Funkcja_wielu_zmiennych_troch_teorii_zadania.pdf

(218 KB) Pobierz
Microsoft Word - .wiczenia.doc
VI. FUNKCJA WIELU ZMIENNYCH
6.1 Pochodna cząstkowa.
Niech dana będzie funkcja (
f
x
1
, 2
x
,...,
x
n
) z
=
; wówczas symbolami:
∂
f
≡
f
'
( )
x
,
y
∂
f
≡
f
'
( )
x
,
y
...
∂
f
≡
f
'
( )
x
,
y
określamy tzw. pochodne cząstkowe
∂
x
x
1
∂
x
x
2
∂
x
x
n
1
2
n
funkcji „f” względem odpowiedniej zmiennej x 1 , x 2 ,…,x n .
Sposób obliczania funkcji pochodnych jest analogiczny do przypadku funkcji jednej
zmiennej; chcąc wyznaczyć funkcję pochodną do danej funkcji względem i – tej zmiennej,
pozostałe zmienne traktujemy jako „stałe”.
Rozpatrzmy funkcję dwóch zmiennych: ( ) z
; np. ( )
x
2
y
2
f =
x
,
y
f
x
,
y
=
+
(poniższy
4
4
wykres)
x
1
≡
x
;
x
2
≡
y
:
Rozpatrzmy pochodne cząstkowe tej funkcji:
∂
f
=
1
x
, np. wybierzmy
y
0 =
1
(tutaj można wybrać dowolną wartość), wówczas
∂
x
2
otrzymamy wzór funkcji jednej zmiennej „x” – jest to krawędź powstała przez
przecięcie naszej funkcji ( )
f =
x
,
y
z
płaszczyzną równoległą do płaszczyzny XZ w
y
0 =
1
(wykres poniżej)
45
285040708.013.png 285040708.014.png 285040708.015.png 285040708.016.png
wykres ( )
f
x
,
y
= x
1
=
1
2 +
1
4
4
f
( 1
; =
α
X
tg
α
df
=
1
x
dx
2
interpretacja geometryczna jest analogiczna jak dla funkcji jednej zmiennej; tzn.
∂
f
=
1
x
∂
x
2
jest „przepisem” na tangens kąta zawartego pomiędzy styczną do krzywej
„ ( )
x
2
y
2
0
f
x
,
y
=
+
” (krzywą wyznaczamy poprzez ustalenie - wybranie wartości „y 0 ”, np.
0
4
4
) w punkcie ( )
tutaj
y
0 =
1
x
0 ; z
0
, a dodatnią półosią osi X;
∂
f
=
1
y
np. wybierzmy
x
0 =
1
(tutaj można wybrać dowolną wartość), wówczas
∂
y
2
otrzymamy wzór funkcji jednej zmiennej „y” – jest to krawędź powstała przez
przecięcie naszej funkcji ( )
f =
x
,
y
z
płaszczyzną równoległą do płaszczyzny YZ w
x
0 =
1
(wykres poniżej)
wykres ( )
f
x
=
1
y
=
1
+
1
y
2
4
4
f
( )
=
1
y
β
Y
tg
β
df
=
1
y
dy
2
46
x
y
x
285040708.001.png 285040708.002.png 285040708.003.png 285040708.004.png 285040708.005.png 285040708.006.png
interpretacja geometryczna jest analogiczna jak dla funkcji jednej zmiennej; tzn.
∂
f
=
1
y
∂
y
2
jest „przepisem” na tangens kąta zawartego pomiędzy styczną do krzywej
„ ( )
x
2
0
y
2
f
x
,
y
=
+
” ( krzywą wyznaczamy poprzez ustalenie - wybranie wartości „x 0 ”, np.
0
4
4
) w punkcie ( )
tutaj
x
0 =
1
y
0 ; z
0
, a dodatnią półosią osi Y;
Ćwiczenia:
Określ wzór pochodnych cząstkowych do poniższych funkcji:
( )
x
;
y
=
xy
f
( )
x
;
y
=
x
⋅
cos
y
−
y
⋅
sin
x
f
( )
x
;
y
=
sin
x
⋅
cos
y
f
( )
x
;
y
=
e
xy ⋅
x
2
y
2
x
+
y
6.2 Pochodna cząstkowa wyższych rzędów.
Pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu funkcji ( )
xf =
,
y
z
nazywamy funkcje określone
∂
2
f
∂
2
f
∂
2
f
∂
2
f
nst.:
;
;
;
; dwie ostatnie nazywa się również pochodnymi
∂
x
2
∂
y
2
∂
x
∂
y
∂
y
∂
x
mieszanymi.
Np.: ( )
xf =
;
y
e
xy
2
∂
f
∂
2
f
∂
∂
f
=
e
xy
2
⋅
y
2
⇒
=
=
e
xy
2
⋅
y
2
⋅
y
2
+
e
xy
2
⋅
0
=
e
xy
2
⋅
y
4
∂
x
∂
x
2
∂
x
∂
x
∂
f
∂
2
f
∂
∂
f
=
e
xy
2
⋅
2
xy
⇒
=
=
e
xy
2
⋅
2
xy
⋅
2
xy
+
e
xy
2
⋅
2
x
=
e
xy
2
⋅
4
x
2
y
2
+
2
x
⋅
e
xy
2
∂
y
∂
y
2
∂
y
∂
y
∂
f
=
∂
∂
f
=
e
xy
2
⋅
2
xy
⋅
y
2
+
e
xy
2
⋅
2
y
=
e
xy
2
⋅
2
xy
3
+
e
xy
2
⋅
2
y
∂
x
∂
y
∂
y
∂
x
∂
f
=
∂
∂
f
=
e
xy
2
⋅
y
2
⋅
2
xy
+
e
xy
2
⋅
2
y
=
e
xy
2
⋅
2
xy
3
+
e
xy
2
⋅
2
y
∂
y
∂
x
∂
x
∂
y
Ćwiczenia:
Oblicz pochodne drugiego rzędu (wszystkie) nst. funkcji:
( ) ( ) ( )
x
;
y
=
x
2
+
y
2
3
;
f
x
;
y
=
sin
xy
6.3 Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych.
P = ekstremum lokalne i istnieją w tym
punkcie obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, to:
xf =
;
y
z
ma w punkcie
0
( )
x
0
; y
0
∂
f
=
∂
f
=
0
; przy czym punkt ( )
P =
x
; y
nazywamy punktem stacjonarnym.
0
0
0
∂
x
∂
y
() ()
P
0
P
0
47
f
f
Warunek konieczny:
Jeżeli funkcja ( )
285040708.007.png 285040708.008.png
 
Warunek dostateczny (wystarczający):
∂
2
f
∂
2
f
∂
x
2
∂
x
∂
y
Jeżeli istnieją drugie pochodne funkcji ( ) z
oraz ()
P
P
f =
x
;
y
W
P
=
0
>
0
, to
0
0
∂
2
f
∂
2
f
∂
y
∂
x
∂
y
2
P
P
0
0
funkcja ( ) z
ma w punkcie ( )
f =
x
;
y
P =
0
x
0
; y
0
ekstremum lokalne.
∂
2
f
, to funkcja ( ) z
ma w punkcie ( )
Jeżeli
<
0
f =
x
;
y
P =
x
; y
maksimum
∂
x
2
0
0
0
∂
2
f
, to funkcja ( ) z
ma w punkcie ( )
Jeżeli
>
0
f =
x
;
y
P =
x
; y
minimum
∂
x
2
0
0
0
Jeżeli () 0
W
P
0
<
, to ekstremum nie istnieje
Jeżeli () 0
W
P
0
=
, to sytuacja jest nierozstrzygnięta
Przykład : zbadać ekstremum lokalne funkcji ( )
f
x
;
y
=
x
4
+
y
2
−
4
x
1. stosujemy warunek konieczny istnienia ekstremum:
∂
f
∂
f
4
x
3
−
4
=
0
( ) ( )
=
4
x
3
−
4
=
0
i
=
2 =
y
0
⇒
⇒
P
=
x
;
y
=
1
∂
x
∂
y
2
y
=
0
0
0
0
2. stosujemy warunek dostateczny istnienia ekstremum:
∂
2
f
∂
2
f
∂
2
f
∂
2
f
=
12
x
2
() 12
=
=
2
() 2
=
=
0
() 0
=
=
0
() 0
=
∂
x
2
1
0
∂
y
2
1
0
∂
x
∂
y
1
0
∂
y
∂
x
1
0
()
()
P
P
()
()
P
P
0
0
0
0
W
() ()
P
= W
1
=
12
0
=
24
>
0
, zatem w punkcie ( )
P
0 =
1
istnieje ekstremum lokalne.
0
0
2
∂
2
f
=
12
x
2
() 12
=
>0, czyli jest to minimum lokalne.
∂
x
2
1
0
()
P
0
Ćwiczenia:
Zbadaj czy istnieją ekstrema lokalne oraz podaj ich charakter nst. funkcji:
( )
x
;
y
=
x
4
+
y
4
−
2
x
2
+
4
xy
−
2
y
2
f
( ) ( )
( )
x
;
y
=
e
−
x
x
+
y
2
f
x
;
y
=
x
3
+
y
2
−
6
xy
−
48
x
f
( )
x
;
y
=
xy
+
50
+
20
x
y
f
( )
x
;
y
=
x
3
+
3
xy
2
−
15
x
−
12
y
48
f
285040708.009.png 285040708.010.png 285040708.011.png 285040708.012.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin