6.1 Ekstrema funkcji
Definicja (Minimum lokalne funkcji)
Funkcja f ma w punkcie x0ÎR minimum lokalne, jeżeli
(6.1.1)
Definicja (Maksimum lokalne funkcji)
Funkcja f ma w punkcie x0ÎR maksimum lokalne, jeżeli
(6.1.2)
Definicja (Minimum lokalne właściwe funkcji)
Funkcja f ma w punkcie x0ÎR minimum lokalne właściwe, jeżeli
(6.1.3)
Definicja (Maksimum lokalne właściwe funkcji)
Funkcja f ma w punkcie x0ÎR maksimum lokalne właściwe, jeżeli
(6.1.4)
Uwaga:
Minima i maksima lokalne funkcji (właściwe i niewłaściwe) nazywamy ekstremami lokalnymi.
6.1 Ekstrema funkcji · Interpretacja geometryczna
Minimum lokalne funkcji
Maksimum lokalne funkcji
Minimum lokalne funkcji właściwe
Maksimum lokalne funkcji właściwe
Istnienie ekstremum funkcji (konieczność)
Twierdzenie Fermata[1]
(Warunek konieczny istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja f ma:
ekstremum lokalne w punkcie x0,
(6.1.5)
pochodną f¢(x0),
(6.1.6)
to f¢(x0) = 0.
(6.1.7)
Uwagi:
· Implikacja odwrotna jest fałszywa. Świadczy o tym przykład funkcji f(x)=x3 która spełnia w punkcie x0=0 warunek f¢(x0)=0 ale nie ma tam ekstremum lokalnego.
· Założenie istnienia pochodnej funkcji f jest istotne. Świadczy o tym przykład funkcji f(x)=|x| która w punkcie x0=0 ma minimum lokalne właściwe, ale f¢(x0) nie istnieje.
Twierdzenie (O lokalizacji ekstremów funkcji)
Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, w których jej pochodna równa się zero albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje.
· Interpretacja geometryczna tw. Fermata
Jeżeli funkcja ma ekstremum lokalne w punkcie oraz jeżeli w tym punkcie wykres funkcji ma styczną, to ta styczna jest pozioma.
Istnienie ekstremum funkcji (dostateczność)
Pierwszy warunek
Twierdzenie
(Pierwszy warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
f¢(x0) = 0
(6.1.8)
(6.1.9)
to w punkcie x0 ma maksimum lokalne właściwe.
(6.1.10)
(6.1.11)
(6.1.12)
to w punkcie x0 ma minimum lokalne właściwe.
(6.1.13)
· Zamiast założenia (6.1.8) lub (6.1.11) można przyjąć, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0.
· Zamiast założenia (6.1.9) lub (6.1.12) można przyjąć, że funkcja f jest rosnąca i malejąca odpowiednio na sąsiedztwach
Drugi warunek
(Drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum)
f¢(x0) = f²(x0) = … = f(n-1)(x0) = 0
(6.1.14)
f(n)(x0) < 0
(6.1.15)
n jest liczbą parzystą, gdzie n ³ 2,
(6.1.16)
(6.1.17)
(6.1.18)
f(n)(x0) > 0
(6.1.19)
(6.1.20)
krenciolex