Podstawy matematyczne.pdf
(
409 KB
)
Pobierz
LOGARYTMY
LOGARYTMY
Definicja:
Liczbę
b
nazywamy logarytmem liczby
x
przy podstawie
a
, co zapisujemy
log
a
x = b
, wtedy i
tylko wtedy gdy
a
b
= x
. Zakładamy przy tym, że liczba logarytmowana
x>0
oraz podstawa
logarytmu
a>0
i
a≠1
. Mamy zatem
log
a
x = b <═> a
b
= x, x>0, a>0, a≠1
Przypadki szczególne:
Jeżeli podstawa logarytmu
a=
10
, to
log
10
x
oznacza się
log
x
i nazywa się logarytmem
dziesiętnym. Zatem
log
x = b <═>
10
b
= x
Jeżeli podstawą logarytmu jest liczba
e
,
to
log
e
x
oznaczamy
lnx
i nazywamy logarytmem
naturalnym. Zatem
ln
x = b <═> e
b
= x
Liczbę
e
definiujemy jako granicę:
æ
1
ö
n
lim
è
1
+
ø
=
e
»
2
71828
n
®
¥
n
Jest to liczba niewymierna
Własności logarytmów (zakładamy, że a>0 i a≠1)
1. log
a
1 = 0
2. log
a
a
= 1 , ln
e
= 1
3. log
a
a
x
=
x
, ln
e
x
=
x
4.
x
a
x
a
=
6.
log
y
ç
è
x
÷
ø
=
log
x
-
log
,
x
> 0,
y
> 0
a
y
a
a
7.
log
x
x
a
p
=
p
log
,
x
> 0,
R
p
Î
a
8.
log
x
c
=
log
c
x
,
c
> 0,
c
≠ 1,
x
> 0
a
log
a
9.
log
a
x
c
=
1
,
c
> 0,
c
≠ 1
a
log
1
log
,
e
ln
x
=
x
,
x
>0
5. log
a
(xy)
= log
a
x
+ log
a
y
,
x
> 0,
y
> 0
æ
ö
POCHODNE FUNKCJI
Iloraz różnicowy funkcji
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego
Niech
f
będzie funkcją określoną w
pewnym otoczeniu
U
punktu , zaś
taką liczbą, że
.
Iloraz nazywamy
ilorazem różnicowym
funkcji
f
w
punkcie , dla przyrostu
h
zmiennej
niezależnej.
Pochodna funkcji w punkcie
Granicę właściwą (jeżeli istnieje) ilorazu różnicowego dla
h
dążącego do
zera nazywamy pochodną funkcji
f
w punkcie i oznaczamy symbolem .
Warunkiem koniecznym istnienia pochodnej (różniczkowalności) funkcji w punkcie
jest ciągłość funkcji w punkcie .
Funkcja może być w danym punkcie ciągła, ale nie musi mieć w tym punkcie pochodnej
(np.: funkcja
w punkcie
x = 0
).
istnieje.
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie
, to pochodna nie
2
Jeżeli nie istnieje granica właściwa ilorazu różnicowego dla
Twierdzenia o pochodnej
Jeżeli istnieją pochodne
1.
(
x
c
×
×
f
(
x
))'
=
c
f
'
(
)
gdzie
c
- dowolna stała
2.
[
x
f
(
x
)
+
g
(
x
)]'
=
f
'
(
x
)
+
g
'
(
)
3.
[
x
f
(
x
)
-
g
(
x
)]'
=
f
'
(
x
)
-
g
'
(
)
4.
[
x
f
(
x
)
×
g
(
x
)]'
=
f
'
(
x
)
×
g
(
x
)
+
f
(
x
)
×
g
'
(
)
5.
é
f
(
x
)
ù
'
f
'
(
x
)
×
g
(
x
)
-
g
'
(
x
)
×
f
(
x
)
=
przy założeniu, że
g
(
x
)
¹
0
ë
û
g
(
x
)
[
g
(
x
)]
2
6.
Jeżeli funkcja
y
=
f
(
x
)
ma pochodną w punkcie
x = x
0
to jest w tym punkcie ciągła
Pochodna funkcji złożonej
Pochodna funkcji złożonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej i pochodnej
funkcji wewnętrznej.
dy
=
dy
×
du
dx
du
dx
Pochodna funkcji złożonej z trzech funkcji dana jest wzorem
dy
=
dy
×
dz
×
du
dx
dz
du
dx
Wzór funkcji
y= f(x)
Pochodna
f’(x)
funkcji
f
Uwagi
3
4
CAŁKI NIEOZNACZONE
Funkcja pierwotna:
Funkcją pierwotną danej funkcji jednej zmiennej
y=f(x),
nazywamy taką funkcję F(x), której
pochodna jest równa f(x).
Całka nieoznaczona:
Całka iloczynu funkcji przez stałą:
Całka sumy funkcji:
Całkowanie przez części:
Całkowanie przez podstawianie:
Całki funkcji elementarnych
5
Plik z chomika:
RDX
Inne pliki z tego folderu:
DSC04852.JPG
(1747 KB)
DSC04851.JPG
(2087 KB)
DSC04850.JPG
(1971 KB)
DSC04849.JPG
(2127 KB)
DSC04848.JPG
(2673 KB)
Inne foldery tego chomika:
e-booki
Elektronika
Galeria
kursy
programy
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin