5. Analiza płaskiego stanu naprężenia.pdf

(120 KB) Pobierz
Microsoft Word - 05psnap.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Analiza płaskiego stanu napr ħŇ enia.
5. ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPR Ħņ ENIA
5.1. Napr ħŇ enia na dowolnej płaszczy Ņ nie
Jak pami ħ tamy płaski stan napr ħŇ enia w punkcie cechuje to, Ň e wektory napr ħŇ e ı
przyporz Ģ dkowane wszystkim płaszczyznom przeci ħ cia bryły w danym punkcie le ŇĢ w jednej
płaszczy Ņ nie zwanej, płaszczyzn Ģ stanu napr ħŇ enia. Wówczas w macierzy napr ħŇ e ı
wszystkie jej elementy w jednym wierszu (kolumnie) maj Ģ zerowe warto Ļ ci.
Taki stan napr ħŇ enia wyst ħ puje np. w płaskich tarczach. Rozwa Ň my zatem płask Ģ tarcz ħ
okre Ļ lon Ģ w układzie współrz ħ dnych ( X,Y ) i obci ĢŇ on Ģ dowolnym, ale b ħ d Ģ cym w
równowadze, układem sił zewn ħ trznych.
Y
p
v
t
s
C
v ,
( )
a
( )
m
s
−
( )
m
,
l
)
X
Rys. 5.1
Wybierzmy dowolny punkt C w pokazanej na rys. 5.1 płaskiej tarczy i przyjmijmy, Ň e znamy
w nim współrz ħ dne macierzy napr ħŇ e ı . Poniewa Ň panuje w nim płaski stan napr ħŇ enia, to
macierz napr ħŇ e ı b ħ dzie miała, w ogólnym przypadku, cztery ró Ň ne od zera elementy:
T
=
Å
Æ
s
x
,
t
xy
Õ
Ö
.
s
t
,
s
yx
y
Współrz ħ dne wektora napr ħŇ enia (
_
)
p
p
,
p
w tym punkcie na płaszczy Ņ nie o wersorze
v
vx
vy
normalnym ( )
v ,
_
m
s Ģ równe:
p
vx
=
s +
x
l
t
xy
m
,
= ,
a napr ħŇ enia normalne i styczne na tej płaszczy Ņ nie wynosz Ģ :
(
vy
t +
yx
l
s
y
m
_
v
_
) (
)
2
2
s
=
p
v
=
s
l
+
t
m
l
+
t
l
+
s
m
m
=
s
l
+
s
m
+
2
t
l
m
,
v
x
xy
yx
y
x
y
xy
_
_
(
) ( ) (
)
(
)
t
v
=
p
v
s
=
s
x
l
+
t
xy
m
−
m
+
t
yx
l
+
s
y
m
l
=
−
s
x
l
m
+
s
y
l
m
+
t
xy
l
2
−
m
2
,
gdzie:
s −
(
m
,
l
)
wersor styczny do płaszczyzny (patrz rys. 5.1) i prostopadły do wersora
.
Uwzgl ħ dniaj Ģ c, Ň e
( )
m
m , gdzie: a to k Ģ t mi ħ dzy kierunkiem wersora n i
osi Ģ X, oraz znane z trygonometrii zale Ň no Ļ ci
l
=
cos
a
a
=
sin
a
40
(
Ä
Ô
p
_
v ,
88670247.051.png 88670247.062.png 88670247.073.png 88670247.074.png 88670247.001.png 88670247.002.png 88670247.003.png 88670247.004.png 88670247.005.png 88670247.006.png 88670247.007.png 88670247.008.png 88670247.009.png 88670247.010.png 88670247.011.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Analiza płaskiego stanu napr ħŇ enia.
cos
2
a
=
cos
2
a
−
sin
2
a
,
sin
2
a
=
2
sin
a
cos
a
,
1
+
2
cos
2
a
1
−
2
cos
2
a
cos
2
a
=
,
sin
2
a
=
,
2
2
po przekształceniach otrzymujemy wzory :
s
=
s
x
+
s
y
+
s
x
−
s
y
cos
2
a
+
t
sin
2
a
,
(5.1)
(1)
v
2
2
xy
t
=
−
s
x
−
s
y
sin
2
a
+
t
cos
2
a
,
(5.2)
v
2
xy
podaj Ģ ce warto Ļ ci napr ħŇ e ı normalnych i stycznych na płaszczy Ņ nie przekroju, o wersorze
normalnym nachylonym pod k Ģ tem a do osi X . Dodatnim warto Ļ ci Ģ tych napr ħŇ e ı
odpowiadaj Ģ zwroty zgodne ze zwrotami wersorów
_
v oraz s , gdy Ň s Ģ to miary rzutów
wektora napr ħŇ enia (
_
)
na osie wyznaczone tymi wersorami.
Policzmy ile wynosi suma napr ħŇ e ı normalnych na dwóch dowolnych ale wzajemnie
prostopadłych płaszczyznach przekroju.
Korzystaj Ģ c ze wzoru (5.1) otrzymujemy:
p
p
,
p
v
vx
vy
s
+
s
=
s
x
+
s
y
+
s
x
−
s
y
cos
2
a
+
t
sin
2
a
+
v
,
a
v
,
a
+
90
2
2
xy
+
s
x
+
s
y
+
s
x
−
s
y
cos
2
a
+
90
0
)
+
t
sin
2
a
+
90
0
)
=
s
+
s
xy
x
y
2
2
dowodz Ģ c w ten sposób, i Ň : w płaskim stanie napr ħŇ enia suma napr ħŇ e ı normalnych na
dwóch do siebie prostopadłych płaszczyznach jest wielko Ļ ci Ģ stał Ģ lub, inaczej, Ň e suma
napr ħŇ e ı na przek Ģ tnej macierzy napr ħŇ e ı jest niezmiennikiem tzn. nie zmienia swej warto Ļ ci
przy zmianie układu, w którym jest okre Ļ lana. Twierdzenie to odnosi si ħ równie Ň do
przestrzennego stanu napr ħŇ enia.
5.2. Ekstremalne napr ħŇ enia normalne i styczne
In Ň yniera analizuj Ģ cego stan napr ħŇ enia w danym punkcie interesuj Ģ przede wszystkim
wyst ħ puj Ģ ce w nim ekstremalne warto Ļ ci napr ħŇ e ı normalnych i stycznych.
Postawmy wi ħ c dwa bardzo wa Ň ne zagadnienia do rozwi Ģ zania:
• na jakiej płaszczy Ņ nie przekroju wyst ħ puj Ģ i ile wynosz Ģ ekstremalne napr ħŇ enia
normalne,
• na jakiej płaszczy Ņ nie przekroju wyst ħ puj Ģ i ile wynosz Ģ ekstremalne napr ħŇ enia styczne.
Aby rozwi Ģ za ę te oba zagadnienia nale Ň y wyznaczy ę ekstremalne warto Ļ ci funkcji
( a
v = .
Zaczniemy od napr ħŇ e ı normalnych.
Pochodna funkcji
v =
s
v
oraz
t
t
v
( a
s
v =
s
v
( a
przyrównana do zera
d
s
v
=
−
2
s
x
−
s
y
sin
2
a
+
2
t
cos
2
a
=
0
,
xy
d
a
2
41
(
(
s
88670247.012.png 88670247.013.png 88670247.014.png 88670247.015.png 88670247.016.png 88670247.017.png 88670247.018.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Analiza płaskiego stanu napr ħŇ enia.
pokazuje, Ň e na tych płaszczyznach przekroju na których napr ħŇ enia normalne s Ģ ekstremalne,
napr ħŇ enia styczne s Ģ równe zeru i daje równanie, z którego mo Ň emy wyznaczy ę
tg
2
a
=
−
2
t
xy
s
®
a
=
1
arc
tg
Å
Æ
−
2
t
xy
Õ
Ö
+
n
p
(5.3)
s
−
2
s
−
s
2
y
x
y
x
k Ģ t pod jakim nachylony jest do osi X , wersor normalny płaszczyzny lub płaszczyzn na
których wyst ħ puj Ģ ekstremalne napr ħŇ enia normalne.
Zale Ň no Ļ ci (5.3) pokazuj Ģ , Ň e ekstremalne napr ħŇ enia normalne wyst ħ puj Ģ na dwóch
wzajemnie do siebie prostopadłych płaszczyznach. Płaszczyzny te nazywamy płaszczyznami
głównymi a napr ħŇ enia normalne na nich napr ħŇ eniami głównymi. Kierunki wersorów
normalnych do płaszczyzn głównych czyli kierunki napr ħŇ e ı głównych nazywamy
kierunkami głównymi. Zatem:
napr ħŇ enia główne w danym punkcie to ekstremalne warto Ļ ci napr ħŇ e ı normalnych,
które w nim wyst ħ puj Ģ . Działaj Ģ one na dwóch do siebie prostopadłych płaszczyznach
(płaszczyznach głównych) na których napr ħŇ enia styczne s Ģ równe zeru.
W celu wyznaczenia warto Ļ ci napr ħŇ e ı głównych w płaskim stanie napr ħŇ enia korzystamy z
poni Ň szych wzorów trygonometrycznych:
sin
2
a
=
±
tg
2
a
,
cos
2
a
=
±
1
,
2
2
1
+
tg
2
a
1
+
tg
2
a
które wstawiamy do równania (5.1):
s
x
+
s
y
s
x
−
s
y
1
tg
2
a
s
=
s
=
+
+
t
,
max
1
xy
2
2
2
2
1
+
tg
2
a
1
+
tg
2
a
s
x
+
s
y
s
x
−
s
y
Ä
−
1
Ô
Ä
−
tg
2
2
a
Ô
s
=
s
=
+
+
t
Å
Õ
Å
Õ
min
2
xy
2
2
2
2
1
+
tg
2
a
1
+
tg
2
a
Æ
Ö
Æ
Ö
aby nast ħ pnie po wykorzystaniu zale Ň no Ļ ci (5.3) otrzyma ę ko ı cowe rezultaty w postaci:
s
+
s
Ä −
s
s
Ô
2
s
=
s
=
x
y
+
Å
Æ
x
y
Õ
Ö
+
t
2
max
1
xy
2
2
(5.4)
s
+
s
Ä −
s
s
Ô
2
s
=
s
=
x
y
−
Å
Æ
x
y
Õ
Ö
+
t
2
min
2
xy
2
2
Wzór (5.3) podaje jedynie k Ģ t transformacji wyj Ļ ciowego układu współrz ħ dnych do układu
kierunków napr ħŇ e ı głównych nie okre Ļ laj Ģ c, kierunku max
s i kierunku min
s . Kierunki tych
napr ħŇ e ı okre Ļ laj Ģ poni Ň sze zale Ň no Ļ ci:
42
Ä
Ô
2
Å
Õ
Å
Õ
88670247.019.png 88670247.020.png 88670247.021.png 88670247.022.png 88670247.023.png 88670247.024.png 88670247.025.png 88670247.026.png 88670247.027.png 88670247.028.png 88670247.029.png 88670247.030.png 88670247.031.png 88670247.032.png 88670247.033.png 88670247.034.png 88670247.035.png 88670247.036.png 88670247.037.png 88670247.038.png 88670247.039.png 88670247.040.png 88670247.041.png 88670247.042.png 88670247.043.png 88670247.044.png 88670247.045.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Analiza płaskiego stanu napr ħŇ enia.
tg
a
=
tg
a
=
−
t
xy
,
tg
a
=
tg
a
=
−
t
xy
.
(5.5)
max
1
s
−
s
min
2
s
−
s
y
max
y
min
a oznacza k Ģ t o jaki nale Ň y obróci ę
o Ļ X do pokrycia si ħ z kierunkiem maksymalnego
napr ħŇ enia normalnego max
Y
umowa znaków
s . Analogicznie definiujemy
a
>
0
X
k Ģ t a min .
W celu wyznaczania ekstremalnych napr ħŇ e ı stycznych i płaszczyzn ich wyst ħ powania
post ħ pujemy podobnie jak w przypadku ekstremalnych napr ħŇ e ı normalnych.
Przyrównanie do zera pochodnej funkcji
t
v =
t
v
( a
:
d
t
v
=
−
2
s
x
−
s
y
cos
2
a
−
2
t
sin
2
a
= 0 ,
xy
d
a
2
daje zale Ň no Ļę , z której wyznaczamy kierunki normalnych do płaszczyzn ekstremalnych
napr ħŇ e ı stycznych
tg
2
a t
=
s
y
−
s
x
®
a t
=
1
arc
tg
Å
Æ
s
y
−
s
x
Õ
Ö
+
n
p
(5.6)
2
t
2
2
t
2
xy
xy
Wzór (5.6) pokazuje, Ň e ekstremalne napr ħŇ enia styczne te Ň wyst ħ puj Ģ na dwóch wzajemnie
do siebie prostopadłych płaszczyznach, a a to k Ģ t transformacji układu współrz ħ dnych do
układu wyznaczonego przez normalne do tych płaszczyzn.
Wstawiaj Ģ c (5.6) do (5.2), przy wykorzystaniu analogicznych jak poprzednio zale Ň no Ļ ci
trygonometrycznych otrzymujemy warto Ļ ci ekstremalnych napr ħŇ e ı stycznych:
Ä −
s
s
Ô
2
s
−
s
t
=
Å
Æ
x
y
Õ
Ö
+
t
2
=
max
min
,
(5.7)
max
xy
2
2
Ä −
s
s
Ô
2
s
−
s
.
t
=
−
Å
Æ
x
y
Õ
Ö
+
t
2
=
−
max
min
min
xy
2
2
Porównanie wzorów (5.3) i (5.6) daje zale Ň no Ļę :
tg
2
a
= ctg
−
2
a
®
2
a
=
2
a
+
p
®
a
=
a
+
p
t
t
2
t
4
co dowodzi twierdzenia, Ň e płaszczyzny ekstremalnych napr ħŇ e ı stycznych połowi Ģ k Ģ ty
mi ħ dzy płaszczyznami napr ħŇ e ı głównych (ekstremalnych napr ħŇ e ı normalnych).
Na koniec powiemy, Ň e w przypadku przestrzennych stanów napr ħŇ enia s Ģ trzy wzajemnie
prostopadłe płaszczyzny główne na których napr ħŇ enia styczne si ħ zeruj Ģ a napr ħŇ enia
normalne s Ģ ekstremalne (napr ħŇ enia główne). Płaszczyzny ekstremalnych napr ħŇ e ı
stycznych i w tym przypadku połowi Ģ k Ģ ty mi ħ dzy płaszczyznami napr ħŇ e ı głównych.
43
We wzorach (5.5) max
Ä
Ô
88670247.046.png 88670247.047.png 88670247.048.png 88670247.049.png 88670247.050.png 88670247.052.png 88670247.053.png 88670247.054.png 88670247.055.png 88670247.056.png 88670247.057.png 88670247.058.png 88670247.059.png 88670247.060.png 88670247.061.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Analiza płaskiego stanu napr ħŇ enia.
5.3. Koła Mohra
Stawiamy pytanie: czy warto Ļ ci napr ħŇ e ı normalnych i stycznych na dowolnej płaszczy Ņ nie
przekroju bryły w punkcie, w którym panuje płaski stan napr ħŇ enia okre Ļ lony zadanymi
współrz ħ dnymi macierzy napr ħŇ e ı mog Ģ by ę całkowicie dowolne czy te Ň musz Ģ przyjmowa ę
warto Ļ ci z pewnego ograniczonego zakresu. Aby odpowiedzie ę na to pytanie powrócimy do
równa ı (5.1) oraz (5.2) i zapiszemy je w nieco zmienionej formie:
s
−
s
x
+
s
y
=
s
x
−
s
y
cos
2
a
+
t
sin
2
a
,
(1)
v
2
2
xy
t
=
−
s
x
−
s
y
sin
2
a
+
t
cos
2
a
,
v
2
xy
a nast ħ pnie podniesiemy ka Ň de z nich do kwadratu i dodamy stronami otrzymuj Ģ c w wyniku
ko ı cowym zale Ň no Ļę :
Ä
Ô
2
2
2
Ä
s
+
s
Ô
Å
Ä −
s
s
Ô
Õ
Å
s
−
x
y
Õ
+
t
2
=
Å
x
y
Õ
+
t
2
.
(5.8)
Å
Õ
v
v
xy
Æ
2
Ö
Æ
2
Ö
Æ
Ö
Równanie (5.8) pokazuje Ň e, warto Ļ ci napr ħŇ e ı normalnych i stycznych dla wszystkich
płaszczyzn przekroju bryły w danym punkcie le ŇĢ na brzegu koła o promieniu (rys. 5.2).
Ä −
s
s
Ô
2
R
=
Å
Æ
x
y
Õ
Ö
+
t
2
,
xy
2
i Ļ rodku przesuni ħ tym na osi s o wielko Ļę
s +
x s
y
.
2
Koło to nazywamy kołem Mohra , jest ono graficzn Ģ reprezentacj Ģ stanu napr ħŇ enia w danym
punkcie i mo Ň emy z niego wyznaczy ę wiele interesuj Ģ cych wielko Ļ ci zwi Ģ zanych ze stanem
napr ħŇ enia.
Na rys. 5.2 pokazane jest koło Mohra w punkcie w którym współrz ħ dne macierzy napr ħŇ e ı
spełniaj Ģ zale Ň no Ļ ci
s
x s
> y
>
0
oraz
t
xy
>
0
. Punkt K pokazany na tym rysunku, nazywany
biegunem koła Mohra, ma współrz ħ dne (
s −
y t
xy
)
i pozwala na wyznaczenie kierunków
napr ħŇ e ı głównych.
Łatwo jest dowie Ļę pokazanych na tym rysunku zale Ň no Ļ ci. Ograniczymy si ħ zatem jedynie
do udowodnienia, Ň e
s
max =
OB
oraz Ň e,
s
min =
OA
.
Z rysunku wida ę , Ň e
OB
=
OO
1
+
R
, a poniewa Ň :
s +
s
Ä −
s
s
Ô
2
OO
=
x
y
, a
R
=
Å
Æ
x
y
Õ
Ö
+
t
2
, wi ħ c:
1
2
2
xy
44
,
88670247.063.png 88670247.064.png 88670247.065.png 88670247.066.png 88670247.067.png 88670247.068.png 88670247.069.png 88670247.070.png 88670247.071.png 88670247.072.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin