Logika_troch_teorii_zadania.pdf

(273 KB) Pobierz
Microsoft Word - Æwiczenia.doc
I. LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW.
1.1 p i q elementy zdania logicznego
zdanie logiczne: jeżeli 0 to jest fałszywe
jeżeli 1 to prawdziwe
alternatywa „p ∨ q” koniunkcja „p ∧ q"
p
q
p ∨ q
p
q
p ∧ q
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
implikacja „p ⇒ q” równoważność „p ⇔ q” negacja „ ~ p”
p
q
p ⇒ q
p
q
p ⇔ q
p ~ p
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1.2 Wartość logiczna zdania:
sin
π
=
3
⇒
cos
π
=
1
odp.: 1
6
2
2
4
>
7
∪
(cos
100
0 >
0
odp.: 0
11
18
(log
3
9
=
2
⇔
(log
1
5
>
0
odp.: 0
3
1.3 Tautologia:
a) sprawdź, czy podane zdanie logiczne jest tautologią – obliczenia wykonać tabelarycznie:
(
p
⇒
q
)
⇔
[
p
∨
(
¬
q
)]
odp.
:
nie
¬
(
p
⇒
q
)
⇔
[
p
∧
(
¬
q
)]
odp.
:
tak
(
p
∨
q
)
⇔
(
¬
p
⇒
q
)
odp.
:
tak
p
∧
q
⇔
¬
(
p
⇒
¬
q
)
odp.
:
tak
p ∧ ( p ⇒ q ) ⇒ q pokazać dowód nie wprost odp.: tak
[( p ⇒ q ) ∨ ( ~ p ∨ q )] ⇒ q odp.: tak
[( p ⇔ q ) ∧ ( p ∨ ~ q )] ⇒ p ∧ q odp.: nie
1.4 Kwantyfikatory:
∃
x
∈
A
- istnieje takie x należące do zbioru A, że…
∨
x
∈
A
1
285040930.005.png
∀
x
∈
A
- dla każdego x należącego do zbioru A….
∧
x
∈
A
Jaka jest wartość logiczna zdania:
∀
x
∈
R
(
x
<
1
odp.
:
0
∃
x
∈
R
(sin
2
x
=
2
sin
x
)
odp.
:
1
∃
(
x
2
=
x
)
odp.
:
1
x
∈
R
∀
(
x
2
=
x
)
odp.
:
0
x
∈
R
[
∃
(
x
2
+
5
<
0
)]
⇒
[
∃
(
x
2
+
x
+
1
=
0
)]
odp.
:
1
x
∈
R
x
∈
R
1.5 Zaprzeczenia zdaniom:
Zaprzeczenie koniunkcji:
- jest to pierwsze prawo De Morgana
Zaprzeczenie alternatywie:
- jest to drugie prawo De Morgana
Zaprzeczenie implikacji:
Zaprzeczenie równoważności:
przykład:
zaprzeczmy zdaniu: uczeń je lody wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciepło
odp: uczeń je lody i nie jest ciepło lub jest ciepło i uczeń nie je lodów
Powyższe przedstawić za pomocą p i q.
p
⇔
q
negacja
:
p
∧
¬
q
∨
q
∧
¬
p
1.6 Prawa De Morgana dla kwantyfikatorów
¬
[
∀
x
∈
A
p
(
x
)]
⇔
∃
x
∈
A
[
¬
p
(
x
)]
¬
[
∃
x
∈
A
p
(
x
)]
⇔
∀
x
∈
A
[
¬
p
(
x
)]
2
285040930.006.png 285040930.007.png 285040930.008.png 285040930.001.png
1.7 Proszę określić wartość logiczną zdań oraz zapisać ich negację; prawidłowa negacja daje
dla tych samych argumentów przeciwny wynik do zdania pierwotnego:
∀
x
∈
R
x
=
5
x
odp.
:
0
∃
x
≠
5
x
x
∈
R
∀
x
2
+
3
x
+
3
>
0
odp.
:
1
∃
x
2
+
3
x
+
3
<
0
x
∈
R
x
∈
R
∃
2
x
−
1
≤
3
odp
.
:
1
∀
2
x
−
1
≥
3
y
x
∈
R
x
+
2
x
+
2
x
∈
R
∀
x
∈
R
y
=
3
x
∧
x
=
3
y
odp
.
:
0
∃
y
≠
3
x
∨
x
≠
3
y
x
∈
R
(
)
∀
x
∈
R
(
y
=
2
x
∧
x
=
2
y
)
⇒
x
=
y
=
0
odp
.
:
1
x
∃
R
y
=
2
x
∧
x
=
2
y
∧
x
≠
y
≠
0
∃
x
2
+
3
x
+
1
=
0
odp
.
:
0
∀
x
2
+
3
x
+
1
≠
0
x
∈
C
x
∈
C
1.8 Znaleźć taką liczbę M, aby zdanie:
∀
a
=
n
!
⇒
∀
a
>
a
wskazówka: (n+1)! = n!*(n+1) odp.: M = 9
n
∈
N
n
10
n
n
>
M
n
+
1
n
1.9 Algebra zbiorów.
A ∪ B = { x: x∈A ∪ x∈B }
A ∩ B = { x: x∈A ∩ x∈B }
A \ B = { x: x∈A ∩ x∉B }
B \ A = { x: x∈B ∩ x∉A }
A’ = { x: x∈X ∩ x∉A }
A \ B ≠ B \ A !!!
1.10 Definicja wartości bezwzględnej:
dla
=
x
x
≥
0
dla
x
<
0
−
x
3
∈
x
285040930.002.png
1.11 Zapisać zbiór w innej postaci:
{
x
:
x
∈
R
∧
x
−
7
<
2
odp
.
:
x
∈
( )
()( )
5
{
x
:
x
∈
C
∧
x
−
3
>
2
odp
.
:
x
∈
[
1
∪
5
+∞
]
∩
x
∈
C
{
x
:
x
∈
R
∧
x
−
1
<
3
odp
.
:
x
∈
( )
−
2
4
{
x
:
x
∈
R
∧
x
+
2
<
3
odp
.
:
x
∈
8
1
;
+∞
x
−
5
2
{
x
:
x
∈
R
∧
4
x
2
+
7
x
+
3
<
0
odp
.
:
x
∈
−
1
−
3
4
1.12 Wyznaczyć nst. relacje zbiorów A i B:
A ∪ B
A ∩ B
A \ B
B \ A
A’
przy czym zbiory określono jak poniżej:
A = { x: x> 4 }
B = { x: x-2 < 3 }
[
]
[
]
( ) ( )
( )
( )
odp
.
:
A
∪
B
x
∈
−
∞
;
−
4
∪
−
1
+∞
A
∩
B
x
∈
4
A
\
B
x
∈
−
∞
;
−
4
∪
5
+∞
)
B
\
A
x
∈
(
−
1
4
A
'
x
∈
−
4
4
A = { x: x+3≤ 4 }
B = { x: x-1 ≥ 3 }
[
]
odp
.
:
A
∪
B
x
∈
(
−∞
;
∪
4
+∞
A
∩
B
x
∈
−
7
−
2
A
\
B
x
∈
(
−
2
[
]
B
\
A
x
∈
(
−∞
;
−
7
)
∪
4
+∞
)
A
'
x
∈
[
( ) ( )
−
∞
;
−
7
∪
1
+∞
]
A = { (x,y): x-y ≤ 4 }
B = { (x,y): x∈R ∧ y < 3 }
( )
.
:
A
∪
B
x
∈
−
∞
;
+∞
∩
y
∈
[
x
−
4
x
+
4
∪
( )
3
]
A
∩
B
y
∈
( )
−
3
∩
x
∈
y
−
4
y
+
4
A
\
B
y
∈
[
(
−
∞
;
−
3
∪
3
+∞
)
]
∩
x
∈
y
−
4
y
+
4
B
\
A
y
∈
( ) ( ) ( )
−
3
∩
x
∈
[
−
∞
;
y
−
4
∪
y
+
4
+∞
]
A
'
x
∈
( ) ( ) ( )
−
∞
;
+∞
∩
y
∈
[
−
∞
;
x
−
4
∪
x
+
4
+∞
]
1.13 Niech A={x:
x
−
1
≥
3
},
B
=
{
x
:
x
−
5
<
2
} proszę wyznaczyć:
A ∪ B odp.:
x
∈
(
−∞
;
−
2
∪
( )
3
+∞
A ∩ B odp.:
x
∈
4
7
)
A ∩ B’ odp.:
x
∈
(
−∞
;
−
2
∪
7
+∞
)
A \ B odp.:
x
∈
(
−∞
;
−
2
∪
7
+∞
)
B \ A odp.:
x
∈
()
3
4
( )
A’ ∪ B odp.:
x
∈
−
2
4
odp
−
285040930.003.png
1.14 Wyznaczyć iloczyn zbiorów:
0
=
{
x
:
x
∈
R
∧
x
2
+
3
x
−
4
≤
B
=
{
x
:
x
∈
R
∧
x
2
−
4
<
0
C
=
{−
3
4
odp.: φ
x
∈
1.15 Wyznaczyć graficznie: A ∪ B, A ∩ B, A \ B
}
=
{(
x
,
y
)
:
x
∈
R
∧
y
∈
R
∧
x
2
+
y
2
≤
16
B
=
{(
x
,
y
)
:
x
∈
R
∧
y
∈
R
∧
x
2
+
y
2
≥
9
1.16 Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiory (produkty) AxB oraz BxA
{
=
x
∈
R
:
x
−
1
≤
3
} {}
,
B
=
1
2
{
} {
}
A
=
x
∈
N
:
x
−
3
≤
6
,
B
=
x
∈
R
:
x
−
1
≤
7
A
=
{
x
∈
R
:
x
≥
2
} {
,
B
=
x
∈
R
:
x
<
3
}
{ } {
3
A
=
−
1
,
B
=
x
∈
R
:
0
≤
x
<
5
A
A
A
285040930.004.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin