RÓŻNE SPOSOBY ZAPISYWANIA LICZB I. Historia matematyki. II. Cyfry: 1. arabskie 2. rzymskie III. Rodzina liczb: 1. liczby naturalne – klasyfikacja: a) liczby parzyste b) liczby nieparzyste c) liczby pierwsze d) liczby złożone e) liczby doskonałe f) liczby bliźniacze 2. liczby całkowite 3. liczby wymierne 4. liczby ułamkowe – sposoby zapisywania ułamków: a) ułamki zwykłe b) ułamki właściwe c) ułamki niewłaściwe d) ułamki nieskracalne e) ułamki dziesiętne f) ułamki okresowe 5. liczby niewymierne 6. liczby rzeczywiste 7. liczby przeciwne i liczby odwrotne IV. Przedstawianie liczb na osi liczbowej. V. Systemy liczbowe: 1. Systemy liczbowe na przestrzeni wieków. 2. Przykłady systemów liczbowych, oraz sposobów zapisywania liczb. VI. Podsumowanie. WSTĘP Spośród podanych tematów najbardziej zainteresował mnie temat o liczbach. Odgrywają one niezmiernie ważną rolę w życiu każdego człowieka i mają prawie tak samo długą historię. Czy mógłby w ogóle istnieć świat bez liczb i tak ważnej dziedziny nauki, którą jest matematyka?. ,, Liczby rządzą światem” – tak twierdził już Pitagoras (ok. 530 p.n.e.). Gdy pomyślałam, że tę wielką rodzinę liczbową utworzyło zaledwie kilka prastarych znaków ( cyfr ), postanowiłam zanalizować jak zapisywano je dawniej i jakimi sposobami możemy zapisać je w czasach obecnych. I. HISTORIA MATEMATYKI , Potęga matematyki polega na pomijaniu wszystkich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych” Ernst Mach ( fizyk i filozof austriacki 1838 – 1916 ) MATEMATYKA – pierwotnie w starożytności, nauka o liczbach ( arytmetyka ) i figurach geometrycznych ( geometria ), która rozwinęła się na gruncie filozofii na przełomie V i IV w. p.n.e. , dzięki matematykom w szkole ,, młodych pitagorejczyków”, do których należeli m.in.: Archytas z Tarentu, Eudoksos z Knidos, Demokryt, a potem Platon i Arystoteles. Każda teoria matematyczna posiada pewne aksjomaty, oraz dedukcyjnie wyprowadzone z nich twierdzenia. Początki matematyki jako technik rachunkowych rozwinęły się w Babilonii (m.in. system sześćdziesiątkowy stosowany w mierze czasu i kątów do dziś ) i Egipcie. Znaczący wkład w rozwój matematyki wnieśli Grecy ( Tales z Miletu, Euklides, Archimedes i Pitagoras ). W wiekach średnich matematyka rozwijała się głównie w kręgu kultury hinduskiej i arabskiej ( liczba, dziesiętny system liczbowy ). Pod koniec średniowiecza osiągnięcia arabskie zostały rozpropagowane w kręgu kultury europejskiej ( Leonardo z Pizy ). W XVI i XVII w. matematyka gwałtownie rozwijana była w Europie ( teoria rozwiązywania równań algebraicznych, początki rachunku różniczkowego i całkowego, rachunek prawdopodobieństwa ). Wiek XVIII przyniósł dalszy rozwój matematyki głównie w zastosowaniach fizycznych ( teoria równań różniczkowych ). Późniejszy rozwój matematyki to: analiza matematyczna, algebra abstrakcyjna, geometria, teoria mnogości i topologia. Współcześnie intensywnie rozwija się matematyka stosowana ( statystyka, cybernetyka, teoria gier ). II. CYFRY Cyfry – umowne znaki służące do zapisywania liczb, powstały dla potrzeb gospodarstwa ( np. liczenie bydła, stanowiącego własność mieszkańców osady, a wysyłanego wspólnie na odległe pastwiska ). 1. Cyfry arabskie. Służą do zapisywania liczb w dziesiętnym systemie liczbowym. Pochodzą z Indii, w średniowieczu przeniesione przez Arabów do Europy. Są to następujące znaki ; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 2. Cyfry rzymskie: ( pochodzenia latyno – etruskiego ) I = 1 L = 50 V = 5 C = 100 X = 10 D = 500 M = 1000 Cyfry rzymskie stosujemy do zapisywania dat, rocznic, stuleci, godzin na zegarach i numeracji rozdziałów w książkach. Gdy zestawiamy takie symbole ze sobą, możemy otrzymać zapisy różnych liczb. Np.: zapis arabski 1751 = 1000 +500 + 100 + 100 + 50 + 1 zapis rzymski MDCCLI = M + D + C + C + L + I Jeżeli cyfra oznaczająca mniejszą liczbę znajduje się przed cyfrą wyższą, to zapis odczytujemy stosując odejmowanie: zapis arabski 4 = 5 –1 900 = 1000 – 100 40 = 50 – 10 zapis rzymski IV = V –I CM = M – C XL = L – X III. RODZINA LICZB Liczba jest to ciąg znaków cyfrowych – np. 24689245678... 1. LICZBY NATURALNE – klasyfikacja. Liczby naturalne – to liczby całkowite, których zbiór jest nieskończony. Znali je już starożytni Grecy. a. parzyste liczby naturalne – to takie, które są podzielne przez 2. Możemy je przedstawić w postaci n = 2k gdzie k – pewna liczba naturalna. Przykład: n = 2, 4, 6, 8, 10, i.t.d. b. nieparzyste liczby naturalne, to takie liczby, które nie są podzielne przez 2, np.: 3, 5, 7, 9, i.t.d. Przedstawiane są w postaci: n = 2 × k + 1 k - dowolna liczba naturalna c. liczby pierwsze naturalne to : n >1, dla których istnieją dwa dzielniki naturalne 1i przez samą siebie czyli n, np.: 2, 3, 5, 11, 53, 61, 79 itd. 0 i 1 nie zaliczamy do liczb pierwszych. Liczb pierwszych używa się często jako kluczy w szyfrach, oraz w zabezpieczeniach komputerowych. Dwie liczby naturalne, których jedynym wspólnym dzielnikiem jest 1 nazywa się liczbami względnie pierwszymi, np.: 14 i15, 22 i 21. Ciekawostka. Największą znalezioną liczbą pierwszą jest 269725932 – 1 - znaleziona w 1999r. Liczba ta zapisana w systemie dziesiętnym składa się z ponad 2 mln. cyfr. d. liczbami złożonymi są te liczby naturalne, z wyjątkiem jedynki, które nie są liczbami pierwszymi. Liczba 1 nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną. e. liczba doskonała – to liczba naturalna n, która jest sumą wszystkich swoich podzielników różnych od niej samej. Np.: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 , 6 = 3 + 2 + 1 f. liczby bliźniacze – to dwie kolejne liczby nieparzyste będące liczbami pierwszymi. Np.: 5 i 7 ; 29 i 31 ; 39 i 41. 2. LICZBY CAŁKOWITE – to liczby naturalne, liczby do nich przeciwne, oraz liczba 0. Np.: 0, 1, 2, 3, 8, 10, 30 ... , oraz -1, -2, - 3, -8, -10, -30 ... 3. LICZBY WYMIERNE – to takie liczby które da się przedstawić w postaci ułamka zwykłego, którego licznik jest dowolną liczbą całkowitą, a mianownik liczbą całkowitą różną od zera. Np.: -8 = - 3,8 = 4 = -3 = - 4. LICZBY UŁAMKOWE – sposoby zapisywania ułamków. Liczby ułamkowe znane są już od starożytności. Są wynikiem praktyki życia codziennego (dzielenie przedmiotów). RODZAJE UŁAMKÓW: a. ułamki zwykłe – iloraz a : b liczby a przez liczbę b różną od 0 : gdzie a – licznik ułamka – - kreska ułamkowa b – mianownik ułamka Np.: 4 : 9 = = b. ułamki właściwe –w których licznik jest mniejszy od mianownika, Np.: , , , c. ułamki niewłaściwe –których licznik jest większy od mianownika, Np.: , , d. ułamki nieskracalne –czyli takie w których licznik i mianownik nie mają wspólnego podzielnika różnego od 1. Np.: , , e. ułamki dziesiętne –to takie ułamki, których mianownik jest potęgą liczby 10 o wykładniku naturalnym, a licznik jest dowolną liczbą całkowitą. W zapisie ułamkiem dziesiętnym część całkowitą liczby od jej części ułamkowej oddziela przecinek. Np.: 0,1 - czytamy jedna dziesiąta 2,53 - czytamy dwie i pięćdziesiąt trzy setne 10,134 - czytamy dziesięć i sto trzydzieści cztery tysięczne f. ułamki okresowe –to ułamki dziesiętne nieskończone, czyli takie, w których od pewnego miejsca rozwinięcia dziesiętnego powtarza się jeden ciąg cyfr. Przykład: ułamkiem okresowym jest liczba ; 0,235146146146..., zapisywana: 0,235(146). 5. LICZBY NIEWYMIERNE – to takie liczby, które mają rozwinięcie dziesiętne nieskończone, nieokresowe. Przykładami liczb niewymiernych są: 3,14 ; ; ; ; e 2,72; ; 57,29; = 1,41421 35624 19339 16628 19759 88713 07959 86834... 6. LICZBY RZECZYWISTE – to zbiór liczb wymiernych i niewymiernych. Schemat liczb rzeczywistych Każda liczba rzeczywista posiada „wartość bezwzględną liczby”. Wartością bezwzględną liczby nazywamy odległość na osi liczbowej punktu odpowiadającego tej liczbie od punktu zerowego. Symbol x czytamy : wartość bezwzględna liczby x . Np. : 5 czytamy- wartość bezwzględna liczby 5. Istnieje dziesięć aksjomatów określających liczby rzeczywiste. Są to : a. przemienność dodawania b. łączność dodawania c. rozwiązywalność każdego równania postaci a + x = b d. przemienność mnożenia e. łączność mnożenia f. rozwiązywalność każdego równania postaci ax = b ( gdy a 0 ) g. rozdzielność mnożenia względem dodawania. h. zupełność relacji porządkującej względem zera (tzn. a = 0, albo a < 0, albo a > 0). i. prawdziwość zdań: jeżeli a > 0 i b > 0 to a + b > 0 i ab > 0 j. prawdziwość twierdzenia: każdy zbiór ograniczony z góry ma kres górny. 7. LICZBY PRZECIWNE I LICZBY ODWROTNE Liczby przeciwne – są to takie liczby, których suma wynosi 0 Np.: 4 + ( - 4 ) = 0 + ( - ) = 0 2 + ( - 2 ) = 0 Liczby odwrotne, są to liczby, których iloczyn jest równy 1. Np.: 5 ∙ = 1 ∙ = 1 ( - ) · ( - ) = 1 IV. PRZEDSTAWIANIE LICZB NA OSI LICZBOWEJ. Oś liczbowa jest to prosta, na której zaznaczone są jednostki, których wartość rośnie zgodnie ze zwrotem osi. Z kilku liczb zaznaczonych na osi liczbowej większa jest ta, która leży najdalej od punktu 0 zgodnie ze zwrotem osi. Przykład: Obrazami dwóch liczb przeciwnych np.: 4 i –4, 2 i -2 , i na osi liczbowej są dwa punkty jednakowo odległe od punktu zerowego. -4 -2 - 0 2 4 V. SYSTEMY LICZBOWE. 1. Systemy liczbowe na przestrzeni wieków. Rozróżnia się systemy liczbowe : pozycyjne i addytywne. W systemach addytywnych wartość przedstawianej liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych. Przykładowo: notacja stosowana często przy liczeniu głosów, polegająca na rysowaniu kresek (symbolizujących 1 ) formujących kwadraty z jedną przekątną (symbolizujących 5). Na addytywnym systemie zapisu opierają się następujące systemy liczbowe : hieroglificzny, rzymski i alfabetyczny. Hieroglificzny system liczbowy używany był w starożytnym Egipcie. Był to system oparty na zasadzie dziesiętnej, ale bez zera. Jedynkę przedstawiała pionowa kreska, liczbę 10 – znak przypominający literę U liczbę 100 – spirala ze sznura liczbę 1000 – kwiat lotosu z łodygą liczbę 10 000 – podniesiony i nieco zgięty palec liczbę 100 000 – żaba lub kijanka ze zwieszonym ogonem liczbę 1000 000 – postać klęczącego człowieka z uniesionymi rękami Liczby pisane były od prawej strony do lewej. Przykłady pisania liczb hieroglifami: Alfabetyczny system liczbowy, w którym liczby oznaczane są literami alfabetu stosowali starożytni Grecy. W systemie tym występowały następujące oznaczenia : System ten oparty jest na zasadzie dziesiętnej, ale bez zera. Aby liczby odróżnić od słów stawiano nad nimi kreskę. W numeracji jońskiej do oznaczenia liczb 6, 90 i 900 stosowano dodatkowe znaki. Przykłady : _____ 538 = jlh ______ 1562 =’ ajxb Rzymski system liczbowy jest oparty na zasadzie piątkowej, bez zera, stąd specjalne znaki dla pięciu (V), pięćdziesięciu (L) i pięciuset (D). Liczbę przedstawiano jako uporządkowany układ znaków od największego do najmniejszego, a wartość liczby była równa sumie wartości występujących znaków. Na przykład : XV = 15 CXXVII = 127 Dla uproszczenia zapisu stosowano także odejmowanie – cyfra mniejsza poprzedzająca większą oznacza wartość ujemną . Np. : zamiast IIII (ten sposób z czasem zarzucono) pisano IV zamiast XVIIII pisano XIX zamiast LXXXX pisano XC Przykłady zapisu liczb w rzymskim systemie liczbowym : 80 – LXXX 300 – CCC 444 - CDXLIV 496 – CDXCVI 888 - DCCCLXXXVIII 1986 – MCMLXXXVI W pozycyjnym systemie liczbowym liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, przy czym wartość cyfry zależy od miejsca (pozycji), na którym się ona znajduje w tym ciągu. Obecnie najbardziej znanym i stosowanym jest dziesiętny system liczbowy. Pierwowzór dziesiętnego systemu liczbowego pojawił się w V w.n.e. w Indiach, skąd do Europy dotarł poprzez Arabów. Znane są również systemy : dwójkowy, trójkowy, piątkowy, ósemkowy itd. Zanim system dziesiątkowy stał się systemem powszechnym, różne plemiona i narody posługiwały się innymi systemami. Na przykład system dwójkowy spotykano w bardzo niedoskonałej formie- u niektórych plemion Australii i Polinezji. Układ piątkowy zaś u indiańskiego plemienia Szoszonów w Południowej Ameryce. Występował on również w języku Wedau na Nowej Gwinei. Starożytni Majowie ( I w.p.n.e.) używali układu dwudziestkowego. Obranie liczby pięć jako podstawy systemu liczenia wiąże się zapewne z liczbą palców u ręki. Palce pomagały bowiem ludom pierwotnym w liczeniu. Ślady układu piątkowego widać w zapisie cyfr rzymskich : VI, VII, VIII to przecież 5 + 1 ; 5 + 2 ; 5 + 3 ; V- schematyczny rysunek ręki ( dłoni), X natomiast jest znakiem składającym się jak gdyby z dwóch piątek. Pozostałość niektórych systemów spotykamy do dnia dzisiejszego. Np.: zastosowanie systemu dwunastkowego znajdujemy w podziale roku na 12 miesięcy. Dzień i noc mają po 12 godzin. W handlu przetrwała jednostka tuzin. W miarach czasu i kąta zachował się częściowo system sześćdziesiątkowy, pochodzący od Babilończyków. 2. Przykłady systemów liczbowych, oraz sposobów zapisywania liczb. Dziesiętny system liczbowy- najbardziej pozycyjny system zapisu liczb oparty o potęgi liczby 10 i tyleż znaków graficznych (cyfr; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) wykorzystywanych do zapisu liczb. System ten nazywany jest często dziesiątkowym, gdyż liczymy łącząc każde : 10 jedności w 1dziesiątkę 10 dziesiątek w 1 setkę 10 setek w 1 tysiąc 10 tysięcy w 1 dziesiątkę tysięcy 10 dziesiątek tysięcy w 1 setkę tysięcy 10 setek tysięcy w 1 