pochodne.pdf

Analiza matematyczna I / Pochodne funkcji

1/30

Pochodne funkcji

w tym: wstępne wiadomości na temat całkowania

Jak zwykle, pewne wymagania, niestety – tutaj będę typowym skurwysynem, prowadzącym

nudny wykład, gdyż wymagań będzie sporo.

Umieć liczyć proste granice i kartka z pochodnymi, ewentualnie pół litra na poprawę

wyobraźni.

Zaczynamy dosyć szybko od powtórzenia, czym jest ta pochodna (niestety, wybaczcie za

cytowanie osoby, o której powinno się zapomnieć, mimo wszystko – w myśl zasady, że kłamstwo

powtarzane sto razy staje się prawdą). Można to oczywiście, jeżeli ktoś miał nieprzyjemność czytać

moje ostatnie wypociny – ominąć i przejść do połowy następnej strony. Przykłady – od połowy

strony siódmej, więc te nudne teorie można sobie spokojnie ominąć.

1. Co to jest pochodna?

Zadaliśmy sobie proste pytanie: „Jak bardzo rośnie, albo zmienia się wartość jakiejśtam

funkcji z powodu zmiany iksów”?

Narysowaliśmy prosty rysunek:

Powiedzmy, że ta pozioma, leżąca na iksach kreska to zmiana, czy tam różnica iksów.

Pionowa – to różnica w igrekach. Ukośna – to sieczna funkcji, a by być bardziej dokładnym

(dlatego właśnie nie powinno się uczyć z tych ściąg) kawałek siecznej funkcji.

Zauważmy, że im bardziej funkcja zapierdala w górę, tym większy będzie kąt nachylenia tej

ukośnej kreski. A kąt nachylenia, właściwie tangens tego kąta, zgodnie z funkcjami

trygonometrycznymi, będzie równy:

tg α = pionowaczerwona kreska

pozioma czerwona kreska

Czyli:

tg α = f  x 1 − f  x 2 

x 1 − x 2

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

Analiza matematyczna I / Pochodne funkcji

2/30

I jedna sprawa, o której nie wspomniałem w ściądze z granic funkcji. Często tego tangensa

nazywa się ilorazem różnicowym . Nazwa, powiedzmy, logiczna – mamy iloraz (dzielenie) dwóch

jakiś tam różnic. Dodatkowo - różnicę w iksach oznacza się literką h .

Zadano sobie pytanie – co się będzie dziać z tym tangensem, czy też ilorazem różnicowym,

gdy będziemy te iksy do siebie zbliżać. Użyję kontrowersyjnego stwierdzenia – zbliżać na

nieskończenie bliską odległość? Możemy zapisać to jako po prostu kolejną granicę do rozwalenia:

lim

x  x 0

f  x − f  x 0 

x − x 0

Lub też można zapisać to inaczej:

Wiemy, że różnicę w iksach - w zapisie ilorazu różnicowego oznaczamy przez h.

h = x − x 0

Ponieważ wiemy, że to do siebie „zbliżamy”, więc różnica między nimi będzie coraz bliżej

zera.

x − x 0 0

Więc i h będzie dążyć do zera:

h 0

Jeżeli teraz za x podstawimy h + x o i zrobimy cywilizowaną granicę, to możemy sobie tak

popisać:

lim

h 0

f  x o  h − f  x 0 

I to również będzie wzorek na wyliczenie...

Właśnie, w ten sposób wyliczymy pochodną funkcji w punkcie x o , a jeżeli powiemy sobie

tak: x o to takie zwierzątko, za które możemy wstawić cokolwiek, to w ten sposób wyliczymy,

ogólnie mówiąc pochodną funkcji .

Zamiast mówić, że „zapierdalam jak głupi, żeby znaleźć i zapisać wreszcie tą pieprzoną

pochodną”, mówimy, że różniczkujemy funkcję , czyli, mówiąc językiem już bardziej

cywilizowanym – szukamy pochodnej do danej funkcji.

Notabene, często możemy pojawić się z takim zapisem:

Oznacza to nic innego, że funkcję y rąbiemy względem zmiennej x . Zmienna x jest tą

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

Analiza matematyczna I / Pochodne funkcji

3/30

zmienną, którą odpowiednio traktujemy – tak, jak Bóg przykazał w tablicach. Nie oznacza to, broń

Boże, że my tutaj wykonujemy jakiekolwiek dzielenie, że mamy tu jakiś ułamek, niezwłocznie do

policzenia. To tylko taki symboliczny zapis, jak i (część urojona) w liczbach zespolonych, z którą

nic nie cudujemy. Ma to tylko pokazać, uwypuklić nam, że aha, po znaku „równa się” będzie jakaś

pochodna .

Ten powyższy zapis nie wziął się z sufitu... chociaż, prawdę mówiąc, większość rzeczy w

matematyce bierze się z dupy, a tu nagle okazuje się, że matematycy są doskonałymi proktologami i

do czegoś się to przydaje.

Zapiszmy sobie różnicę w wartościach funkcji przez Δf [ Δf = f(x 1 ) – f(x 2 ) ] , zaś różnicę w

samych iksach – przez Δx [ Δx = x 1 – x 2 ]

Więc nasz kąt nachylenia siecznej, iloraz różnicowy, cokolwiek – będzie wyglądać tak:

Δf

Δx

Zaś jeżeli będziemy zmniejszać różnicę pomiędzy iksami, to notabene dojdziemy do

pochodnej:

lim

Δx 0

Δf

Δx

I w takim zapisie sobie ludzie wymielili kanciaste delty na bardziej kształtne literki d :

lim

Δx 0

Δx = df

Za niedługo będziemy ryzykować mnożeniem przez to tajemnicze dx , najpierw jednak...

2. O co w ogóle tyle szumu z pochodną?

No właśnie, ktoś wyskoczył z jakąś pochodną, ktoś coś narozrabiał, kogoś wykorzystał,

rzuca jakieś hasło „pochodna”, nie daj Boże jeszcze jakieś dziwne „różniczka”, po co to komu?

Pamiętamy, że pochodna to taki wichajster, taki zawodnik, który mówi nam, jak szybko

funkcja zapierdala w górę albo w dół. Owszem, my se możemy zrobić wykres funkcji, powiedzieć,

że gdzieś tam funkcja idzie w górę, a gdzieś w dół. Chcielibyśmy wiedzieć, jak funkcja się zmienia.

Na to pytanie odpowiada właśnie pochodna. Im jest większa w danym punkcie – tym

bardziej funkcja jest nachylona. Na przykład, jeżeli gdzieś w którymś miejscu funkcji wartość

pochodnej (nie funkcji!) jest ujemna, ba, bardzo ujemna, na przykład (-100), oznacza to, że w tym

miejscu wartość funkcji leci ostro jak cholera w dół, że ja Ciebie nie mogę, jak notowania Polaków

po meczu ze Słowacją. Jeżeli gdzieś wartość pochodnej będzie równa na przykład (-0,05), to

wartość tej naszej funkcji będzie sobie powolutku, niemal nieodczuwalnie, lecieć w dół.

Jak w którymś miejscu funkcji wartość pochodnej będzie równa 200 – to powiedzieć, że

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

Δf

Analiza matematyczna I / Pochodne funkcji

4/30

wartość funkcji „zapierdala w górę”, to mało powiedziane, bo będzie tak ostro jechać w górę, że

wręcz wyda nam się, że jest ustawiona pod kątem prostym. I znów – jeżeli wartość pochodnej

będzie równa z 0,4, to wartość funkcji będzie sobie powolutku szła w górę.

Matematycy, jak to w ich zwyczaju, pobadali pochodną jak się tylko da. Pododawali

zmienne, wymyślili, jak odwracać liczenie pochodnych, jakieś różniczki zupełne, gradienty, punkty

siodłowe i cholera wie, co jeszcze.

I to byłby koniec, jacyś szaleńcy coś sobie takiego wymyślili, po co to komu, daj Pan spokój

i idź z tym w cholerę. Niestety, pewna dziedzina nauk dała o osobie znać, a potem to już samo się

rozwinęło.

Męczą ludzi czymś takim, jak fizyka. Zadaniami z pociągami – w którym miejscu się

zderzą, ile się trzeba namęczyć, by podnieść 130 na klatę, ile ładunku wejdzie w kondensator, takie

tam duperele. Jednocześnie, zauważmy, że w większości przypadków fizyka opisuje pewne zmiany ,

lub też jakieś dziwne teorie, by do tych zmian nie dochodziło.

Skoro pojęcie pochodnej opisuje również pewną zmianę, to zboczeńcy zaczęli się bawić

pochodną w fizyce. Co gorsza, wyszło im to całkiem znośnie, więc to od razu poszło na elektronikę,

mechanikę, ba, nawet w ekonomię.

I tutaj niestety, bryk zamienia się w nudny, zieeeew, wykład z fizyki, więc komu życie miłe

– jechać w dół, dopóki nie dam znaku, ba, nawet podkreślę miejsce, od którego przestanę błądzić.

Załóżmy, że mamy se jakiegoś zawodnika, punkt, cholera wie co – to i tak nie ważne, który

porusza się wzdłuż jakiejś prostej, o na przykład – takiej osi:

I mamy jakąś tam funkcję, w którą wrzucamy – jaki aktualnie jest czas, a ona wypluwa nam

– gdzie na tej osi jest zawodnik. Taką analogią może być np. rozkład jazdy jakiegoś autobusu. Jeżeli

znamy konkretną godzinę, to możemy sobie wejść na stronę z rozkładami, odpowiednio obadać i

wiemy, że konkretny autobus będzie o tej i to tej godzinie w tym, albo w tamtym miejscu.

Bierzemy na przykład rozkład jazdy PKSów do jakiejś nieskomplikowanej wsi, powiedzmy

– linia 152 do Blachowni. O godzinie 7:05 odjeżdża z dworca. My wiemy, że dwie minuty później

jest na Sobieskiego, o godzinie 7:21 jest w Gnaszynie, Wyrazów nawiedza o godzinie 7:27, siedem

minut później już zapieprza po Blachowni, by o godzinie 7:47 autobus zawitał na smętarzu w tym –

całkiem serio i na poważnie – urokliwym miasteczku.

Zauważcie, że wystarczy, że znamy czas – i mniej więcej wiemy, gdzie się ten autobus

znajdzie. W związku z tym, możemy ni z dupy, ni z niczego sobie wymyśleć taką absurdalną

funkcję, takie „czarne pudełko” o takiej sygnaturze:

f: Godzina -> Miejsce, w którym jest autobus

Czyli my w tą funkcję wrzucimy godzinę, a ona nam wypluje, nie wiem, napis, albo

konkretne współrzędne... mniejsza z tym – wypluje nam miejsce, w którym znajdzie się autobus.

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

Analiza matematyczna I / Pochodne funkcji

5/30

Na przykład, wynikiem f(7:05) będzie Częstochowa, Dworzec Autobusowy . Wynikiem

f(7:37) będzie Blachownia, Prażynka . Albo f(7:23) – Gnaszyn, Dworzec PKP . Jak widzicie, do

określenia położenia danego autobusu jest nam potrzebny tylko czas – i jakiś sposób, by zobaczyć,

gdzie się PKS w tym czasie znajdzie.

Przejdźmy już do bardziej matematyczno – fizycznego przykładu, czyli tego ludzika.

Równie dobrze może on chodzić ruchem jednostajnym – wtedy wzór na położenie, czyli S, to:

S = v * t

ale równie dobrze ten wzór na położenie może mieć postać:

S = t 3 3∗ t 2 −666∗ t −71

Ale nie kombinujmy, załóżmy, że ten ludzi se idzie i idzie ruchem jednostajnym, co

opiszemy tym łatwiejszym ze wzorów, na przykład:

S = 5 * t [m]

co nawet powinniśmy zapisać w taki sposób:

S(t) = 5 * t [m] ,

przez co my wyraźnie pokazujemy, że jedynie t będzie się w tym potworku zmieniać.

Załóżmy, że startujemy od jakiegoś punktu 0:

Ale po pięciu sekundach będzie na dwudziestym piątym metrze (wystarczy sobie podstawić

za t wartość 5):

Jak widzimy, jego położenie zmieniło się w tym czasie, będzie się zmieniać wraz z czasem.

No bo na przykład po pierwszej sekundzie będzie na piątym metrze, po drugiej – na dziesiątym, po

trzeciej – na piętnastym itp.

Tradycyjny wzór na prędkość – droga przez czas.

v = S

, więc jeżeli S = 5 * t, to:

t = 5∗ t

t =5 tam metrów na sekundę powiedzmy.

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

v = S

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: