analiza wymagania.pdf

Wymagania na egzamin- EiT

Poni»ej podane s¡ najistotniejsze wymagania na egzamin wraz z typowymi zadania-

mi. Przykładowe zadania ilustruj¡ zakres tematyczny i oczekiwany poziom biegło±ci

technicznej. Dodatkowe pytania mog¡ kontrolowa¢ podstawowe rozumienie poj¦¢.

I. Ci¡gi i granice. Granica funkcji, asymptoty i ci¡-

gło±¢.

1. Oblicz granice ci¡gów:

a n = n 2 + n + 1

2 n 2 − 1 , b n =

! + 2 + ... + n

1 + 2 + ... + 2 n ; c n =

3 n + 2 n

3 n + 1

; d n =

n 2 + 2 − n.

2. Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech ci¡gach oblicz granice ci¡gów:

a n =

2 n + ( − 1) n

3 n + 2

; b n =

2 n + ( − 1) n +1 ; c n = n p

n + ( − 1) n

2 n + 3 n + 4 n ; d n = n p

3 n + sin n

3. Korzystaj¡c z deﬁnicji liczby e oblicz granice ci¡gów:

2 n

1 − 1

n + 2

3 n

a n =

1 +

; b n =

; c n =

4. Oblicz granice ci¡gów:

a n = n 5 − 3 n 2 + n + 1; b n = 3 n − 2 n ; c n =

n 2

n − 1 .

5. Oblicz granice funkcji:

a) lim

x −! 1

x 2 − 1

x − 1 ; b) lim

x −! 2

x 2 − 4

x 3 − 8 ; c) lim

x −! 1

x 6 − 1

x 2 − 1 ; d) lim

x −! 0

p 1 + x − 1

6. Porównuj¡c granice jednostronne zbadaj, czy istniej¡ granice:

a) lim

x −! 0 x sgn x ; b) lim

x −! 1 x [ x ]; c) lim

x −! 0

| x − 2 |

x − 2

; d) lim

x −! 0 2 1 x .

7. Oblicz granice funkcji:

x −!1 ( x 3 − x 2 ); b) lim

x −!1 ( 1

x − 1

x 2 ); c) lim

x −!1 ( p 2 x + 2 − p x ); d) lim

x −!−1 (

x 2 + 1 − x ) .

8. Korzystaj¡c ze wzorów na granice podstawowe oblicz granice:

a) lim

x −! 0

sin 2 x

; b) lim

x −! 0

sin 2 x

sin 3 x ; c) lim

x −! 0

e x − 1

e 2 x − 1 ;

ln(1 + 2 x )

4 x

2 x

x .

d) lim

x −! 0

; e) lim

x −!1

1 +

; f) lim

x −!1 (1 + 2 x )

a) lim

9. Wyznaczy¢ asymptoty wykresów funkcji:

a) a ( x ) = x 3 + x 2

x 2 − 4 , b) b ( x ) =

p x 2 − 9 , c) c ( x ) =

x − 3

p 1 + x 2

10. Dla ka»dej z poni»szych funkcji wska» punkty nieci¡gło±ci i wyja±nij, dlaczego jest

to nieci¡gło±¢:

a) f ( x ) = sgn x, b) f ( x ) = [ x ]; c) f ( x ) =

( 1

x 2 gdy x 6 = 0;

0 gdy x = 0 ,

11. Dobra¢ parametr a tak, aby otrzymana funkcja była ci¡gła na R :

(

ax 2 gdy x < − 1;

2 x gdy x − 1 ,

( sin2 x

x gdy x 6 = 0 ,

a gdy x = 0 .

a) f ( x ) =

b) f ( x ) =

2. Pochodne I (deﬁnicja, obliczanie pochodnej, Tay-

lor i Maclaurin)

1. Korzystaj¡c z deﬁnicji oblicz pochodn¡ funkcji we wskazanym punkcie:

a) y = x 2 ,x 0 = 2; b) y =

x + 1 ,x 0 = 3; c) y =

x + 2 ,x 0 = 1;

d) y = e x ,x 0 = 1; e) y = ln x,x 0 = 1 , f) y =

sin

x .

2. Korzystaj¡c z deﬁnicji pochodnej sprawd¹, czy istniej¡ pochodne jednostronne i

pochodna obustronna we wskazanych punktach:

a) y = | x | ,x 0 = 0; b) y = | x − 2 | ,x 0 = 2; c) y = | x − 2 | ,x 0 = 0;

d) y = | x | x,x 0 = 0; e) y = | sin x | ,x 0 = 0 .

3. Korzystaj¡c z reguł ró»niczkowania oblicz pochodne:

a) y = ( x 2 + x + 1) 10 ; b) y =

2 x ; c) y =

x 2 ; d) y = 1 / p x ; e) y = x sin x ;

x 3 + 1 ; g) y = tg x ; h) y = sin 2 x ; i) y = cos x 2 ; j) y = cos 2 x ;

k) y = e x 2 ; l) y = e − x 3 + 5 x 3 ; m) y = ln sin x ; n) y = sin 2 x + cos 2 x ; o) y = 2 x ;

p) y = log 3 x ; q) arc tg( x + 1); r) y = arc tg(3 x ); s) y = arc sin(2 x ) .

4. Oblicz pochodn¡ we wskazanym punkcie:

a) y = 0, x 0 = 7; b) y = sin 3 x , x 0 = / 4; c) y = ln x , x 0 = e .

5. Oblicz pochodne f 0 , f ”, oraz f 000 dla:

a) f ( x ) = x 2 + x + 2; b) y = x 3 ; c) y = sin 3 x ; d) y = ln x ; e) y = arc tg x .

f) y =

6. Korzystaj¡c ze wzoru Taylora (lub Maclaurina) wyprowad¹ wzór i oszacuj bł¡d dla

x z podanego przedziału:

1 = x 1 + x

2 − x 2

8 , | x | < 1 / 4; b) sin x x − x 3

6 , | x | < 1 .

7. Oszacuj bł¡d, jaki otrzymamy obliczaj¡c e − 1 z rozwini¦cia Maclaurina dla y = e x , z

reszt¡ R 5 .

3. Pochodne II (Monotoniczno±¢ i ekstrema, wypu-

kło±¢, równanie stycznej, ró»niczka, de l’Hospital

1. Korzystaj¡c z ró»niczki podaj przybli»on¡ warto±¢ ln 0 , 9.

2. Napisa¢ równanie stycznej do wykresu funkcji:

a) y = ln x w punkcie P = ( x 0 ,y 0 , gdzie x 0 = e ;

b) y = cos 2 x w punkcie P = ( / 4 ,y 0 ).

3. Znajd¹ przedziały monotoniczno±ci i ekstrema lokalne funkcji:

a) y = x 3 − 4 x 2 ; b) y = x + 1 x ; c) y =

3 − x 2 ; d) y = xe − 2 x ; e) y = x ln 2 x ; f) y = 1

x 3

x ln x

1 − x 2 .

5. Korzystaj¡c z reguły de l’Hospitala oblicz granic¦:

a) lim

x −! 0

2 x + 1

; b) lim

x −! 1

ln sin x 2

ln x

; c) lim

x −! 0 x ln x ; d) lim

x −!1 x arcctg x.

4. Techniki całkowania

Wymagana znajomo±¢ całek z podstawowych funkcji:

y = x , y = e x , y = ln x, y = sin x, y = cos x, y =

1 + x 2 .

x +2 dx ; b) R p xdx ; c) R 1 x 2 dx ; d) R e 2 x ; e) R cos 3 xdx ;

2. Całkowanie przez cz¦±ci:

a) R xe x dx , b) R x 2 e x dx , c) R x sin xdx ; d) R ln xdx , e) R arc tg xdx ; f) e x sin xdx .

3. Całkowanie przez podstawienie:

Z ln x

x dx ; c)

Z cos p x

p x

xe x 2 dx ; b)

x 2 (1 + x 3 ) 10 dx ; d)

dx.

4. Całkowanie ułamków prostych obu rodzajów:

3 x − 1

4 + x 2 dx ;

1 x + 1 3 dx ; b)

dx ; c)

Z x 2 + 4 x + 5

x 2 + 9 ; e)

x + 1

x 2 + 6 x + 10 .

x ; f)

4. Znajd¹ przedziały wypukło±ci i punkty przegi¦cia:

a) y = x 3 − 3 x 2 ; b) y = ln(1 + x 2 ); c) y = 1

1. Całki prawie do o dgadni¦cia i najprostsze całkowania:

a) R 1

5. Całkowanie funkcji wymiernych:

x + 1

x 3 − x dx, b)

x 3 + x ; c)

x − 1

x 3 + x 2 dx.

a) R sin 2 xdx , b) R sin 5 xdx , c) R sin 2 x cos xdx

Uwaga: Potrzebne do c) wzory na zamian¦ iloczynu na sum¦ zostan¡ podane.

5. Całka oznaczona, całki niewła±ciwe. Zastosowania

całek

Obliczanie całek oznaczonych o poziomie trudno±ci takim, jak w przypadku całek nie-

oznaczonych. A ponadto:

1. Oblicz pole trapezów krzywoliniowych :

a) y = − 4 x 2 +4 x +6, y = 3; b) y = 4 x 2 − 8 x , y = x ; c) y = 3 x 2 − 6 x +1, y = − 3 x 2 +3 x +7;

d) x = y 2 − 2 y , x = 3; e) x = 8 − y 2 , x = y 2 ; f) y = 2 − x , x = y 2 .

2. Oblicz pole ﬁgury ograniczonej krzywymi :

a) y = 2 x − x 2 ; x + y = 0; b) y = x 2 , y = 1 2 x 2 , y = 3 x ; c) y = 1 x 2 , y = x , y = 4

d) 4 y = x 2 , y = 8

b) x 2 ¬ y ¬ p x , 0 ¬ x ¬ 1, Oy ;

c) 0 ¬ y ¬ 1 x , 1 ¬ x ¬ 3, Oy ;

d) 0 ¬ x ¬ sin x + cos x , 0 ¬ x ¬ 2 , Ox .

Uwaga: Wzory na obj¦to±¢ i powierzchni¦ brył obrotowych zostan¡ skrótowo (tzn. bez

komentarzy, zało»e« itp.) przypomniane.

x 3 , 0 ¬ x ¬ 11.

5. Oblicz pole powierzchni powstałej w wyniku obrotu krzywej:

a) y = x − 1

9 , 1 ¬ x ¬ 10 wokół osi Oy ;

b) y =

4 − x 2 , − 1 ¬ x ¬ 1 wokół osi Ox ;

2 , 0 ¬ x ¬ p 3 wokół osi Oy ;

d) y = cos x , 0 ¬ x ¬ 2 wokół osi Ox .

6. Korzystaj¡c z deﬁnicji zbada¢ zbie»no±¢ i ew. obliczy¢ całk¦ niewła±ciw¡ I rodzaju:

c) y = x 2

Z 1

x dx ; b)

Z 1

( x + 2) 2 dx ; c)

Z 1

0 x sin xdx ; d)

Z 0

4 + x 2 dx ; e)

Z 1

−1 x 2 e − x 3 dx.

−1

7. Korzystaj¡c z kryterium ilorazowego zbadaj zbie»no±¢ całki:

Z 1

p x

x 2 + p x ; b)

Z 1

1 sin 2 1

Z 0

x − 1 x 3 + x + 1 .

x dx ; c)

−1

6. Całkowanie prostych, naturalnych funkcji trygonometrycznych:

x 2 +4 ; e) y = cos x , y = sin, x = 0, x = 2 ; f) y = 2 x , y = 2, x = 0.

3. Oblicz obj¦to±¢ bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu podanej ﬁgury wokół

wskazanej osi:

a) 0 ¬ y ¬ 2 x − x 2 , 0 ¬ x ¬ 2, Ox ;

4. Oblicz długo±¢ krzywej y = 2

8. Korzystaj¡c z kryterium porównawczego zbadaj zbie»no±¢ całki:

Z 1

p x − 3 ; b)

Z 1

x − 1

x 4 + x + 1 ; c)

Z 1

1 + sin x

x 3 ; d)

Z 1

2 + cos x

p x

9. Oblicz pole ﬁgury ograniczonej krzywymi:

a) y =

x 2 ,x = 1 ,y = 0; b) y =

1 + x 2 oraz y = 0 .

6. Proste równania ró»niczkowe

Proste równania o ró»niczkowe o zmiennych rozdzielonych, liniowe pierwszego rz¦du

jednorodne i niejednorodne, równania liniowe drugiego rz¦du o stałych współczynni-

kach. We wszystkich przypadkach rozwi¡zania ogólne i zagadnienia pocz¡tkowe.

Marek Zakrzewski

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: