ħ puj Ģ c jej działanie
układem sił wewn ħ trznych przyło Ň onych do
ka Ň dego punktu płaszczyzny przekroju.
Wyznaczenie układu sił wewn ħ trznych w
zadanym przekroju b ħ dzie jednym z naszych
I
podstawowych celów, gdy Ň jego znajomo Ļę jest dla in Ň yniera konstruktora bardzo wa Ň na,
pozwala mu bowiem oceni ę , czy w danym punkcie ciała nie nast Ģ pi utrata spójno Ļ ci materiału
lub daje mo Ň liwo Ļę okre Ļ lenia koniecznego wzmocnienia w danym kierunku, np. przez
uło Ň enie zbrojenia w betonie.
3.2 Twierdzenie o równowa Ň no Ļ ci układów sił wewn ħ trznych i zewn ħ trznych
Jak ju Ň powiedzieli Ļ my poszukiwanie układu sił wewn ħ trznych w zadanym przekroju jest dla
nas bardzo wa Ň nym zadaniem. Teraz odpowiemy na pytanie, czy istnieje zwi Ģ zek mi ħ dzy
układem sił wewn ħ trznych i zewn ħ trznych.
Rozwa Ň my ciało w równowadze pod działaniem układu sił zewn ħ trznych { Z } º{ 0 } i
dokonajmy jego podziału na dwie cz ħĻ ci płaszczyzn Ģ o normalnej v (rys.3.2).
{ W I }
{ Z II }
{ Z I }
{ W II }
I
II
Rys. 3.2
Oznaczmy przez:
{ Z I } – układ sił zewn ħ trznych przyło Ň onych do cz ħĻ ci I my Ļ lowo rozci ħ tej bryły,
{ Z II } – układ sił zewn ħ trznych przyło Ň onych do cz ħĻ ci II my Ļ lowo rozci ħ tej bryły,
{ W I } – układ sił wewn ħ trznych przyło Ň onych do cz ħĻ ci I pochodz Ģ cy od działania cz ħĻ ci II ,
{ W II } – układ sił wewn ħ trznych przyło Ň onych do cz ħĻ ci II pochodz Ģ cy od działania cz ħĻ ci I .
Z warunków równowagi ciała jako cało Ļ ci jak i poszczególnych jego cz ħĻ ci wynikaj Ģ
zale Ň no Ļ ci:
{ Z I } + { Z II } º { 0 },
(3.1)
{ Z I } + { W I } º { 0 },
(3.2)
{ Z II } + { W II } º { 0 }.
(3.3)
Z (3.2) wynika, Ň e { W I } º -{ Z I } , a z (3.1), Ň e { Z II } º - { Z I } zatem
{ W I } º { Z II }.
(3.4)
Ponadto z zasady akcji i reakcji wnosimy:
{ W I } º- { W II }. (3.6)
Zale Ň no Ļ ci (3.4) i (3.5) mo Ň emy przedstawi ę w formie twierdzenia o równowa Ň no Ļ ci
odpowiednich układów sił wewn ħ trznych i zewn ħ trznych:
(3.5)
25
Z (3.3) wynika, Ň e { W II } º - { Z II } , a z (3.1), Ň e { Z I } º - { Z II } st Ģ d
{ W II } º { Z I }.
88670233.010.png 88670233.011.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Siły wewn ħ trzne i przekrojowe.
układ sił wewn ħ trznych, przyło Ň onych do przekroju jednej cz ħĻ ci my Ļ lowo rozci ħ tej
bryły jest równowa Ň ny układowi sił zewn ħ trznych przyło Ň onych do jej drugiej cz ħĻ ci.
Zwró ę my uwag ħ , Ň e mimo i Ň układy { Z I } oraz { Z II } s Ģ znane to zale Ň no Ļ ci (3.4) i (3.5) nie
pozwalaj Ģ na wyznaczenie układów { W I } i { W II } gdy Ň układów równowa Ň nych danemu
mo Ň na zbudowa ę niesko ı czenie wiele, jednak Ň e, twierdzenie o równowa Ň no Ļ ci jest bardzo
cenne, bo pozwala na wyznaczenie elementów zredukowanego układu sił wewn ħ trznych.
Wynika to ze znanego twierdzenia o układach równowa Ň nych, które mówi, Ň e:
je Ļ li dwa układy sił s Ģ równowa Ň ne, to równe s Ģ ich sumy i równe s Ģ ich momenty liczone
wzgl ħ dem tego samego punktu.
Zatem na podstawie wy Ň ej dowiedzionego twierdzenia mo Ň emy zapisa ę :
{ } { }
º
Z
¼
Ë
S
{ } { }
{ }
W
I
=
S
Z
II
,
(3.7)
I
II
Ì
M
W
=
M
{ }
Z
0
I
0
II
{ } { }
º
Z
¼
Ë
S
{ } { }
{ }
W
II
=
S
Z
I
.
(3.8)
II
I
Ì
M
W
=
M
{ }
Z
0
II
0
I
M to suma i moment wzgl ħ dem punktu O rozwa Ň anego układu sił.
Zale Ň no Ļ ci (3.7) i (3.8) b ħ dziemy bardzo cz ħ sto wykorzystywa ę w analizie konstrukcji
pr ħ towych.
3.3. Siły przekrojowe w konstrukcjach pr ħ towych
Przyjmiemy kilka prostych definicji:
• pr ħ t, słup, belka to bryła, w której dwa wymiary s Ģ znacznie mniejsze od trzeciego –
długo Ļ ci,
• o Ļ pr ħ ta to miejsce geometryczne punktów, b ħ d Ģ cych Ļ rodkami ci ħŇ ko Ļ ci przekrojów
pr ħ ta dowolnymi płaszczyznami przecinaj Ģ cymi jego pobocznic ħ ,
• przekrój poprzeczny pr ħ ta to przekrój płaszczyzn Ģ prostopadł Ģ do jego osi,
• pr ħ t pryzmatyczny to pr ħ t o osi prostej i stałym przekroju poprzecznym.
Pr ħ t jest najcz ħĻ ciej spotykanym w praktyce in Ň ynierskiej elementem konstrukcji dlatego te Ň
on b ħ dzie modelem ciała w naszych rozwa Ň aniach.
Poszukuj Ģ c elementów zredukowanego układu sił przyło Ň onych do jednej z przeci ħ tych
cz ħĻ ci pr ħ ta przyjmiemy umow ħ , Ň e:
• zredukowanego układu sił poszukiwa ę b ħ dziemy na płaszczy Ņ nie przekroju poprzecznego
• biegunem redukcji b ħ dzie Ļ rodek ci ħŇ ko Ļ ci tego przekroju.
We Ņ my dowolny pr ħ t w równowadze pod działaniem układu sił zewn ħ trznych (rys.3.3),
podzielmy go na dwie cz ħĻ ci, odrzu ę my cz ħĻę II i korzystaj Ģ c z twierdzenia o równowa Ň no Ļ ci
odpowiednich układów sił, wyznaczmy elementy zredukowanego do Ļ rodka ci ħŇ ko Ļ ci
przekroju poprzecznego układu sił wewn ħ trznych przyło Ň onych do cz ħĻ ci I .
S
i { }
0
M
I
S
I
II
Rys. 3.3
26
Ê
W
Ê
W
gdzie: { }
88670233.012.png 88670233.013.png 88670233.014.png 88670233.015.png 88670233.016.png 88670233.017.png 88670233.018.png 88670233.019.png 88670233.020.png 88670233.021.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Siły wewn ħ trzne i przekrojowe.
W ogólnym przypadku w wyniku redukcji otrzymamy układ zło Ň ony z wektora sumy S i
wektora momentu M . Mog Ģ si ħ jednak zdarzy ę szczególne przypadki redukcji układu sił
wewn ħ trznych, które nazywamy prostymi przypadkami wytrzymało Ļ ci:
• Rozci Ģ ganie lub Ļ ciskanie osiowe
Wyst ħ puje ono wtedy, gdy układ sił wewn ħ trznych
redukuje si ħ do wypadkowej prostopadłej do przekroju
poprzecznego. Je Ļ li ma ona zwrot zgodny z normaln Ģ
zewn ħ trzn Ģ to wyst ħ puje rozci Ģ ganie osiowe w przeciwnym
przypadku mamy do czynienia ze Ļ ciskaniem osiowym.
Wypadkow Ģ t ħ nazywamy sił Ģ podłu Ň n Ģ lub osiow Ģ i
najcz ħĻ ciej oznaczamy przez N .
v
N
• ĺ cinanie
Wyst ħ puje ono wtedy, gdy układ sił wewn ħ trznych
redukuje si ħ do wypadkowej stycznej do przekroju
poprzecznego. Wypadkow Ģ t ħ nazywamy sił Ģ poprzeczn Ģ lub
tn Ģ c Ģ i najcz ħĻ ciej oznaczamy przez Q .
v
Q
• Zginanie
Wyst ħ puje ono wtedy, gdy układ sił wewn ħ trznych
redukuje si ħ do pary sił której, wektor momentu jest styczny do
przekroju poprzecznego. Moment ten nazywamy momentem
zginaj Ģ cym i oznaczamy przez M .
v
M
• Skr ħ canie
Wyst ħ puje ono wtedy, gdy układ sił wewn ħ trznych
redukuje si ħ do pary sił, której wektor momentu jest
prostopadły do przekroju poprzecznego. Moment ten
nazywamy momentem skr ħ caj Ģ cym i oznaczamy przez S
v
M .
M
S
M nazywamy siłami
przekrojowymi. Po przyj ħ ciu odpowiedniej umowy ich znakowania (np. zgodnie ze zwrotami
układu własnego przekroju poprzecznego pr ħ ta i spodami) mo Ň emy posługiwa ę si ħ nimi jak
współrz ħ dnymi opuszczaj Ģ c nadkre Ļ lenie.
N
,
Q
,
M
i
S
27
Dowolny zredukowany układ sił wewn ħ trznych mo Ň na wyrazi ę poprzez odpowiedni Ģ
kombinacj ħ wy Ň ej opisanych prostych przypadków.
Składowe zredukowanego układ sił wewn ħ trznych
88670233.022.png 88670233.023.png 88670233.024.png 88670233.025.png 88670233.026.png 88670233.027.png 88670233.028.png 88670233.029.png 88670233.030.png 88670233.031.png 88670233.032.png 88670233.033.png 88670233.034.png 88670233.035.png 88670233.036.png 88670233.037.png 88670233.038.png 88670233.039.png 88670233.040.png 88670233.041.png 88670233.042.png 88670233.043.png 88670233.044.png 88670233.045.png 88670233.046.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin