asd_03.pdf

(43 KB) Pobierz
Microsoft Word - asd_03.doc
3RMFLDSRGVWDZRZH
I. Sumowanie
å =
n
x
i
=
x
1
+
...
+
x
n
VXPDZLHOXUy*Q\FKVNáDGQLNyZ
i
1
:áDVQRFL
å =
n
2
2
x
2
=
x
+
... n
+
x
1.
suma kwadratów
i
1
i
1
æ
n
ö
2
å =
(
)
2.
ç
è
x
÷
ø
=
x
+
...
+
x
2
kwadrat sumy
i
1
n
i
1
n
æ
n
ö
2
å
å
x
2
¹
ç
è
x
÷
ø
poza przypadkiem, gdy x 1 = … = x n = 1
i
i
i
=
1
i
=
1
å
n
(
)
å
n
n
x
+
y
=
x
+
y
3.
i
i
i
i
sum
DUy*Q\FKVNáDGQLNyZ
i
=
1
i
=
1
i
=
1
å
n
(
)
å
n
n
4.
x
i
-
y
i
=
x
i
-
y
i
Uy*QLFDUy*Q\FKVNáDGQLNyZ
i
=
1
i
=
1
i
=
1
å
n
å
n
5.
cx
i
=
c
x
i
PQR*HQLHVXP\SU]H]VWDá\F]\QQLNF
i
=
1
i
=
1
å =1
n
6.
c
=
nc
sumowanie sta áHJRF]\QQLND c
i
åå
n
m
å
n
å
m
7.
x
i
y
i
=
x
i
y
i
PQR*HQLHSRW\FKVDP\FKZVND(QLNDFK
i
=
1
i
=
1
i
=
1
i
=
1
åå
n
m
å
n
å
m
x
y
=
x
y
8.
i
j
i
j
PQR*HQLHSRUy*Q\FKZVND(QLNDFK
i
=
1
j
=
1
i
=
1
j
=
1
åå
n
m
å
m
å
n
9.
x
i
y
j
=
y
j
x
i
]PLDQDNROHMQRFLVXPRZDQLD
i
=
1
j
=
1
j
=
1
i
=
1
å
n
å
n
10.
x
i
=
x
j
zamiana zmiennych
i
=
1
j
=
1
1370772.004.png
II. Indukcja matematyczna
Zasada indukcji matematycznej:
1. Podstawa indukcji
8GRZRGQLü*HZ\UD*HQLHMHVWSUDZG]LZHGODZDUWRFLSRF]WNRZHM
2. Hipoteza indukcji
=DáR*\ü*HZ\UD*HQLHMHVWSUDZG]LZHGODQZLNV]HJRRGZDUWRFL
SRF]WNRZHM
3. Krok indukcyjny
8GRZRGQLü*HMH*HOLZ\UD*HQLHMHVWSUDZG]LZHGODQWRPXVLE\üSUDZG]LZH
dla (n+1)
1DSU]\NáDG
å =
n
i
=
n
(
n
+
1
2
i
1
1. n=1
2. 1+2+…+n=
n
(
n
+
1
2
3. 1+2+…+(n+1)=
(
n
+
1
)((
n
+
1
+
1
2
1+2+…+n+1=
n
(
n
+
1
+
(
n
+
1
=
n
(
n
+
1
+
2
(
n
+
1
=
(
n
+
1
)((
n
+
1
+
1
2
2
2
2
å =
n
i
2
=
n
(
n
+
1
)(
2
n
+
1
6
i
1
1. n=1
2. 1 2 +…+n 2 =
n
(
n
+
1
)(
2
n
+
1
6
3. 1 2 +…+n 2 +(n+1) 2 =
n
(
n
+
1
)(
2
n
+
1
=
n
(
n
+
1
)(
2
n
+
1
+
6
(
n
+
1
2
+
(
n
+
1
2
=
6
6
=
(
n
+
1
)(
2
n
2
+
7
n
+
6
)
(
n
+
1
)((
n
+
2
)(
2
n
+
3
))
(
n
+
1
)((
n
+
1
+
1
)(
2
(
n
+
1
+
1
))
=
=
6
6
6
= å
n
2
i
=
2
n
+
1
-
1
i
0
1. n=0
2. 2 0 +…+2 n =2 n+1 -1
3. 2 0 +…+2 n +2 n+1 = 2 (n+1) -1+2 (n+1) =2*2 (n+1) -1=2 ((n+1)+1) -1
= å
n
i
2
i
=
(
n
-
1
2
n
+
1
+
2
i
1
1. n=1
2. 1*2 1 +…+n*2 n = (n-1)2 n+1 +2
3. 1*2 1 +…+n2 n + (n+1)2 n+1 =(n-1)2 n+1 +2+ (n+1)2 n+1 =(n+n)2 n+1 +2=
=2n*2 n+1 +2 = n*2 n+2 +2 = (n+1-1)2 n+1+1 +2
1370772.005.png
III. Kombinatoryka
1. Permutacje
.D*GHPR*OLZHXSRU]GNRZD nie zbioru n-elementowego nazywamy
SHUPXWDFM
:V]\VWNLFKPR*OLZ\FKSHUPXWDFML]ELRUXQ -elementowego jest n!
n! = 1*2*3*…*n = n*(n-1)*(n-2)*…*(n-(k-1)) =
Õ
-
1
n
(
-
i
)
i
=
0
n! = n*(n-1)!;
0!=1;
/LF]EDPR*OLZ\FKXVWDZLHHOHPHQWyZ zbioru n-elementowego).
2. Wariacje EH]SRZWyU]H
.D*GD permutacja NUy*Q\FKHOHPHQWyZ]H]ELR ru n-elementowego.
,ORüZDULDFMLMDNPR*QDXWZRU]\ü]QHOHPHQWyZSRNHOHPHQWyZ
oznaczamy jako (n) k .
(
n k
)
=
n
!
(
n
-
k
)!
(Liczba XVWDZLH k elementów wybranych VSRUyGQHOHPHQWyZWDNL*NROHMQRü
elementów nie odgrywa roli).
3. Kombinacje
=ELyUZDULDFMLMDNLPR*QDXWZRU]\ü]QHOHPHQWyZSRNHOHPHQWyZ
Uy*QLF\FKVL tylko XSRU]GNRZDQLHP
,ORüNRPELQDFMLMDNPR*QDXWZRU]\ü]QHOHPHQWyZS o k elementów
oznaczamy jako
æ k
n
÷
ø
.
ç
è
n
÷
ø
=
n
!
k
k
!
n
-
k
)!
/LF]EDPR*OLZ\FK wyborów NHOHPHQWyZVSRUyGQHOHPHQWyZ
k
ç
è
ö
æ
ö
1370772.006.png
IV.
8*\WHF]QHR]QDF]HQLD
1. funkcja ceil(n)
| n | sufit z n (ang. ceil)
QDMPQLHMV]DOLF]EDFDáNRZLWDNWyUDMHVW
>= n
1DSU]\NáDG
| 2.1| = 3; | 1.33 | = 2;
| 0 | = 0; | -2.8 | = -2; | -5 | = -5
2. funkcja floor(n)
| n |
SRGáRJD]QDQJIORRU
QDMZLNV]DOLF]EDFDáNRZLWDNWyUDMHVW Q
1DSU]\NáDG
| 2.1| = 2; | 1.33 | = 1;
| 0 | = 0; | -2.8 | = -3; | -5 | = -5
3. logarytmy
log a b=c,
gdy
a c =b
a E!
dla ustalenia uwagi niech a>1
Podstawowe w áDVQRFL
a)
log
a
1
=
0
c) log a (xy) = log a x + log a y
a
log
a
x
=
x
a=10
ORJDU\WPG]LHVLWQ\
d) log a (x/y) = log a x í log a y
a=2
logarytm binarny
e) log a x y = ylog a x
a=e
logarytm naturalny
f) log a x = log b x / log b a
e = 2.718 281 828…
f)
x
log
a
y
=
y
log
a
x
log
2
x
=
log
10
@
3
322
2
log
x
10
ln
x
=
ln
10
@
2
302
log
x
10
b)
1370772.007.png
 
Na
SU]\NáDGUR]SDWU]P\IXQNFM\ [
y = 1/x
(1,1)
(x,1/x)
(1,0)
(x,0)
ln x §
duzex
1
1
dx
§6 pp
SR SURVWRN WDFK
x
1DSU]\NáDG dla x:=6:
S pp =
å =
6
i = (1*1)+(1*1/2)+ …+(1*1/6) = 2.283
(
*
1
/
)
i
1
]D ln 6 = 1.791 759…
4. Liczby harmoniczne
H n
n-ta liczba harmoniczna
H
= å =
n
1
=
1
+
1
+
...
+
1
n
k
2
n
k
1
ln x §
duzex
1
1
dx
§6 pt
(po trapezach)
x
Gdy x:=n;
S pt =
1
è
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
...
+
1
+
1
ø
=
è
1
+
1
+
1
+
...
+
1
-
1
-
1
ø
2
2
2
3
3
n
-
1
n
2
3
n
2
2
n
S pt =
H n
-
1
-
1
§OQQ
2
2
n
1
1
H n
»
ln
n
-
-
2
2
n
5. Wzór Stirlinga
æ
n
ö
n
n
!
»
2
n
p
è
ø
e
1DSU]\NáDG
8! §
8! = 40320
'ODQ!EáGZ]JOGQ\Z\]QDF]HQLDQ]Z]RUX6WLUOLQJD
æ
ö
æ
ö
1370772.001.png 1370772.002.png 1370772.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin