nowy egzamin gimnazjalny z matematyki 2011_2012.pdf

M ATEM ATYKA

Matematyka występuje jako przedmiot egzaminacyjny na sprawdzianie w szkole podstawo

wej, na egzaminie gimnazjalnym i na maturze. W gimnazjum sprawdza się, w jakim stopniu

gimnazjalista spełnia wymagania z zakresu matematyki określone w podstawie programowej

kształcenia ogólnego dla III etapu edukacyjnego. Poszczególne zadania zestawu egzamina

cyjnego mogą też – w myśl zasady kumulatywności przyjętej w podstawie – odnosić się do

wymagań przypisanych do etapów wcześniejszych (I i II).

Podstawa programowa dzieli wymagania na szczegółowe i ogólne. Wymagania szczegółowe

nie są, jak to bywało w przeszłości, hasłami odnoszącymi się do całościowych obszarów wie

dzy, lecz odwołują się do ściśle określonych wiadomości i konkretnych umiejętności. Wyma

gania ogólne, jako syntetyczne ujęcie nadrzędnych celów kształcenia, stanowiące odpowiedź

na pytanie, po co uczymy matematyki, informują, jak rozumieć podporządkowane im wyma

gania szczegółowe. Sposób spełniania wymagań szczegółowych jest wartościowy tylko wte

dy, gdy przybliża osiągnięcie celów zawartych w wymaganiach ogólnych.

Zadania z matematyki mogą mieć formę zamkniętą lub otwartą. W porównaniu z dotychcza

sowym egzaminem gimnazjalnym w nowym zestawie egzaminacyjnym z matematyki mniej

będzie zadań sprawdzających znajomość algorytmów i umiejętność posługiwania się nimi

w typowych zastosowaniach, więcej natomiast – zadań sprawdzających rozumienie pojęć ma

tematycznych oraz umiejętności dobierania własnych strategii matematycznych do nietypo

wych warunków.

W informatorze dla każdego zadania podano najważniejsze wymagania ogólne i szczegółowe,

do których to zadanie się odnosi, oraz zamieszczono rozwiązanie. Ocena rozwiązania zadania

otwartego zależy od tego, jak daleko dotarł rozwiązujący w drodze do całkowitego rozwiąza

nia. Wyróżnia się siedem poziomów rozwiązania.

Poziom 6 : pełne rozwiązanie

Poziom 5 : zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale dalsza część roz

wiązania zawiera usterki (błędy rachunkowe, niedokonanie wyboru właściwych rozwiązań

itp.)

Poziom 4 : zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale rozwiązanie nie

zostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera poważne błędy merytoryczne

Poziom 3 : zasadnicze trudności zadania zostały pokonane, ale w trakcie ich pokonywania

popełniono błędy

Poziom 2 : dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały poko

nane

Poziom 1 : dokonano niewielkiego, ale koniecznego postępu na drodze do całkowitego

rozwiązania

Poziom 0 : rozwiązanie niestanowiące postępu

Przy ocenianiu rozwiązań niektórych zadań wykorzystuje się wszystkie poziomy, a przy oce

nianiu innych – tylko część z nich.

Zadania w informatorze nie wyczerpują wszystkich typów zadań, które mogą wystąpić w ze

stawie egzaminacyjnym. Nie ilustrują również wszystkich wymagań z matematyki w podsta

wie programowej. Dlatego informator nie może być jedyną ani nawet główną wskazówką do

planowania procesu kształcenia w szkole. Tylko realizacja wszystkich wymagań z podstawy

programowej może zapewnić wszechstronne wykształcenie matematyczne gimnazjalistów.

Informator o egzaminie gimnazjalnym

Przykładowe zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1

Liczbę 2 10 = 1024 możemy przybliżyć tak: 2 10 ≈ 1000, a liczbę 3 9 = 19 683 tak: 3 9 ≈ 20 000.

To pozwala przybliżać inne liczby, na przykład 2 13 = 2 3 2 10 ≈ 8 1000 = 8000.

Wykorzystując podane przybliżenia liczb 2 10 oraz 3 9 , wybierz najlepsze przybliżenie

liczb 3 10 , 2 20 oraz 6 9 .

Potęga

Propozycje przybliżeń

3 10

A. 30 000

B. 60 000

200 000

2 20

A. 2000

B. 4000

1 000 000

6 9

A. 15 000

B. 40 000

10 000 000

Wymagania ogólne

II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji.

Uczeń używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretuje pojęcia mate

matyczne i operuje obiektami matematycznymi.

Wymagania szczegółowe

3.2. Uczeń zapisuje w postaci jednej potęgi: iloczyny i ilorazy potęg o takich samych podsta

wach, iloczyny i ilorazy potęg o takich samych wykładnikach oraz potęgę potęgi (przy wy

kładnikach naturalnych).

Rozwiązanie

kolejno B, C, C

Zadanie 2

VAT to podatek doliczany do cen towarów i usług. Cena powiększona o doliczony podatek

VAT nazywana jest ceną brutto. W pewnym sklepie stawka VAT na wszystkie towary wynosi

22%.

Jeśli znamy cenę brutto towaru z tego sklepu, to aby obliczyć jego cenę bez podatku,

wystarczy

I. od ceny brutto odjąć jej 22%

¨ TAK ¨ NIE

II. podzielić cenę brutto przez 1,22

¨ TAK ¨ NIE

IV. pomnożyć cenę brutto przez 100 i wynik podzielić przez 122

¨ TAK ¨ NIE

V. podzielić cenę brutto przez 0,78

¨ TAK ¨ NIE

Wymagania ogólne

II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji.

Uczeń używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretuje pojęcia mate

matyczne i operuje obiektami matematycznymi.

Wymagania szczegółowe

5.4. Uczeń stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście prak

tycznym [...] .

Rozwiązanie

kolejno: NIE, TAK, NIE, TAK, NIE

III. obliczyć 78% ceny brutto

¨ TAK ¨ NIE

Matematyka

Zadanie 3

Uczestnicy turnieju szachowego rozgrywali partie według zasady „każdy z każdym”.

Uzupełnij tabelę.

Liczba uczestników turnieju

Liczba wszystkich partii

rozegranych przez jednego

uczestnika

Liczba wszystkich partii

rozegranych w turnieju

n −1

Wymagania ogólne

III. Modelowanie matematyczne.

Uczeń [...] buduje model matematyczny danej sytuacji.

V. Rozumowanie i argumentacja.

Uczeń prowadzi proste rozumowania [...] .

Wymagania szczegółowe

6.1. Uczeń opisuje za pomocą wyrażenia algebraicznego związki między różnymi wielkościami.

Rozwiązanie

uzupełnienie czterech brakujących liczb: dla 5 uczestników 10, dla 10 uczestników 9, dla 21

uczestników 210, dla n uczestników

(

−

Zadanie 4

Wyobraź sobie, że układasz rzędami guziki żółte (ż) i białe (b) według reguły przedstawionej na

schemacie:

1. rząd ż

2. rząd b ż b

3. rząd ż b ż b ż

4. rząd b ż b ż b ż b

5. rząd ż b ż b ż b ż b ż

6. rząd b ż b ż b ż b ż b ż b

7. rząd . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W kolejnym rzędzie najpierw układasz guziki tak, jak w poprzednim rzędzie, a potem dokła

dasz na obu końcach po jednym guziku, dbając o to, by sąsiednie guziki w rzędzie różniły się

kolorami.

Informator o egzaminie gimnazjalnym

Uzupełnij zdania.

A. W 6. rzędzie jest . . . . . . guzików, w tym . . . . . . białych i . . . . . . żółtych.

B. W 7. rzędzie będzie . . . . . . guzików, w tym . . . . . . białych i . . . . . . żółtych.

C. W 100. rzędzie będzie . . . . . . białych i . . . . . . żółtych guzików.

D. W 101. rzędzie będzie . . . . . . białych i . . . . . . żółtych guzików.

E. Jeśli n jest liczbą parzystą, to w rzędzie o numerze n będzie . . . . . . białych

i . . . . . . żółtych guzików.

Wymagania ogólne

III. Modelowanie matematyczne.

Uczeń [...] buduje model matematyczny danej sytuacji.

V. Rozumowanie i argumentacja .

Uczeń prowadzi proste rozumowania [...] .

Wymagania szczegółowe

2.7. (szkoła podstawowa) Uczeń rozpoznaje liczby naturalne podzielne przez 2.

6.1. Uczeń opisuje za pomocą wyrażeń algebraicznych związki między różnymi wielkościami.

Rozwiązanie

kolejno: A. 11, 6, 5; B. 13, 6, 7; C. 100, 99; D. 100, 101; E. n , n − 1

Zadanie 5

Kod dostępu do komputera Andrzeja złożony jest z czterech kolejnych wielokrotności

liczby 7 ustawionych od najmniejszej do największej. Suma tych wielokrotności wynosi

294. Znajdź liczby, z których złożony jest ten kod. Zapisz swoje rozumowanie.

Wymagania ogólne

IV. Tworzenie i użycie strategii.

Uczeń stosuje strategię jasno wynikającą z treści zadania, tworzy strategię rozwiązania pro

blemu.

V. Rozumowanie i argumentacja.

Uczeń prowadzi proste rozumowania, podaje argumenty uzasadniające poprawność rozumo

wania.

Wymagania szczegółowe

1.7. Uczeń stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do rozwiązywania problemów w kon

tekście praktycznym.

Przykładowe sposoby rozwiązania

I sposób

Suma czterech liczb użytych do utworzenia kodu wynosi 294, czyli średnia tych liczb to

294 : 4 = 73,5. Ponieważ są to kolejne wielokrotności liczby 7, to różnice między kolejnymi

liczbami są równe 7, przy czym pierwsze dwie z tych liczb są mniejsze niż średnia, a ostatnie

dwie większe niż średnia. W szczególności liczba druga i trzecia są o tyle samo oddalone od

średniej. A zatem druga liczba jest o 3,5 mniejsza od średniej, a trzecia liczba jest o 3,5 więk

sza od średniej, czyli:

druga liczba: 73,5 – 3,5 = 70

trzecia liczba: 73,5 + 3,5 = 77.

Żeby obliczyć liczby pierwszą i czwartą, należy odpowiednio od drugiej odjąć 7, a do trzeciej

dodać 7, czyli:

pierwsza liczba: 70 – 7 = 63

Matematyka

czwarta liczba: 77 + 7 = 84.

Zatem poszukiwane liczby to 63, 70, 77, 84.

Poziom wykonania

Przy tym sposobie zasadnicza trudność zadania została pokonana, gdy uczeń zauważył zwią

zek między średnią arytmetyczną szukanych liczb a drugą lub trzecią z tych liczb i obliczył

jedną z tych liczb (70 lub 77).

II sposób

Ponieważ liczby, z których utworzono kod, są kolejnymi wielokrotnościami liczby 7, to:

druga liczba jest o 7 większa niż pierwsza,

trzecia liczba jest o 14 większa niż pierwsza,

czwarta liczba jest o 21 większa niż pierwsza.

Jeśli od drugiej liczby odjąć 7, od trzeciej odjąć 14, a od czwartej odjąć 21, to wszystkie trzy

otrzymane liczby byłyby takie same jak pierwsza. Suma tych czterech równych liczb byłaby

mniejsza od sumy początkowych liczb o 7 + 14 + 21 = 42, czyli wynosiłaby 294 – 42 = 252.

Ponieważ wszystkie cztery liczby były takie same, to każda z nich jest równa 252 : 4 = 63.

A zatem pierwsza liczba, z której utworzony jest kod, to 63, druga to 63 + 7 = 70, trzecia to

70 + 7 = 77, czwarta to 77 + 7 = 84.

Poziom wykonania

Przy tym sposobie zasadnicza trudność zadania została pokonana, gdy uczeń zauważył, że po

zmniejszeniu drugiej liczby o 7, trzeciej o 14, czwartej o 21 otrzyma liczby równe pierwszej

szukanej liczbie, i znalazł tę liczbę (63).

III sposób

Ponieważ szukane liczby są kolejnymi wielokrotnościami liczby 7, to:

druga liczba jest o 7 większa niż pierwsza

trzecia liczba jest o 14 większa niż pierwsza

czwarta liczba jest o 21 większa niż pierwsza,

czyli

x – pierwsza liczba

x + 7 – druga liczba

x + 14 – trzecia liczba

x + 21 – czwarta liczba.

Suma tych czterech liczb jest równa 294, czyli:

x + ( x +7) + ( x + 14) + ( x + 21) = 294

4 x + 42 = 294

4 x = 252

x = 63.

Zatem

pierwsza liczba jest równa 63

druga: 63 + 7 = 70

trzecia: 63 + 14 = 77

czwarta: 63 + 21 = 84.

Szukane liczby to: 63, 70, 77, 84.

Poziom wykonania

Przy tym sposobie zasadnicza trudność zadania została pokonana, gdy uczeń ułożył i rozwią

zał równanie i otrzymał jedną z szukanych liczb (pierwszą 63 lub drugą 70, lub trzecią 77, lub

czwartą 84).

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: