Statystyka Teoria i Zadania z rozwiązaniami [22 strony].doc

Statystyka Teoria i Zadania z rozwiązaniami [22 strony]

Analiza struktury zmierza do wydobycia na jaw charakterystycznych właściwości zbiorowości i porównania ich z inną zbiorowością. Każde badanie, które w efekcie ma dać wszechstronną ocenę zjawiska i doprowadzić do konstruktywnych wniosków, musi mieć swój punkt odniesienia w czasie albo przestrzeni.

Badając np. rozwój gospodarczy w regionie X nie będziemy w stanie prawidłowo ocenić poziomu rozwoju w tym regionie bez znajomości rozmiarów tego samego zjawiska w innym regionie lub tym samym regionie, ale w poprzednich okresach.

W badaniach statystycznych dosyć często zachodzi konieczność przeprowadzenia dwóch typów porównań:

Dwóch (lub więcej) różnych zbiorowości – pod względem tej samej cechy (np. struktura zgonów według wieku mężczyzn w Polsce w roku 2002);

Rozkładu dwóch (lub więcej) cech w tej samej zbiorowości (np. struktura urodzeń żywych według kolejności urodzenia dziecka i wieku matki w Polsce w roku 2002).

W sytuacjach, w których badanie struktury zbiorowości statystycznej prowadzone jest z punktu widzenia cech mierzalnych, wszechstronną analizę można prowadzić przy wykorzystaniu następujących miar statystycznych:

miar średnich (miar poziomu wartości zmiennej, miar położenia, przeciętnych) służących do określania tej wartości zmiennej opisanej przez rozkład, wokół której skupiają się wszystkie pozostałe wartości zmiennej;

miar rozproszenia (zmienności, zróżnicowania, dyspersji) służących do badania stopnia zróżnicowania wartości zmiennej;

miar asymetrii (skośności) służących do badania kierunku zróżnicowania wartości zmiennej;

miar koncentracji służących do badania stopnia nierównomierności rozkładu ogólnej sumy wartości zmiennej pomiędzy poszczególne jednostki zbiorowości lub analizy stopnia skupienia poszczególnych jednostek wokół średniej.

Miary średnie

Dzielą się na dwie grupy: średnie klasyczne i pozycyjne. Do średnich klasycznych należą: średnia arytmetyczna, średnia harmoniczna oraz średnia geometryczna. Najczęściej wykorzystywanymi średnimi pozycyjnymi są: dominanta (wartość najczęstsza) oraz kwantyle. Wśród kwantyli wyróżniamy – kwartyle (dzielące zbiorowość na cztery części), kwintyle (pięć części), decyle (dziesięć części) oraz centyle [percentyle] (sto części).

Średnie klasyczne są obliczane na podstawie wszystkich wartości szeregu. Średnie pozycyjne są wartościami konkretnych wyrazów szeregu (pozycji) wyróżniających się pod pewnym względem. Obie grupy wzajemnie się uzupełniają, każda opisuje poziom wartości zmiennej z innego punktu widzenia.

Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną nazywamy sumę wartości zmiennej wszystkich jednostek badanej zbiorowości podzieloną przez liczbę tych jednostek.

- symbol średniej arytmetycznej;

xi – warianty cechy mierzalnej;

N – liczebność badanej zbirowości.

Średnią określoną powyższym wzorem nazywa się średnią arytmetyczną nieważoną.

Jeżeli warianty średniej występują z różną częstotliwością, to oblicza się średnią arytmetyczną ważoną. Wagami są liczebności odpowiadające poszczególnym wariantom. Z tego typu sytuacją mamy do czynienia w szeregach rozdzielczych i przedziałowych.

Średnią arytmetyczną z szeregów przedziałowych oblicza się następująco:

(n=1,2,…,k) – liczebność jednostek odpowiadająca poszczególnym wariantom zmiennej;

N – suma tych liczebności

(S - suma)

              W szeregach rozdzielczych przedziałowych wartości zmiennej w każdej klasie nie są jednoznacznie określone, ale mieszczą się w pewnym przedziale. Dlatego też w celu obliczenia średniej arytmetycznej w przypadku tego typu szeregów należy wcześniej wyznaczyć środki przedziałów. Środki przedziałów otrzymuje się jako średnią arytmetyczną dolnej i górnej granicy każdej klasy. Oznacza się ją symbolem .

Wzór na średnią arytmetyczną z szeregu rozdzielczego przedziałowego:

Jeżeli w obliczeniach możemy wykorzystać wyłącznie procentowe wskaźniki struktury (odsetki całości) to wzór wygląda następująco:

gdzie

Ćwiczenie 1

Tab. 1 Wyniki badań testowych dotyczących wiedzy teoretycznej ze statystyki

- środek klasy

- odsetek ogółu

Oblicz średnią arytmetyczną.

Metoda 1:

„Za pomocą szeregu rozdzielczego przedziałowego”

Metoda 2:

„Za pomocą procentowych wskaźników struktury”

Wyniki są równoważne, ponieważ wartość średniej arytmetycznej nie zależy od liczebności poszczególnych klas, ale od proporcji między nimi.

Jeżeli znamy średnie arytmetyczne dla pewnych grup, a chcemy obliczyć średnią arytmetyczną dla wszystkich grup łącznie korzystamy ze wzoru:

gdzie:

- średnia ze średnich;

- średnia arytmetyczna i-tej grupy;

- suma liczebności grupy;

              Średnia arytmetyczna jest miarą prawidłową tylko w odniesieniu do zbiorowości jednorodnych, o niewielkim stopniu zróżnicowania wartości zmiennej. W miarę wzrostu asymetrii i zróżnicowania rozkładu, a także w rozkładach bimodalnych i wielomodalnych średnia arytmetyczna traci swoje znaczenie. Nie można jej obliczyć dla szeregu o otwartych przedziałach, jeżeli przedziały te mają duże liczebności. (Przyjmuje się, że otwarte przedziały klasowe przedziały można zamykać, jeżeli liczba jednostek w tych przedziałach nie przekracza 5% liczebności zbiorowości.)

              Jeżeli wartości zmiennej podane są w jednostkach względnych, np. km/godz, kg/osobę, wagi zaś w jednostkach liczników tych jednostek względnych (prędkość pojazdu – zmienna: km/godz.; waga: w km; gęstość zaludnienia – zmienna: w osobach/km2, waga: w osobach; spożycie artykułu X na 1 osobę – zmienna: w litrach, waga: na osobę), to stosuje się średnią harmoniczną.

Średnia harmoniczna jest odwrotnością średniej arytmetycznej z odwrotności wartości zmiennych.

W przypadku szeregów wyliczających oblicza się ją ze wzoru:

gdzie:

H – symbol średniej harmonicznej.

Dla obliczenia średniej harmonicznej z szeregów rozdzielczych (punktowych lub przedziałowych) zachodzi konieczność zastosowania wag (uwzględnienia liczebności). Stosuje się wzór:

Dla szeregów rozdzielczych przedziałowych średnią harmoniczną obliczamy według powyższego wzoru, z tym, że konkretne warianty cechy (xi) zastępujemy środkami przedziałów ().

Ćwiczenie 2

Gęstość zaludnienia w dwu 100-tysięcznych miastach wynosi odpowiednio 300 osób/km2 i 900 osób km2. Oblicz przeciętną gęstość zaludnienia.

Stosując średnią arytmetyczną dla obliczenia powyższego zadania otrzymalibyśmy:

CO NIE JEST PRAWDĄ!

Każde z miast zajmuje odpowiednio:

100 000 : 300 osób km2 = 333,33 km2

100 000 : 900 osób km2 = 111,11 km2

Z czego wynika, że oba miasta zajmują powierzchnię – 444,44 km2.

Wobec tego średnia gęstość zaludnienia w tych miastach wynosi:

200 000 osób : 444,44 km2...