Matma notatki.docx

I. Potęgi

1) Potęga o wykładniku naturalnym
Definicja:
Potęgą liczby rzeczywistej a o wykładniku naturalnym nazywamy iloczyn czynników, z których każdy jest równy a, czyli:









Przykład:








Def. Na podstawie powyższych przykładów zauważamy, że potęga liczby dodatniej jest dodatnia. Natomiast znak potęgi ujemnej zależy od parzystości wykładnika. Potęga liczby ujemnej jest dodatnia, gdy wykładnik jest parzysty, natomiast jest ujemna, gdy wykładnik jest liczbą nieparzystą.

2) Działania na potęgach o wykładnikach naturalnych

 

3) Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym


 

II. Pierwiastki.




Przekształcenie wynikające z podpunktu pierwszego twierdzenia jest ważnym przekształceniem pierwiastków zwanym wyłączaniem czynnika przed pierwiastek.



Powyższe przykłady czytane w przeciwnym kierunku, tj. od strony prawej do lewej, ilustrują włączanie czynnika pod pierwiastek.




Ułamki, w których występują pierwiastki, doprowadzamy do takiej postaci, by pierwiastek nie występował w mianowniku. Zabieg taki określamy mianem usuwania niewymierności z mianownika.

 

III. Logarytmy.

Definicje i własności

Logarytmem dodatniej liczby b przy podstawie a jest wykładnik potęgi c, do której należy podnieść a, aby otrzymać b, co zapisujemy następująco:



Gdzie a - podstawa logarytmu, b - liczba logarytmowana, c - wynik logarytmowania.

Przy czym, spełnione muszą być warunki

Wyróżniamy też dwa szczególne logarytmy:
Logarytm dziesiętny, to logarytm o podstawie 10.

Logarytm naturalny, to logarytm o podstawie e.

(Liczba e jest granicą ciągu nieskończonego , gdy n dąży do nieskończoności i e ~ 2,72 <--- facet nam podał że e ~ 2,9182 i w końcu nie wiem, które jest prawdziwe - lepiej stosujmy to co podał facet - jakby jednak prawdziwa wersja była 2,72 to zawsze mamy dowód, że nam źle podał :} )

*Logarytm iloczynu:


*Logarytm ilorazu:


*Logarytm potęgi:


*Logarytm pierwiastka:
 

IV. Wartość bezwzględna (tzw. Moduły).






 

V. Ciąg Arytmetyczny




 

VI. Indukcja

Załóżmy, że mamy zbiór - wyobraźmy go sobie jako nieprzezroczyste pudełko - w którym znajdują się liczby naturalne. Nie jesteśmy pewni, ile ich jest, ani które konkretnie są w pudełku. Wiemy tylko, że na pewno jest w nim liczba 0. Ten, kto liczby do pudełka włożył, zdradził nam jeszcze, że przestrzegał pewnej zasady: wkładając każdą z liczb, zadbał, by włożyć też liczbę o 1 większą.
A zatem, stwierdzamy, musiał wraz z zerem włożyć liczbę 1. A skoro włożył 1, musiał też dorzucić dwójkę, razem z dwójką trójkę, co z kolei zmusiło go do włożenia liczby 4...wygląda na to, że nie mógł zatrzymać się w tej czynności! W pudełku są, jak się nam wydaje, wszystkie liczby naturalne. Domyśliliśmy się tego, nie wyciągając z pudełka żadnej konkretnej liczby, poza zerem.
Nasze domysły można sformułować w regułę, którą nazywa się zasadą indukcji matematycznej:

Jeżeli do pewnego zbioru należy liczba 0, a także wraz z każdą liczbą należy też liczba o 1 większa, to zbiór ten zawiera wszystkie liczby naturalne.

Indukcja jest pewną własnością liczb naturalnych, charakterystyczną dla właśnie tego zbioru. Nie tylko charakterystyczną - można (w dużym uproszczeniu) powiedzieć, że to właśnie zbiór liczb naturalnych matematycy definiują jako "najmniejszy zbiór zawierający 0 i domknięty na branie następnika" czyli właśnie "zbiór spełniający zasadę indukcji".
Bardzo często porównuje się ją do domina (czy ktoś jeszcze się tym bawi?) ustawianego w rządku: wiedząc, że każdy klocek domina przewraca następny, oraz, że ktoś przewrócił pierwszy klocek, możemy się spodziewać, że leżą już wszystkie, jak wiele by ich nie było.
Wróćmy na chwilę do naszego pudełka i zagrajmy jeszcze raz. Wiemy tylko, że wkładający przestrzegał swojej ulubionej zasady, tym razem jednak nie włożył do pudełka zera.
Sięgamy więc do środka...i wyciągamy liczbę 41. Co teraz możemy powiedzieć o zawartości?
Musi być w pudełku 42, a razem z nią 43, 44, 45 i tak dalej...Nie wyciągając już nic z pudełka, wiemy na pewno, że są w nim wszystkie liczby naturalne większe lub równe 41.
Zasada indukcji można więc sformułować tak:
Jeżeli do zbioru należy pewna ustalona liczba n0 , a także wraz z każdą liczbą należy też liczba o 1 większa, to zbiór ten zawiera wszystkie liczby naturalne większe lub równe n0.



Prowadzimy dowód indukcyjny ze względu na wielkość państwa.
Jeśli jest w nim tylko jedno miasto, oczywiście można z niego dojechać wszędzie - innych miejsc po prostu nie ma.
Zakładamy teraz, że stwierdzenie napisane wyżej jest prawdziwe dla wszystkich państw, które mają n miast. Będziemy usiłowali pokazać, że również dla państw trochę większych (z n+1 miastami) jest to prawda.
Jeśli mamy n+1 miast, możemy na chwilę zapomnieć o jednym z nich - niech nazywa się Zapomniane Miasto. Pozostanie n, tworząc chwilowo mniejsze państwo. W tym państwie musi, co założyliśmy, znaleźć się takie miasto, z którego można dojechać do pozostałych po wybudowanych drogach. Niech to będzie Stolica.
Teraz przypominamy sobie o Zapomnianym Mieście. Stolicę i Zapomniane Miasto łączy droga jednokierunkowa. Jeśli prowadzi ona od Stolicy do Zapomnianego, to ze Stolicy można dojechać wszędzie (do Zapomnianego jest bezpośrednia droga, a do innych gwarantuje nam wcześniejsze założenie). Jeśli ta droga prowadzi w drugą stronę, to z Zapomnianego można, przez Stolicę, dojechać do wszystkich pozostałych miast.
Dowiedliśmy więc, że jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla państw z n miastami, to dla takich z n+1 również, a także, że prawdziwe jest dla państw z jednym miastem.
Zasada indukcji mówi, że w takim przypadku twierdzenie prawdziwe jest dla państwa z każdą ilością miast, czyli po prostu dla każdego państwa.

VII. Funkcje (rodzaje).

Funkcja, operacja, przekształcenie - jedno z najważniejszych pojęć matematyki.
Początkowo funkcję rozumiano jako przyporządkowanie elementom jednego zbioru X elementów drugiego zbioru Y tak, że każdemu elementowi x∈X odpowiada dokładnie jedna wartość y∈Y.



Przedstawiony termin funkcji oznacza tylko takie przyporządkowanie, w którym zbiór argumentów i wartości były zbiorami liczbowymi. Istniało jednak wiele własności analitycznych funkcji, takich jak ciągłość, różniczkowalność itp., których to powyższa definicja nie "przewidywała". Wg tej definicji funkcję można było opisać przy pomocy tabelki wartości funkcji. Jednakże w matematyce istnieją funkcje, których nie można tak opisać. W związku z czym powstała konieczność sformułowania ogólnej, precyzyjnej definicji funkcji. Taką definicję podano na gruncie teorii mnogości.
Przez funkcję f odwzorowującą zbiór X w zbiorze Y rozumie się dowolny zbiór par uporządkowanych (x, y), gdzie x∈X i y∈Y (czyli relację X x Y) taki, że dla każdego elementu x∈X istnieje dokładnie jeden y∈Y, oznaczony symbolem f(x) taki, że (x, y)∈f.
Zbiór X nazywa się dziedziną funkcji f lub zbiorem argumentów funkcji f, oznacza się go przez D. Zbiór Y nazywa się przeciwdziedziną funkcji f. Zbiór Y0 zawierający się w Y złożony z tych elementów y∈Y, dla którego istnieje x∈X takie, że y=f(x), nazywa się zbiorem wartości funkcji. Zbiór wartości nie musi być identyczny z całą przeciwdziedziną.
Funkcję można przedstawić na kilka różnych sposobów:
1. Określając dziedzinę i podając wzór przyporządkowujący argumentom wartości funkcji, np. x∈R, f(x)=2x2+3x-4
2. W przypadku gdy dziedzina zawiera tylko skończoną liczbę argumentów - za pomocą tabelki, np. zestawienie zużycia energii elektrycznej w danym miesiącu.
3. Za pomocą wzoru niejednolitego, np.



4. Za pomocą omówienia słownego.

Aby daną funkcję podaną w postaci wzoru algebraicznego przedstawić przy pomocy ilustracji graficznej, należy zbadać przebieg zmienności funkcji:
1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji.
2. Określić przedziały ciągłości.
3. Wyznaczyć miejsca zerowe i przecięcia z osią Y.
4. Sprawdzić czy funkcja jest: parzysta, nieparzysta lub okresowa.
5. Obliczyć granice na końcach przedziałów.
6. Wyznaczyć jeśli istnieją asymptoty.
7. Przy pomocy pierwszej pochodnej wyznaczyć ekstrema i zbadać monotoniczność funkcji.
8. Przy pomocy drugiej pochodnej zbadać przegięcia funkcji.

1) Funkcja Liniowa

Funkcja liniowa jest to funkcja typu f(x)=ax+b gdzie a jest współczynnikiem kierunkowym funkcji, natomiast b jest wyrazem wolnym. Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Współczynnik kierunkowy funkcji jest równy tangensowi kąta nachylenia się wykresu funkcji do osi odciętych X (a=tgα). Natomiast wyraz wolny b jest to miejsce przecięcia się funkcji z osią Y. Miejsce zerowe funkcji liniowej wylicza się ze wzoru x0=-b/a. Wartość współczynnika kierunkowego można podzielić na trzy grupy:
1. Współczynnik a<0 - wtedy funkcja jest malejąca.
2. Współczynnik a=0 - wtedy funkcja nosi nazwę funkcji stałej i nie jest zależna od argumentów x.
3. Współczynnik a>0 - wtedy funkcja jest rosnąca.

Ponadto, gdy współczynnik kierunkowy jest liczbą z przedziału a∈(-1; 0) i a∈(0; 1) to funkcja jest bardziej nachylona do osi X niż w przypadku liczb a<-1 i a>1.



2) Funkcja Kwadratowa.

FUNKCJA KWADRATOWA (zwana trójmianem kwadratowym), jest to funkcja typu f(x)=a*x2+b*x+c - postać ogólna funkcji kwadratowej. Współczynniki a, b i c są konkretnymi liczbami, przy czym a<>0 (gdy jest równe zero to mamy funkcję liniową). Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Natomiast dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste. Aby obliczyć miejsca zerowa funkcji kwadratowej należy obliczyć najpierw tzw. wyróżnik funkcji kwadratowej oznaczany symbolem D (delta). Wyróżnik ten wyraża się wzorem D=b2-4*a*c. Teraz w zależności od znaku delty mamy konkretną liczbę pierwiastków (miejsc zerowych), mianowicie:

1. gdy D>0 (delta jest dodatnia) - są dwa miejsca zerowe wyrażone wzorami:


2.gdy D=0 (delta jest równa zero) - jest jedno miejsce zerowe wyrażone wzorem:


3. gdy D<0 (delta jest ujemna) - nie ma rozwiązań (brak miejsc zerowych).


Istnieją trzy postacie funkcji kwadratowej:

1. postać ogólna - f(x)=a*x2+b*x+c
2. postać kanoniczna - f(x)=a*(x-p)2+q gdzie p=-b/(2*a) i q=-D/(4*a) - w tej postaci mamy jawnie podane współrzędne wierzchołka paraboli W(p,q)
3. postać iloczynowa - f(x)=a*(x-x1)*(x-x2) - w tej postaci mamy jawnie podane miejsca zerowe funkcji kwadratowej; gdy funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (D<0) to nie istnieje postać iloczynowa

Od współczynnika a zależy w którą stronę skierowane są ramiona paraboli:

1. a>0 (dodatnie) - ramiona skierowane w górę, wierzchołek jest minimum funkcji.
2. a<0 (ujemne) - ramiona skierowane w dół, wierzchołek jest maksimum funkcji.


Gdy funkcja kwadratowa posiada dwa pierwiastki x1 i x2 to prawdziwe są następujące wzory Viete'a:

1. Suma pierwiastków - x1+x2=-b/a
2. Iloczyn pierwiastków - x1*x2=c/a

Wykresy funkcji kwadratowej w zależności od parametru a i wyróżnika D:






3) Funkcja Wykładnicza

FUNKCJA WYKŁADNICZA, określona jest wzorem f(x)=ax. Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Określona liczba a zwana podstawą funkcji wykładniczej jest liczbą dodatnią (a>0). Przeciwdziedzina (wartości funkcji) zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich.
Wartość podstawy funkcji wykładniczej można podzielić na trzy przedziały:

...