Funkcja_troch_teorii_zadania.pdf

(189 KB) Pobierz
Microsoft Word - Æwiczenia.doc
II. GRANICE FUNKCJI, PODSTAWOWE WIADOMOŚCI O WYBRANYCH
FUNKCJACH.
2.1 Granica funkcji.
Definicja:
Mówimy, że granicą funkcji y = f(x) w punkcie „x 0 ” jest liczba „g”, wtedy i tylko wtedy gdy
dla każdego ciągu {x n }argumentów funkcji f(x) zbieżnego do „x 0 ”, o wyrazach różnych od
„x 0 ”, ciąg {f(x n )} wartości funkcji jest zbieżny do „g”.
Działania arytmetyczne na granicach funkcji:
jeżeli
lim
f
(
x
)
=
g
oraz
lim
h
(
x
)
=
p
, to:
x
→
x
x
→
x
0
0
1.
lim 0
(
f
(
x
)
±
h
(
x
))
=
g
±
p
x
→
x
2.
lim 0
(
f
(
x
)
*
h
(
x
))
=
g
*
p
x
→
x
3.
lim 0
f
(
x
)
=
g
przy dodatkowym założeniu, że
p
≠
0
h
(
x
)
p
x
→
x
Symbole nieoznaczone:
∞
;
0
;
∞
−
∞
;
0
*
∞
∞
0
Niektóre granice wyrażeń nieoznaczonych: plik PDF GRANICE WYRAŻEŃ
NIEOZNACZONYCH.pdf
Jeżeli ciąg {f(x n )} będzie rozbieżny do ∞
± , to mówimy, że funkcja y = f(x) ma w punkcie
„x 0 ” granicę niewłaściwą.
Jeżeli ciąg {x n } jest rozbieżny do ∞
± , to mówimy o granicy funkcji y = f(x) w
nieskończoności.
2.2 Funkcja wykładnicza.
Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję:
x
a
gdzie
x ∈ i „a” jest ustaloną liczbą dodatnią
R
Gdy 0 < a < 1 to funkcja jest malejąca
6
y =
285040615.005.png 285040615.006.png
Gdy a = 1 to funkcja jest stała
Gdy a > 1 to funkcja jest rosnąca
Gdy a > 0 i
a
≠
1
to funkcja jest różnowartościowa
Zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych, dodatnich – R +
Dla każdego
a
∈ R
+
funkcja wykładnicza jest funkcją ciągłą na zborze
x ∈ .
R
Funkcja wykładnicza nie posiada ani ekstremum, ani miejsc zerowych.
Granice funkcji wykładniczej:
lim
a
x
=
0
x
→
+∞
dla 0 < a <1
lim
a
x
=
+∞
x
→
−∞
lim
a
x
=
+∞
x
→
+∞
dla a > 1
lim
a
x
=
0
x
→
−∞
2.3 Funkcja logarytmiczna.
Funkcją logarytmiczną nazywamy funkję:
x
y
=
log
a
gdzie
x
∈ R
+
i „a” jest ustaloną liczbą dodatnią różną od 1.
Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej.
Gdy 0 < a < 1 to funkcja jest malejąca
Gdy a > 1 to funkcja jest rosnąca
Gdy a > 0 i
a
≠
1
to funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa
Granice funkcji logarytmicznej:
lim
log
a
x
=
+∞
x
→
+∞
dla a > 1
lim
log
x
=
−∞
a
x
→
0
lim
log
a
x
=
−∞
x
→
+∞
dla 0 < a < 1
lim
log
x
=
+∞
a
x
→
0
7
285040615.007.png
y
= log
x
⇔
a
y
=
x
a
Pozostałe własności funkcji logarytmicznej:
Dla każdego
a
∈ R
+
\
{
zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór
y ∈
x
Funkcja logarytmiczna nie posiada ekstremum, a jej miejscem zerowym jest punkt (1,0).
a
∈ R
+
\
{
funkcja logarytmiczna jest ciągła na zbiorze
∈ R
+
2.4 Funkcja wymierna.
Funkcją wymierną nazywamy funkcję:
f =
(
)
W
(
x
)
G
(
x
)
gdzie
x ∈ , „P” to pierwiastki (miejsca zerowe) wielomianu G(x).
R
\ P
}
Funkcję wymierną postaci:
f
(
x
)
=
ax
+
b
cx
+
d
gdzie
da ∗
∗
≠
b
c
i
c
≠
0
nazywamy funkcją homograficzną.
Wykresy funkcji homograficznej:
f
(
x
)
=
ax
+
b
cx
+
d
gdzie
a
−∗ c
d
b
∗
<
0
i
c
≠
0
8
R
Dla każdego
285040615.008.png 285040615.001.png
f
(
x
)
=
ax
+
b
cx
+
d
gdzie
a
∗ c
d
−
b
∗
>
0
i
c
≠
0
Granice funkcji homograficznej:
lim
ax
+
b
=
a
cx
+
d
c
x
→
−∞
ax
+
b
lim
=
−∞
−
cx
+
d
−
d
x
→
c
dla
a
∗ c
d
−
b
∗
<
0
i
c
≠
0
ax
+
b
lim
=
+∞
+
cx
+
d
−
d
x
→
c
lim
ax
+
b
=
a
cx
+
d
c
x
→
+∞
lim
ax
+
b
=
a
cx
+
d
c
x
→
−∞
ax
+
b
lim
=
+∞
−
cx
+
d
−
d
x
→
c
dla
a
∗ c
d
−
b
∗
>
0
i
c
≠
0
ax
+
b
lim
=
−∞
+
cx
+
d
−
d
x
→
c
lim
ax
+
b
=
a
cx
+
d
c
x
→
+∞
W punkcie
x
= funkcja homograficzna ma granice niewłaściwe ∞
−
d
± .
c
9
285040615.002.png 285040615.003.png
 
2.5 Funkcja wielomianowa.
Funkcją wielomianową nazywamy wyrażenie postaci:
f
(
x
)
=
a
x
n
+
a
x
x
−
1
+
...
+
a
x
2
+
a
x
+
a
gdzie:
n
n
−
1
2
1
0
a i – są to współczynnikami wielomianu f(x), a i = 0, 1, 2, 3, …n
R
,
a
1
,
a
2
,...
a
n ∈
Liczba x 0 jest pierwiastkiem (miejscem zerowym) wielomianu f(x), wtedy i tylko wtedy, gdy
f(x 0 ) = 0, i wówczas wielomian f(x) dzieli się przez dwumian (x – x 0 ).
Jeżeli wielomian f(x) stopnia n-tego ma n pierwiastków, wówczas możemy go przedstawić w
postaci:
f(x) = a n (x – x 1 )(x – x 2 )(x – x 3 )…(x – x n )
Pierwiastków całkowitych wielomianu f(x) o współczynnikach całkowitych, należy szukać
wyłącznie wśród podzielników wyrazu wolnego a 0.
Jeżeli liczba wymierna q
p
(ułamek nieskracalny), różna od zera, jest pierwiastkiem
a , to „p” jest
podzielnikiem wyrazu wolnego a 0 , natomiast „q” jest podzielnikiem wyrazu a n .
a
n
*
0
≠
0
Granice funkcji wielomianowej:
f
(
x
)
=
a
x
n
+
a
x
x
−
1
+
...
+
a
x
2
+
a
x
+
a
można zapisać w postaci:
n
n
−
1
2
1
0
f
(
x
)
=
a
x
n
1
+
a
n
−
+
...
+
a
2
+
a
1
+
a
0
n
a
x
a
x
n
−
2
a
x
n
−
a
x
n
wtedy łatwo
n
n
n
n
zauważamy, że:
lim
f
(
x
)
=
+
∞
gdy
a
n
>
0
−
∞
gdy
a
<
0
x
→
+∞
n
+
∞
gdy
a
n
>
0
i
n
∈
N
parzystych
lub
lim
f
(
x
)
=
gdy
a
n
<
0
i
n
∈
N
nieparzyst
ych
−
∞
gdy
a
>
0
i
n
∈
N
nieparzyst
ych
lub
x
→
−∞
n
gdy
a
n
<
0
i
n
∈
N
parzystych
10
0
n – stopień wielomianu
Wykres funkcji wielomianowej:
a
wielomianu f(x) o współczynnikach całkowitych, przy czym
1
1
285040615.004.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin