intro11.pdf
(
125 KB
)
Pobierz
381442625 UNPDF
WSTE¸PDOMATEMATYKI
Lista11
1.
Sprawdzi¢,korzystaj¡czdefinicji,czynast¦puj¡cegraniceistniej¡:
x
!
0
x
cos
1
x
lim
,
lim
x
!
0
x
1
x
,
lim
x
!
0
x
a
b
x
,a,b>
0
2
p
x
+
1
−
3
p
cos
(
2
cos(
x
)
)
lim
x
!
0
[
x
]
x
,
lim
x
!
0
2
−
x
,
lim
x
!
+
1
x
x
3
+1
.
x
!
0
a
x
=1,gdzie
a>
0.Udowodni¢,»ewynikast¸adci¸agło±¢funkcjiwykładniczej.
3.
Obliczy¢nast¸epuj¸acegranice:
(
x
+5)
3
−
125
x
,
lim
x
!
8
x
!
0
x
2
h
1
|
x
|
i
lim
x
!
0
sin
8
x
,
lim
8
−
x
1+2+3+
···
+
,
x
!
0
+
x
1
x
+
2
x
+
···
+
k
x
,k
2
N
,
lim
x
!
0
lim
2
x
−
arctg
x
,
lim
1
−
cos
x
x
2
,
2
−
x
)tg
x,
lim
x
!1
2
3
)
x
tg2
−
x
,
lim
x
!1
x
ln
1+
x
2
x
!
0
−
ln
x
2
,
lim
x
!
2
x
2
+1
x
2
−
1
h
(
x
+1)
2
x
2
+1
i
x
2
,
lim
lim
x
!1
)
x
2
,
lim
x
!1
x
!
0
(1+sin
x
))
1
)
,
e
x
2
−
e
lim
x
!
0
2
x
,
lim
x
!
1
x
2
−
1
,
lim
x
!1
x
2
1
x
−
1
e
x
2
−
cos
x
lim
x
!
1
2(
x
−
1)
,
lim
x
!
0
3
x
−
3
x
2
,
lim
x
!
0
e
sin2
x
−
e
sin
x
x
,
sin(2
x
)+2
arctg
(3
x
)+3
x
2
ln(1+3
x
+sin
2
(
x
))+
xe
x
,
p
1
−
e
−
x
−
p
1
−
cos(
x
)
p
sin(
x
)
,
lim
ln(1+
x
)
x
,
lim
x
!
0
log(1
−
x
)
x
,
lim
x
!
0
lim
x
!
0
+
x
!1
(ln(
x
))
1
x
,
lim
x
!
0
+
x
sin(
x
)
,
4.
Rozwa»myfunkcj¸e
f
:(
−
a,a
)
\{
0
}!
R.Wtedy
x
!
0
f
(
x
)=
g
()
lim
x
!
0
f
(tg(
x
))=
g
.Czyt¸eimplikacj¸emo»nazast¸api¢równowa»no±ci¸a?
5.
Niech
f
:(
−
a,a
)
\{
0
}!
(0
,
+
1
).Wykaza¢,»eje±lilim
x
!
0
f
(
x
)+
1
|
f
(
x
)
|
=0,wyznaczy¢lim
f
(
x
)+
1
f
(
x
)
=2,tolim
x
!
0
f
(
x
)=1
.
Je±lilim
x
!
0
x
!
0
f
(
x
)
.
6.
Niech
f
:R
!
Rb¸edziefunkcj¸amonotoniczn¸a,dlaktórej lim
x
!1
f
(2
x
)
f
(
x
)
=1.Udowodni¢,»e
lim
x
!1
f
(
cx
)
f
(
x
)
=1dlaka»dego
c>
0.
7.
Niechfunkcja
f
:[0
,
1
]
!
Rspełniawarunek:(
8
a
0)lim
n
!1
f
(
a
+
n
)=0.Czywynikast¸ad,»e
x
!1
f
(
x
)?
Zadanie8.
Dlajakichwarto±ciparametrów
a
,
b
2
Rfunkcje
8
<
ax
+1 dla
x
¬
2
2+e
1
x
dla
x<
0
b
dla
x
=0
left
[
.
2
cm
]
sin
ax
f
(
x
)=
sin
x
+
b
dla
x>
2
,
g
(
x
)=
:
x
dla
x>
0
s¸aci¸agłe?
9.
Wyznaczy¢zbiórpunktówci¸agło±cifunkcji:
8
<
0 dla
x
2
R
\
Qlub
x
=0
,
1
8
<
|
x
|
dla
x
2
R
\
Qlub
x
=0
,
1
f
1
(
x
)=
q
dla
x
=
p
q
,
gdzie
p
2
Z
,q
2
N
\{
0
}
i
p
,
q
s¸awzgl¸edniepierwsze.
f
2
(
x
)=
q
dla
x
=
p
q
,
gdzie
p
2
Z
,q
2
N
\{
0
}
i
p
,
q
s¸awzgl¸edniepierwsze.
:
:
10.
Wykaza¢,»ezci¸agło±cifunkcji
f
:
D
f
!
Rwynikaci¸agło±¢funkcji
|
f
|
.Poda¢kontrprzykład
±wiadcz¸acyotym,»eimplikacjaprzeciwnaniejestprawdziwa.
11.
Poda¢przykładfunkcjiograniczonejnaodcinku[0
,
1],którana»adnymprzedziale[
a,b
]
[0
,
1]
nieosi¸agaswojegokresudolnego.
12.
Niech
f
2
C
([
a,b
]).Pokaza¢,»efunkcje
m
(
x
)=inf
{
f
(
):
2
[
a,x
]
}
oraz
M
(
x
)=sup
{
f
(
):
2
[
x,b
]
}
s¸aci¸agłe.
2.
Wykaza¢,»elim
2
x
−
arcsin
x
sin
x
,
3
2
x
−
1
lim
x
!
0
lim
istniejegranicalim
ZADANIEDOMOWE
Lista11
x
!
0
ln(
x
+1)=0.Udowodni¢,»ewynikast¸adci¸agło±¢funkcjilogarytmicznej.
2.
Obliczy¢nast¸epuj¸acegranice:
lim
x
!
2
1
x
−
2
−
3
)
,
lim
x
!
1
x
2
−
2
x
+1
x
3
−
x
,
lim
h
!
0
(
x
+
h
)
3
−
x
3
h
,
lim
h
!
0
p
x
+
h
−
p
x
h
,x>
0
,
8
−
x
3
1
lim
x
!
4
cos2
x
,
lim
x
!
0
sin
x
−
1
)
,
lim
x
!
0
sin3
x
,
lim
!
0
sin(
)
n
(sin
)
m
,n,m
2
N
,
tg
x
1+
x
2
ctg(
x
)
,
lim
p
x
arcsin
1
p
x
,
lim
x
!
0
lim
x
!1
ln(cos(
x
))
tg(
x
2
)
,
lim
x
!
0
x
!
0
(cos(
x
))
1
sin
2
(
x
)
,
1+arcsin
x
2
)
1
x
2
,
lim
x
!
0
1+tg
2
p
x
)
1
2
x
,
lim
x
!1
p
x
+1
−
p
x
lim
x
!
0
p
arctg
1
x
,
lim
a
x
−
1
x
(
a>
0)
,
h
x
!
0
p
1
−
x
−
1
e
3
x
−
e
2
x
e
x
−
e
−
x
lim
x
!
0
x
,
lim
x
!1
(
x
+2)e
1
x
−
x
]
,
lim
x
!
0
sin
x
,
lim
x
!
1
e
sin(
x
−
1)
,
(1+
x
)
a
−
1
x
,a>
0
,
lim
x
!
0
ln(
a
+
x
)
−
ln
a
x
,
lim
x
!
0
ln(2+
x
)
−
ln2
3
x
,
lim
x
!
a
log
a
x
−
1
x
−
a
,
lim
x
!
0
tg
x
2
x
+1
1
x
,
lim
x
!1
x
!
0
+
(sin(
x
))
1
lim
ln(
x
)
,
lim
x
!1
(
e
x
−
1)
1
x
,
lim
x
k
,a>
1
,k>
0
.
x
!1
3.
Rozwa»myfunkcj¸e
f
:(
−
a,a
)
\{
0
}!
R.Wtedy
x
!
0
f
(
x
)=
g
=
)
lim
x
!
0
f
(
|
x
|
)=
g
.Czyt¸eimplikacj¸emo»nazast¸api¢równowa»no±ci¸a?
4.
Zakładamy,»e
f
jestfunkcj¸aograniczon¸anaprzedziale[0
,
1]ispełniaj¸ac¸anast¸epuj¸acywarunek:
f
(
ax
)=
bf
(
x
).Pokaza¢,»elim
x
!
0
+
f
(
x
)=
f
(0).
Zadanie5.
Niechfunkcja
f
:(
−
1
,
1)
\{
0
}!
Rspełniawaruneklim
x
!
0
f
(2
x
)
−
f
(
x
)
x
=lim
x
!
0
f
(
x
)=0.
Wykaza¢,»elim
x
!
0
f
(
x
)
x
=0.
6.
Zbada¢ci¸agło±¢funkcji:
f
(
x
)=
cos
x
2
dla
|
x
|¬
1
|
x
−
1
|
dla
|
x
|
>
1
,
g
(
x
)=
arctg
sin
x
|
x
|
dla
x
6
=0
4
dla
x
=0
.
7.
Wyznaczy¢punktynieci¸agło±cifunkcji
f
(
x
)=
2
1
x
−
1
2
1
x
+1
, g
(
x
)=
1
−
cos2
x
x
2
i
h
(
x
)=
1
x
ln
1+
x
1
−
x
orazzbada¢ichcharakter.Je»elinieci¸agło±¢jestusuwalna,zdefiniowa¢takfunkcje,abybyłyoneci¸agłe.
8.
Wyznaczy¢zbiórpunktówci¸agło±cifunkcji:
f
1
(
x
)=
0 dla
x
2
R
\
Q
,
sin(
|
x
|
) dla
x
2
Q
.
f
2
(
x
)=
x
2
−
1dla
x
2
R
\
Q
,
0 dla
x
2
Q
.
9.
Dla
k
2
Nrozwa»myfunkcje
f
k
:R
−!
Rtakie,»e
f
k
(
x
)=
x
k
·
sin
1
x
dlax
6
=0
0
dlax
=0
.
x
!
0
f
0
(
x
)
6
=0.
Nast¸epniepokaza¢,»efunkcje
f
k
dla
k
6
=0s¸aci¸agłewpunkcie
x
0
=0,tzn.»elim
x
!
0
f
k
(
x
)=0.
10.
Pokaza¢,»efunkcja
f
(
x
)=
x
2
sin(
x
),
x
2
R,jestci¸agła.
11.
Poda¢przykładfunkcjiograniczonejnaodcinku[0
,
1],któranieosi¸agaaniswojegokresudolnego
anigórnego.
12.
Niech
f,g
2
C
([
a,b
]).Pokaza¢,»efunkcje
h
(
x
)=min
{
f
(
x
)
,g
(
x
)
}
i
H
(
x
)=max
{
f
(
x
)
,g
(
x
)
}
s¸a
równie»ci¸agłenaodcinku[
a,b
].
1.
Wykaza¢,»elim
cos
x
−
sin
x
sin2
x
a
x
lim
(
9
a,b>
1)
8
x
2
0
,
1
a
Pokaza¢,»efunkcja
f
0
niejestci¸agławpunkcie
x
=0,tzn.»elim
Plik z chomika:
Jaszczomp
Inne pliki z tego folderu:
intro1.pdf
(93 KB)
intro10.pdf
(80 KB)
intro11.pdf
(125 KB)
intro2.pdf
(78 KB)
intro3.pdf
(88 KB)
Inne foldery tego chomika:
inne
PG
PP
PW
PWJSTK
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin