5.1 Twierdzenia o wartości średniej
Twierdzenie (Rolle’a[1])
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
jest ciągła na [a,b],
(5.1.1)
ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na (a,b),
(5.1.2)
f(a) = f(b),
(5.1.3)
to istnieje punkt cÎ(a,b) taki, że
f¢(c) = 0.
(5.1.4)
Interpretacja geometryczna
Na wykresie funkcji ciągłej na [a,b], mającej pochodną wewnątrz tego przedziału i przyjmującej równe wartości na jego końcach, istnieje punkt, w którym styczna jest pozioma.
Twierdzenie (Lagrange’a[2])
(5.1.5)
(5.1.6)
to istnieje punkt cÎ(a,b), taki, że
(5.1.7)
Na wykresie funkcji ciągłej na [a,b], mającej pochodną wewnątrz tego przedziału istnieje punkt, w którym styczna do wykresu jest równoległa siecznej łączącej jego końce.
Twierdzenie (Cauchy’ego[3])
Jeżeli funkcje f oraz g spełniają warunki:
są ciągłe na [a,b],
(5.1.8)
mają pochodne właściwe lub niewłaściwe na (a,b),
(5.1.9)
g¢(x) ¹ 0 dla każdego xÎ(a,b),
(5.1.10)
(5.1.11)
5.2 Monotoniczność funkcji
Twierdzenie
(Warunki wystarczające monotoniczności funkcji)
Niech A oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla każdego xÎA funkcja f spełnia warunek:
to jest stała na A;
(5.2.1)
to jest rosnąca na A;
(5.2.2)
to jest niemalejąca na A;
(5.2.3)
to jest malejąca na A;
(5.2.4)
to jest nierosnąca na A;
(5.2.5)
Twierdzenie (O tożsamościach)
Niech funkcje f oraz g będą określone na przedziale AÌR i niech x0ÎA. Wtedy, jeżeli spełnione są warunki:
f(x0) = g(x0);
(5.2.6)
f¢(x) = g¢(x) dla każdego xÎA,
(5.2.7)
to f(x) º g(x) na A.
(5.2.8)
Twierdzenie (O nierównościach)
(5.2.9)
dla każdego x>x0,
(5.2.10)
to dla każdego x>x0.
(5.2.11)
Przykład 1 Zbadać monotoniczność funkcji:
Przykład 2 Zbadać monotoniczność funkcji:
Przykład 3 Zbadać monotoniczność funkcji:
Przykład 4 Zbadać monotoniczność funkcji:
Przykład 5 Zbadać monotoniczność funkcji:
Przykład 6 Zbadać monotoniczność funkcji:
Przykład 7 Zbadać monotoniczność funkcji:
Przykład 8 Zbadać monotoniczność funkcji:
Przykład 1 Sprawdzić, czy funkcja f(x) = x(x2-1) spełnia założenia twierdzenia Rolle’a na przedziale [-1,1].
Rozwiązanie:
1. Funkcja f(x) = x(x2-1) jest ciągła na przedziale [-1,1], ponieważ jest wielomianem.
2. Funkcja f(x) = x(x2-1) ma pochodną właściwą na przedziale [-1,1], ponieważ jest wielomianem.
3. f(-1)=(-1)[(-1)2-1]=0, f(1)=1(12-1)=0 Zatem f(-1)=f(1)
4. Wniosek:
Przykład 2 Sprawdzić, czy funkcja spełnia założenia twierdzenia Rolle’a na przedziale [-1,1].
3. f(-1) = (-1)[(-1)2-1] = 0, f(1) = 1(12-1) = 0, zatem f(-1)=f(1)
[1] Michael Rolle (1652 - 1719), matematyk francuski.
[2] Joseph Louis de Lagrange (1736 - 1813), matematyk i astronom francuski.
[3] Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857), matematyk francuski.
krenciolex