milion itd.... Przykład budowy dziesiątkowego systemu liczb. Rząd, 5 4 3 2 1 0 pozycja 100 000 10 000 1000 100 10 1 Jenostka 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 rzędu Najstarszym układem dziesiątkowym jest układ „kopowy” . Tu zaczyna pojawiać się znak zera. Jego kolebką są tereny dzisiejszego państwa Iraku (u Sumerów) w czwartym tysiącleciu przed naszą erą. Sumerowie zapisywali ówcześnie liczby znakami klinowymi układając je w różny sposób. Np. : liczba 1 –znak pionowego klina liczba 10 –dwa kliny, które w połączeniu tworzyły kąt liczba 100 – znak powstały z połączenia dwóch klinów pionowego i poziomego System dwójkowy (binarny) : Jest układem pozycyjnym zawierającym najmniejszą ilość cyfr. Do zapisania każdej liczby w dwójkowym systemie liczb wystarczają dwie cyfry (0 i 1 ) Jednostka każdego następnego rzędu jest dwa razy większa od jednostki rzędu porzedniego. System dwójkowy znalazł zastosowanie w technice min.w Alfabecie Braille’a , w kartotekach, w dalekopisach, w maszynach matematycznych. Obecnie jest szeroko stosowany w elektronice cyfrowej, gdzie pojawienie się impulsu-to 1, a jego brak – to 0. System dwójkowy to postać programu w pamięci komputera, która – pomijając reguły interpretacyjne jest skończonym ciągiem zer i jedynek. Pisanie liczb w układzie dwójkowym nie jest wygodne ze względu na rozwlekłość zapisu : do zapisu tej samej liczby w układzie dwójkowym trzeba użyć znacznie więcej cyfr niż w układzie dziesiątkowym. Budowa dwójkowego systemu liczb. 5 4 3 2 1 0 Rząd,pozycja 32 2 5 16 2 5 8 2 3 4 2 2 2 2 1 1 2 0 Jednostka rzędu Przykłady : 49 = 25 + 24 + 20 = 110001(2) 101011(2)= 25 + 23 + 21 +20 = 32 + 8 + 2 + 1 = 43 System trójkowy. W trójkowym systemie liczbowym do zapisania każdej liczby wystarczają trzy cyfry (0, 1, 2). Jednostka każdego następnego rzędu jest trzy razy większa od jednostki rzędu poprzedniego. Budowa trójkowego systemu liczb. 5 4 3 2 1 0 Rząd,pozycja 243 35 81 34 27 33 9 32 3 31 1 30 Jednostka rzędu Przykłady : 49 = 33 + 2 × 32 + 31 + 30 = 1211(3) 2101(3) = 2× 33 + 32 + 30 = 2 × 27 + 9 + 1 = 54 + 10 = 64 System piątkowy. W piątkowym systemie liczbowym do zapisania każdej liczby wystarczy pięć cyfr (0, 1, 2, 3, 4). Jednostka każdego następnego rzędu jest pięć razy większa od jednostki rzędu poprzedniego. Budowa piątkowego systemu liczb. 5 4 3 2 1 0 Rząd,pozycja 3125 55 625 54 125 53 25 52 5 51 1 50 Jednostka rzędu Przykłady : 144 = 53 + 3 × 51 + 4× 50 = 1034(5) 4210(5) = 4 × 53 + 2 × 52 + 51 = 4 × 125 + 2 × 25 +5 = 500 + 50 + 5 = 555 Są jeszcze inne systemy liczbowe. Np.: Ósemkowy-oktalny (angielskie octal), czyli przy użyciu cyfr od 0 do 7. Zapis ósemkowy łatwo zamienia się na dwójkowy (i odwrotnie):wystarczy zamieniać cyfry ósemkowe na trzy cyfry dwójkowe lub odwrotnie. Np.: 067 = 110 111 101 000 011=0503 (nieznaczące początkowe zero konwencjonalnie oznacza liczbę ósemkową), dlatego system ósemkowy o cyfrach 0 ... 7 też jest przydatny w informatyce. Szesnastkowy, heksadecymalny (angielskie hexadecimal), przedstawiony za pomocą cyfr Szesnastkowych, zapisany w szesnastkowym systemie pozycyjnym. W notacji szesnastkowej używa się cyfr : pierwsze dziesięć to cyfry stosowane w notacji dziesiętnej, następne – reprezentujące liczby od 10 do 15 – oznacza się za pomocą liter : A, B, C, D, E i F. ...
Aleksander898