cw008.pdf

(217 KB) Pobierz
cw8/15.10.
Ćwiczenie 8
WYZNACZANIE
WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY
NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA
Cel ćwiczenia: Badanie ruchu ciał spadających w ośrodku ciekłym,
wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa,
wyznaczanie zależności współczynnika lepkości cieczy od temperatury
za pomocą wiskozymetru Höpplera.
Zagadnienia: Zjawisko lepkości cieczy. Laminarny i turbulentny ruch
cieczy, prawo Stokesa, równanie ruchu kulki w cieczy lepkiej i jego
rozwiązanie.
8.1. Wprowadzenie
Lepkością lub tarciem wewnętrznym nazywamy zjawisko występowania
sił stycznych przeciwstawiających się przemieszczeniu jednych części ciała
względem innych jego części. Zjawisko to powstaje na skutek ruchów
cieplnych cząsteczek oraz sił międzycząsteczkowych. W wyniku działania
siły tarcia wewnętrznego występującego między warstwami cieczy,
poruszająca się warstwa pociąga za sobą warstwy sąsiadujące z nią
z prędkością tym bardziej zbliżoną do prędkości własnej, im ciecz jest
bardziej lepka. Analogicznie - spoczywająca warstwa cieczy hamuje
sąsiadujące z nią poruszające się warstwy.
Zewzględu na to, że wszystkie rzeczywiste ciecze są lepkie, zjawisko
lepkości odgrywa istotną rolę podczas przepływu cieczy oraz podczas ruchu
ciała stałego w ośrodku ciekłym.
1
G = .
Przepływ płynu nazywany ustalonym lub stacjonarnym jeżeli prędkość
cieczy w każdym punkcie obszaru zajętego przez ciecz nie zmienia się
w czasie, czyli v nie zależy od t .
Przepływ nazywamy laminarnym lub warstwowym w przypadku, gdy
strumień stanowi zespół warstw przemieszczających się jedna względem
drugiej bez mieszania. Przy małych prędkościach przepływ cieczy przez
rurę gładką jest przepływem laminarnym - warstwowym (prędkość w
każdym punkcie jest jednoznacznie określona) - rys. 8.1.
Gdyprędkość maksymalna przepływu cieczy przekroczy pewną wartość
krytyczną, charakterystyczną dla
danej cieczy - ruch przestaje być
laminarny. Następuje mieszanie
różnych warstw cieczy w wyniku
tworzących się wirów. Prędkość
przestaje być określoną funkcją
współrzędnych położenia. Ruch
taki nazywamy turbulentnym -
wirowym.
Płyn, w którym nie występuje
tarcie wewnętrzne między warstwami cieczy lub można je zaniedbać,
nazywamy płynem doskonałym.
v
f
( t
,
)
Rys. 8.1. Rozkład prędkości cieczy w rurze o
przekroju kołowym; 2 R - średnica rury
Prawo empiryczne określające siłę oddziaływania występującą między
dwiema warstwami cieczy (ruch laminarny) podał Newton. Można je
wyrazić wzorem
F t
= .
dv
(8.1)
dx
2
Podstawową metodą opisu ruchu płynu w hydrodynamice jest metoda
Eulera, polegająca na podaniu zależności wartości wektora v prędkości
przepływu płynu w różnych punktach przestrzeni, od współrzędnych tych
punktów i czasu -
G
r
η
S
27164763.002.png
Siła , jaką wywierają na siebie nawzajem dwie sąsiadujące ze sobą
warstwy płynu, jest proporcjonalna do iloczynu ich powierzchni styku S
i gradientu prędkości dv/dx (rys. 8.1). Współczynnik proporcjonalności
η
nazywamy współczynnikiem lepkości. Jednostka współczynnika lepkości
ma w układzie SI wymiar
η .
=
sN
m
2
Współczynnik lepkości ośrodka zależy od temperatury T . Dla cieczy słuszna
jest w przybliżeniu zależność
η ,
Ce
b
/
T
(8.2)
gdzie: C, b - stałe charakteryzujące ciecz.
Zjawiskolepkości, podobnie jak dyfuzja i przewodnictwo cieplne, należy
do grupy zjawisk obejmowanych wspólną nazwę zjawisk transportu.
W zjawiskach lepkości, dzięki ruchom cieplnym cząsteczek cieczy, mamy
do czynienia z transportem pędu między warstwami poruszającymi się z
różną prędkością. Ten właśnie transport sprzyja wyrównywaniu się
prędkości w całym strumieniu przepływającej cieczy.
Prawo Stokesa
Ciało stałe, poruszające się w ośrodku ciekłym, napotyka na opór.
Mechanizm tego zjawiska jest następujący: warstwa cieczy przylegająca do
powierzchni poruszającego się ciała, wprawia w ruch pozostałe warstwy
cieczy. Tak więc istotną rolę odgrywa tu lepkość cieczy. Wypadkowa siła
oporu działa przeciwnie do kierunku ruchu ciała. Doświadczalnie
stwierdzono, że dla małych prędkości siła oporu F jest wprost
proporcjonalna do prędkości v , zależy od charakterystycznego wymiaru
liniowego ciała l oraz od współczynnika lepkości cieczy
t
η.
Równanie określające siłę oporu ma postać
3
F t
[]
F t
−= ,
α l
v
(8.3)
α
Dla kuli o promieniu r ( l = ) współczynnik α π
= 6 i równanie (8.3)
przechodzi w tzw. prawo Stokesa
F t
=
−
π r
v
.
(8.4)
Rozpatrzmy ruch małej kulki o promieniu r , spadającej swobodnie
w cieczy lepkiej. Na kulkę działają siły:
- ciężar kulki
P
m ρ
g
=
V
g
−=
- siła oporu wynikająca z ruchu
ρ ′
F t
=
−
π r
v
,
przy czym:
V
=
4
π
3
- objętość kulki, ρ - gęstość materiału kulki,
3
ρ
Siła wypadkowa F , działająca na ciało wynosi
- gęstość cieczy.
F
=
P
+
W
+
F
(8.5)
i jest ona siłą malejącą. Przyczyną takiego stanu jest zwiększanie się
prędkości kulki i w konsekwencji wzrost wartości siły . Przyspieszenie
ciała maleje zatem w czasie, a prędkość dąży do wartości granicznej,
odpowiadającej stanowi
F t
F = 0.
Równanie ruchu kulki ma postać
m
d
υ
=
ρ
Vg
−
ρ
′
Vg
−
6
π
r
ηυ
.
(8.6)
dt
Rozwiązaniem tego równania różniczkowego (przy założeniu, że w chwili
) jest funkcja
0
v
t
0
=
υ
= 1
A −
(
−
e
Bt
)
,
B
gdzie:
A
=
Vg
( ρ ′
−
)
,
B
= 6
π
r
η
.
(8.7)
m
m
4
gdzie: - stała zależna od kształtu ciała.
= ,
- siła wyporu Archimedesa W ,
0 = t () 0
27164763.003.png 27164763.004.png
 
Prędkość graniczna (prędkość stała)
υ
=
lim υ
(
t
)
=
A
(8.8)
g
t
→
B
ściśle zatem kulka osiąga prędkość graniczną po czasie nieskończenie
długim. W rzeczywistości jednak już po niedługim czasie ruch można z
dobrym przybliżeniem uważać za jednostajny. Ażeby pokazać rząd tego
przybliżenia, obliczmy po jakim czasie ruchu prędkość cząstki v będzie
się różniła od prędkości granicznej vg nie więcej niż o
t 1
ε v g . Błąd względny
wyznaczania
v g
ε
=
υ
g
−
υ
=
e −
Bt
1
.
.
υ
g
Stąd
2
r
2
ρ
ln
1
1
1
ε
t
1
=
ln
=
.
.
B
ε
9
η
Widzimy więc, że czas konieczny do zbliżenia się do stanu określonego
przez ε może być zmniejszony przez użycie małej (małe r ) i lekkiej
(małe ρ) kulki. Podstawiając we wzorze (8.8) określającym ruch
jednostajny stałe A i B , otrzymujemy
( ) .
9
2
r
2
g
ρ
−
ρ
′
η
=
,
(8.9)
υ
g
Korzystając z tego wzoru wyznaczamy współczynnik lepkości cieczy.
Zauważmy jeszcze, że wzór (8.9) jest ściśle słuszny tylko dla obszaru
nieograniczonego cieczy. Jeżeli badana ciecz znajduje się w naczyniu, to
należy uwzględnić działania ścianek na ruch kulki. Dla warstwy cieczy
o wysokości H , znajdującej się w naczyniu cylindrycznym o promieniu R ,
jeśli kulka porusza się wzdłuż osi cylindra, otrzymujemy wzór
5
27164763.001.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin