cwiczenia 5.pdf

Ćwiczenia V

Przejście promieniowania rentgenowskiego przez jednorodny materiał jest opisane

zaleŜnością:

I = I 0 e -µx

(1)

I 0 – natęŜenie promieniowania padającego, µ - współczynnik absorpcji promieniowania, I –

natęŜenie promieniowania, które przeszło przez materiał o grubości x.

Jest to szczególny i prosty przypadek. Na ogół na swej drodze promieniowanie

przechodzi przez róŜne warstwy, których współczynnik pochłaniania moŜe być róŜny.

Wówczas naleŜy uwzględnić to w równaniu i zaleŜność (1) przyjmuje ogólniejszą

postać:

(2)

gdzie µ(x) jest współczynnikiem pochłaniania na niewielkiej drodze dx, X jest całą drogą

promieniowania. W obliczeniach numerycznych równanie (2) jest zapisywane następująco:

(3)

a po przekształceniu:

(4)

gdzie: N – liczba odcinków drogi, s i – długość i-tego odcinka, µ i – współczynnik pochłaniania

na i-tym odcinku. ZaleŜność (4) przedstawia równanie liniowe, w którym prawa strona jest

znana z pomiaru. Warto zwrócić uwagę na kilka faktów. Opis jest tym dokładniejszy, im

odcinki s i są mniejsze. Ponadto dla skończonej długości s i , µ i wyraŜa średnią wartość

współczynnika pochłaniania na tym odcinku.

RozwaŜmy trzy problemy:

1. Czy moŜliwa jest rekonstrukcja obrazu przestrzennego?

2. Jak to rozwiązać technicznie?

3. Jakich uŜyć algorytmów do wyznaczenia poszukiwanych wielkości?

Dany jest zbiór dziewięciu sześcianów o identycznych wymiarach, ale wykonanych z

róŜnych materiałów o róŜnych współczynnikach pochłaniania promieniowania rtg. Sześciany

tworzą większy sześcian, a ich rozmieszczenie jest dowolne. Jak określić, która z małych

kostek gdzie się znajduje? Jedyną cechą, która je wyróŜnia, to współczynnik absorpcji. Proces

rozdzielimy na dwa etapy. W pierwszym podzielimy całość na trzy warstwy (A,B,C) i

zajmiemy się jedną z nich. Proces badania tej warstwy moŜna powtórzyć przy badaniu

Rekonstrukcja obrazów tomograficznych

Ćwiczenia V

pozostałych warstw. Dla prostoty wybierzmy górną warstwę, a dla wygody ponumerujmy jej

elementy od 1 do 9, np. tak jak na rys 1.33. MoŜemy tę warstwę prześwietlić na róŜne

sposoby, ale wybierzemy tylko trzy. Trzykrotnie prześwietlimy wiązką poziomą przesuwając

się np. z góry na dół. Uzyskamy trzy wyniki pomiarów opisane zaleŜnością (4), np.

xµ 1 + xµ 2 + xµ 3 = ln (I 123 / I 0 )

(5a)

a po prostym przekształceniu:

µ 1 + µ 2 + µ 3 =1/x ln (I 123 / I 0 )

(5b)

gdzie: I 0 – natęŜenie wiązki padającej, I 123 – natęŜenie wiązki, która przeszła przez element 1,

2, 3.

W tym przypadku x jest nie tylko wymiarem kostki elementarnej, ale i wielkością

przesunięcia wiązki skanującej. W analogiczny sposób znajdziemy: I 456 , I 789 . Podobnie

postąpimy prześwietlając trzykrotnie wiązką w kierunku pionowym i trzykrotnie pod kątem

45 0 . Przy prześwietleniu pod kątem 45 0 droga promieniowania w małej kostce jest równa x

W rzeczywistości, gdy struktura badanego obiektu jest bardziej zróŜnicowana, naleŜy

w celu uzyskania dobrego opisu wykonać bardzo wiele pomiarów (przy małym x) i pod

róŜnymi katami. To powoduje, Ŝe liczba równań szybko wzrasta i przedstawiona metoda

obliczeniowa staje się nieefektywna. JuŜ z tego prostego przykładu wynika, Ŝe pewne

ciekawe spostrzeŜenie. Prześwietlanie dwukrotnie wiązką o tym samym kierunku, ale

przeciwnym zwrocie daje tę samą informację. To oznacza, Ŝe zakres kątów skanowania jest

od 0 do

Rekonstrukcja obrazów tomograficznych

Bieg promieni zaznaczono na rys. 1.33. Mając dziewięć niewiadomych µ 1 … µ 9 moŜemy

uzyskać dziewięć niezaleŜnych równań i wyznaczyć te niewiadome. Identycznie postąpimy w

dwu pozostałych przekrojach (B, C).

. Ponadto dokładność wyznaczenia współczynnika absorpcji zaleŜy od średnicy

wiązki skanującej kroku skanowania.

Ćwiczenia V

co przedstawia rys. 1.34. KaŜdy punkt takiego wykresu jest związany z absorpcją

promieniowania zaleŜnością (4). Warto zwrócić uwagę na fakt, Ŝe droga promieniowania x

jest prostopadła do kierunku r charakteryzowanego katem

. Wykonując przy ustalonym kącie

wiele pomiarów, otrzymujemy I(r,

=const). Jest to jednowymiarowa transformata Radona

funkcji µ(x,y), opisana zaleŜnością:

(6)

gdzie: µ(x,y) – współczynnik pochłaniania w punkcie o współrzędnych (x,y),

- delta Diraca.

) dla róŜnych kątów (np. od 0 0 do 180 0 ) wyznaczamy

dwuwymiarową transformatę Radona nieznanej wielkości µ(x,y). Dalsza procedura jest

prosta. Obliczamy numerycznie odwrotną transformatę Radona i znajdujemy szukaną

wielkość µ(x,y).

Przedstawiona metoda wyznaczania µ(x,y) jest mało dokładna i w praktyce jest

stosowana jej modyfikacja. Znając z pomiarów I(r,g=const) wyznaczamy jednowymiarową

transformatę Fouriera tej wielkości, oznaczoną symbolicznie:

F {I(r,

=const)} = F(u,v)

gdzie: F oznacza transformatę Fouriera, a F -1 transformatę odwrotną.

wyznaczamy F(u,v). Innymi słowy 2D transformatę Radona przekształcamy w 2D

Na rys. 1.34 zaznaczono ten proces symbolicznie. Znając I(r,

) dla wszystkich

Rekonstrukcja obrazów tomograficznych

Przeanalizujmy bardziej efektywny sposób pomiaru i obliczeń. Pod ustalonym kątem

prześwietlamy badany obiekt wąską wiązką i skanujemy z zadanym krokiem (np. k). Takich

pomiarów naleŜy wykonać dostatecznie duŜo, aby wyznaczyć rozkład promieniowania I(r,

Wykonując wiele pomiarów I(r,

Ćwiczenia V

transformatę Fouriera. W przestrzeni transformaty F(u,v) dokonujemy interpolacji wyników

w tych obszarach, gdzie „gęstość” widma jest niezadowalająca. Następnie obliczamy

odwrotną transformatę Fouriera, co jest równoznaczne z wyznaczeniem µ(x,y):

F -1 {F(u,v)} = µ(x,y)

(7)

Przedstawiony sposób badania przechodzącego promieniowania jest technicznie

nieefektywny. Układ składa się ze spręŜonego jednego źródła promieniowania i jednego

detektora. W trakcie pomiarów wykonywane są dwa ruchy: przesuwny – wyznaczenie

I(r,

=const) i obrotowy – zmiana

Rys. 1.35 Układ z jednym źródłem promieniowania i zespołem detektorów.

Zespół źródło-układ detektorów obraca się wokół badanego obiektu wykonując

pomiary. Tu zamiast wiązki promieni równoległych mamy wiązkę rozbieŜną. Ten fakt jest

uwzględniony w algorytmie obliczenia współczynnika pochłaniania w badanym przekroju.

Badania w innych, sąsiednich przekrojach, odbywają się analogicznie. Współczesne

tomografy mogą wykonywać ruch po linii spiralnej dając w wyniku większą dokładność i

obrazy w kilku przekrojach. W zaleŜności od liczby i budowy detektorów promieniowania

oraz ruchu układu skanującego są stosowane róŜne algorytmy wyznaczania rozkładu

współczynnika pochłaniania w analizowanym przekroju.

Znajomość współczynników pochłaniania w warstwach poziomych (rys 1.33)

umoŜliwia ich prezentacje w warstwach pionowych. Innymi słowy, moŜna utworzyć 3D

tablicę liczb , która moŜe być wizualizowana w dowolnym przekroju poziomym lub

pionowym. KaŜdy element takiej tablicy reprezentuje piksel przestrzenny nazywany

wokselem. Woksel jest najmniejszą jednostką daną w przestrzeni 3D, a typowy kształt to

sześcian [i, i+1] x [j, j+1] x [k, k+1]

R 3 .

Rekonstrukcja obrazów tomograficznych

. O wiele szybciej i prościej moŜna dokonać pomiarów, gdy

zamiast jednego jest zastosowany układ detektorów. Schemat takiego układu jest

przedstawiony na rys 1.35.

Ćwiczenia V

Rekonstrukcje obrazów.

Tomografia komputerowa jest systemem pośredniego obrazowania. Oznacza to, Ŝe w

wyniku pomiaru nie uzyskuje się bezpośredniego obrazu, lecz obraz ten uzyskiwany jest na

drodze obliczeń matematycznych. Przetwarzanie danych pomiarowych celem uzyskania

obrazu nazywane jest rekonstrukcją obrazu. Dla potrzeb rekonstrukcji obrazu w CT stosuje

się liczne metody. Wszystkie bazują na próbie odtworzenia rozkładu osłabień promieniowania

w obiekcie na podstawie serii pomiarów – projekcji. Dzieląc obszar pomiaru na zbiór

podstawowych elementów objętości (Vogel- volume element) odtwarza się wartość osłabienia

dla kaŜdego elementu f(x,y). WyróŜnia się podstawowe metody rekonstrukcji:

1. Metody algebraiczne,

2. Metody iteracyjne,

3. Metody Fouriera,

4. Filtrowany rzut projekcja) wsteczny.

Model matematyczny rekonstrukcji obrazów w TK.

Zadaniem TK jest dokonać zobrazowania strukturalnego przekroju (często

poprzecznego) obiektu, który moŜna przedstawić poprzez umieszczenie go w pewnym

układzie współrzędnych o załoŜonym środku (0,0) w obrębie obiektu:

Obiekt jest opisany funkcją f(x,y) taką, Ŝe:

f(x,y)

0 – w obrębie obszaru pokazanego na powyŜszym rysunku,

f(x,y) = 0 – poza tym obszarem.

Funkcja f(x,y), która ma obrazować zakres osłabienia promieniowania rtg

przechodzącego przez dany obiekt, jest celem poszukiwania. Obwiednię poszukiwanego

obszaru moŜna sobie wyobrazić jako kontur pacjenta znajdującego się na stole w polu badania

TK. Z doświadczeń płynących z tradycyjnych badań rtg wiadomo, Ŝe dokonując

prześwietlenia obiektu, czyli przejścia promieni X przez obiekt, moŜna pomierzyć, po drugiej

stronie obiektu względem źródła promieniowania, osłabienie tego promieniowania wywołane

pochłanianiem go przez obiekt.

Rekonstrukcja obrazów tomograficznych

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: