6.4 Badanie funkcji - Podsumowanie
Warunki, które spełniają pochodne funkcji na przedziale lub w punkcie
Własności funkcji
Wykres funkcji
f¢
f²
f(3)
f¢(x)>0
f²(x)>0
rosnąca i wypukła
f²(x)<0
rosnąca i wklęsła
f¢(x)<0
f¢¢(x)>0
malejąca i wypukła
malejąca i wklęsła
f¢(x)=0
minimum lokalne właściwe
maksimum lokalne właściwe
f²(x)=0
f(3)(x)≠0
punkt przegięcia
6.4 Badanie funkcji – Schemat badania
I. Analiza funkcji f(x)
1. Dziedzina funkcji: D1
2. Granice na krańcach dziedziny D1
Wnioski: Asymptoty pionowe, poziome i ukośne
3. Miejsca zerowe funkcji i wartość f(0)
4. Własności: np. parzystość i nieparzystość, okresowość
Wnioski: Symetrie (osiowe i środkowa) wykresu funkcji
------------------------------------------------------------------------------------------
II. Analiza pierwszej pochodnej f¢(x)
1. Dziedzina pierwszej pochodnej: D2 Ì D1
2. Miejsca zerowe pierwszej pochodnej. Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji f(x) - (WKIE)
3. Zmiana znaku pierwszej pochodnej w otoczeniu jej miejsc zerowych. Pierwszy warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji f(x) - (1WDIE)
Wnioski: Monotoniczność i ekstrema funkcji f(x)
III. Analiza drugiej pochodnej f¢¢(x)
1. Dziedzina drugiej pochodnej: D3 Ì D2 Ì D1
2. Miejsca zerowe drugiej pochodnej. Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia wykresu funkcji f(x) (WKIPP)
3. Zmiana znaku drugiej pochodnej w otoczeniu jej miejsc zerowych. Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia wykresu funkcji f(x) - (WDIPP)
4. Znak drugiej pochodnej dla miejsc zerowych 1-szej. Drugi warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji f(x) – (2WDIE)
Wnioski: Istnienie punktu przegięcia i kształt wykresu
funkcji, ekstremum (o ile nie wyznaczono wcześniej)
IV. Tabela przebiegu zmienności funkcji f(x), np.
x
...
x1
0
x2
f(x)
rośnie
¥
maleje
f(x2)
f¢(x)
+
krenciolex