Analiza matematyczna 2 - opracowane zagadnienia na egzamin.doc

(232 KB) Pobierz

Zagadnienia na egzamin z analizy II

1. Przestrzeń , metryka w przestrzeni

Niech $\displaystyle X$ będzie zbiorem niepustym. Metryką w zbiorze $\displaystyle X$ nazywamy dowolną funkcję $\displaystyle d\colon X\times X\longrightarrow\mathbb{R}_+=[0,+\infty)$ spełniającą następujące warunki:
(i) $\displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ d(x,y)=0\ \Longleftrightarrow\ x=y$ ;
(ii) $\displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X:\ d(x,y)=d(y,x)$ (warunek symetrii);
(iii) $\displaystyle \displaystyle\forall x,y,z\in X:\ d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)$ (warunek trójkąta).
Parę $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ nazywamy przestrzenią metryczną.
Dla dowolnych $\displaystyle x,y\in X,$ liczbę $\displaystyle d(x,y)$ nazywamy odległością punktów $\displaystyle x$ i $\displaystyle y$ oraz mówimy, że punkty $\displaystyle x$ i $\displaystyle y$ są oddalone od siebie o $\displaystyle d(x,y).$

2. Ciągi i granice funkcji w przestrzeni : definicja ciągu w ; definicja granicy (właściwej i niewłaściwej) funkcji w punkcie; twierdzenie o zbieżności po współrzędnych; granice iterowane; zależność między istnieniem (nie istnieniem) granic iterowanych a istnieniem (nie istnieniem) granicy podwójnej funkcji w punkcie; twierdzenie o arytmetyce granic

a)Ciągi i granice funkcji w Rn:

Niech $\displaystyle X\ne\emptyset$ będzie dowolnym zbiorem. Ciągiem o wyrazach w zbiorze $\displaystyle X$ nazywamy dowolną funkcję $\displaystyle \displaystyle f\colon \mathbb{N}\longrightarrow X.$
Ciąg ten oznaczamy

$\displaystyle \{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq X,\quad \{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq X,\quad \{x_n\}\subseteq X,\quad\quad$ lub $\displaystyle \quad x_1,x_2,\ldots,$

gdzie $\quad\displaystyle f(n) \ =\ x_n \qquad\forall\ n\in\mathbb{N}.$

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X$ ciągiem oraz $\displaystyle g\in X.$
Mówimy, że $\displaystyle g$ jest granicą ciągu $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}$ w metryce $\displaystyle d,$ jeśli dla dowolnego $\varepsilon>0$ wyrazy ciągu są od pewnego momentu oddalone od $\displaystyle g$ o mnie niż $\varepsilon$ , czyli

$\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ d(x_n,g)<\varepsilon$

i piszemy

$\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g,\quad x_n\xrightarrow[n\rightarrow+\infty]{}g,\quad x_n\longrightarrow g \quad$ lub $\displaystyle \quad x_n\xrightarrow{d} g.$

Mówimy, że ciąg $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}$ jest zbieżny, jeśli

$\displaystyle \exists g\in X:\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g.$

b) definicja granicy (właściwej i niewłaściwej) funkcji w punkcie

Definicja[Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]

Niech będzie podzbiorem $\displaystyle\mathbb{R}.$ Niech $\displaystyle f\colon A\longrightarrow \mathbb{R}$ będzie funkcją oraz niech $x_0\in \mathbb{R}$ będzie punktem skupienia zbioru
- Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą) $g\in \mathbb{R}$ w punkcie jeśli

$\forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \ \forall x\in A\setminus\{x_0\}:\ \M$

$\bigg[ |x_0-x|<\delta \ \Longrightarrow\ |f(x)-g|<\varepsilon\bigg].$

Piszemy wówczas

$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x) \ =\ g \quad\textrm{lub}\quad f(x)\xrightarrow[x\rightarrow x_0]{} g.$

- Niech $A\subseteq\mathbb{R}$ oraz $x_0\in\mathbb{R}$ punktem skupienia zbioru
Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego) $+\infty$ w punkcie jeśli

$\forall M\in\mathbb{R}\ \ \exists\delta>0\ \ \forall x\in A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[|x-x_0|<\delta \ \ \Longrightarrow\ \ f(x)>M. \bigg]$

Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego) $-\infty$ w punkcie jeśli

$\forall M\in\mathbb{R}\ \ \exists\delta>0\ \ \forall x\in A\setminus\{x_0\}:\ \ \bigg[|x-x_0|<\delta \ \ \Longrightarrow\ \ f(x)<M. \bigg]$

c) Twierdzenie o zbieżności po współrzędnych

Niech $\displaystyle \displaystyle (X,d)$ będzie dowolną przestrzenią metryczną. Niech $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X$ będzie ciągiem oraz $\displaystyle g\in X.$ Wówczas:
(1) $\displaystyle x_n\xrightarrow{d} g$ wtedy i tylko, wtedy, gdy $\displaystyle d(x_n,g)\xrightarrow{\mathbb{R}} 0$ ,
(2) Istnieje co najwyżej jedna granica ciągu $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}:$ to znaczy

$\displaystyle \bigg[ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = g_1\in X \quad$ i $\displaystyle \quad \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = g_2\in X \bigg] \ \Longrightarrow\ g_1=g_2.$

(3) Jeśli ciąg $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}$ jest zbieżny, to jest ograniczony.
(4) Jeśli $\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g$ oraz $\displaystyle \displaystyle\big\{x_{n_k}\big\}$ jest dowolnym podciągiem ciągu $\displaystyle \displaystyle\{x_n\},$ to

$\displaystyle \lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k} \ =\ g.$

(5) Jeśli $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}$ jest ciągiem zbieżnym oraz $\displaystyle \displaystyle\big\{x_{n_k}\big\}$ jest jego dowolnym podciągiem takim, że $\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k}=g,$ to także $\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g.$
(6) Jeśli dla dowolnego podciągu $\displaystyle \displaystyle\big\{x_{n_k}\big\}$ ciągu $\displaystyle \displaystyle\{x_n\}$ istnieje jego dalszy podciąg $\displaystyle \displaystyle\big\{x_{n_{k_l}}\big\}$ taki, że $\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{l\rightarrow +\infty} x_{n_{k_l}}=g,$ to $\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g.$

d) Granice iterowane

e) Zależność między istnieniem (nie istnieniem) granic iterowanych a istnieniem (nie istnieniem) granicy podwójnej funkcji w punkcie:

Jeżeli funkcja RxR w R ma granicę w pkt (a,b) i istnieje któraś z granic iterowanych (granica przy x dążącym do a z granicy przy y dążącym do b z f(x,y) lub granica przy y dążącym do b z granicy przy x dążącym do b z f(x,y)) to musi być ona równa granicy funkcji f. w pkt(a,b)

f) Twierdzenie o arytmetyce granic:

Jeśli $A\subseteq \mathbb{R},x_0\in \mathbb{R}$ jest punktem skupienia zbioru
$f_1,f_2\colon A\longrightarrow\mathbb{R}$ są funkcjami, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f_1(x)=g_1$ oraz $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f_2(x)=g_2,$ to
(1) $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}|f_1|(x)=|g_1|$ ;
(2) $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}(f_1\pm f_2)(x)=g_1\pm g_2$ ;
(3) $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}(f_1f_2)(x)=g_1g_2$ ;
(4) $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}\left(\frac{f_1}{f_2}\right)(x)=\frac{g_1}{g_2},$ o ile $g_2\ne 0$ oraz dla $x\in A$ mamy $f_2(x)\ne 0$ ;
(5) $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}\big[f_1(x)\big]^{f_2(x)}=g_1^{g_2},$ o ile wyrażenia po obu stronach mają sens.

3. Ciągłość funkcji dwóch zmiennych: definicja funkcji ciągłej w punkcie , twierdzenie równoważne ciągłości, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów

Ciągłość w przestrzeni metrycznej

$\forall_{x \in X}\; \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in X}\; d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \varepsilon$

Tw. Weierstrassa

...

Plik z chomika:

andrzej-199017

Inne pliki z tego folderu:

kod kolorowy.jpg (24 KB)
Inkscape - formatowanie napisów - rysowanie.ogv (31641 KB)
Linux - polecenia i operacje.rar (4459 KB)
Inkscape - filmik wprowadzający.mpeg (29228 KB)
TEORIA KOLEJEK.ppt (308 KB)

Analiza matematyczna 2 - opracowane zagadnienia na egzamin.doc

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: