PARAMETRY STATYSTYCZNE.docx

PARAMETRY STATYSTYCZNE - to wielkości liczbowe, które służą do opisu struktury zbiorowości statystycznej w sposób systematyczny

Zadania parametrów statystycznych

n       Określenie przeciętnego rozmiaru i rozmieszczenia wartości zmiennej- za pośrednictwem miar położenia

n       Określenie granic obszaru zmienności wartości zmiennej- za pośrednictwem miar zmienności

n       Określenie skupienia i spłaszczenia (w stosunku do krzywej normalnej) oraz stopnia zmiany od idealnej asymetrii- za pośrednictwem miar asymetrii i koncentracji

MIARY POŁOŻENIA

n       MIARY POZYCYJNE

n       MIARY PRZECIĘTNE

MIARY POZYCYJNE

n       modalna

n       kwartyl pierwszy

n       mediana (kwartyl drugi)

n       kwartyl trzeci

n       decyle

MIARY PRZECIĘTNE

n       średnia arytmetyczna

n       średnia harmoniczna

n       średnia geometryczna

n       inne

Miary przeciętne - charakteryzują średni lub typowy poziom wartości cechy, wokół których skupiają się wszystkie pozostałe wartości analizowanej cechy

ŚREDNIĄ ARYTMETYCZNĄ

n       definiuje się jako sumę wartości cechy mierzalnej podzieloną przez liczbę jednostek skończonej zbiorowości statystycznej. 

ŚREDNIA NIEWAŻNA STOSOWANA DLA SZEREGÓW SZCZEGÓŁOWYCH

gdzie:

n - liczebność zbiorowości próbnej (próby),

xi - wariant cechy

Dwóch pracowników wykonuje detale tego samego typu. Przeprowadzono obserwację czasu wykonania pięciu detali przez robotnika A i dziesięciu detali przez robotnika B i otrzymano następujące szeregi szczegółowe opisujące czas wykonania detalu:
dla robotnika A: 12, 15, 15, 18, 20
dla robotnika B: 10, 10, 12, 12, 15, 15, 18, 20, 21, 21

n      

Korzystając z wzoru na obliczenie średniej :

W pewnym doświadczeniu medycznym bada się czas snu pacjentów leczonych na pewną chorobę. Zmierzono u n=12 losowo wybranych pacjentów czas snu
i otrzymano następujące wyniki
(w minutach): 435,389,533,324,561,395,416,500,499,397,356,398.
Należy obliczyć średni czas snu:

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA WAŻONA- wyznacza się w szeregach rozdzielczych punktowych i w szeregach rozdzielczych z przedziałami klasowymi

SZEREG ROZDZIELCZY PUNKTOWY

SZEREG ROZDDZIELCZY Z PRZEDZIAŁAMI KLASOWYMI

Ćwiczenie

n       Dziesięć osób czekających przed gabinetami lekarskimi w przychodni zapytano, ile razy korzystały z porad lekarskich w ciągu ubiegłego roku kalendarzowego. Uzyskane informacje przedstawiono w postaci następującego szeregu rozdzielczego

Oblicz ile razy w roku przeciętnie korzystały z porad lekarza badane osoby?

Jeżeli znamy średnie arytmetyczne dla pewnych
r-grup i na tej podstawie chcemy wyznaczy średnią arytmetyczną dla wszystkich grup łącznie wykorzystujemy wówczas następujący wzór:

Korzystając z powyższego wzoru możemy obliczy średni czas wykonania detalu przez robotnika A i B. Obliczona w ten sposób średnia nazywa się średnią ważona, wyznaczona na podstawie
średnich cząstkowych :

Wybrane właściwości średniej arytmetycznej 

n       suma wartości cechy jest równa iloczynowi średniej i liczebności zbiorowości:

lub dla szeregu rozdzielczego

n       średnia arytmetyczna spełnia warunek:

n       suma odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej równa się zero

n       Suma kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej jest minimalna

Lub

n       średnia arytmetyczna jest wrażliwa na skrajne wartości cechy, a więc np. na wartości cechy jednostek przypadkowo włączonych do próby

n       średniej arytmetycznej nie można obliczać w szeregach, w których udział liczebności (częstości) w przedziałach klasowych otwartych jest duży, do określenia przeciętnego poziomu zjawiska stosuje się wówczas parametry pozycyjne.

n       średnia arytmetyczna z próby, przy zachowaniu warunków że próba jest reprezentacyjna jest dobrym przybliżeniem wartości przeciętnej.

n          Średnia  arytmetyczna  jest miarą prawidłową jedynie w    odniesieniu     do    zbiorowości     jednorodnych, o   niewielkim   zróżnicowaniu   wartości    zmiennej. Średniej   tej   nie   należy   stosować   w    przypadku rozkładów  skrajnie   asymetrycznych,   bimodalnych i  wielomodalnych. 

ŚREDNIĄ HARMONICZNĄ

n       stosuje się wtedy, gdy wartości cechy są podane w przeliczeniu na stałą jednostkę  innej zmiennej, czyli w postaci wskaźników natężenia, np. prędkość pojazdu w km/h ; pracochłonność w szt/min. ; gęstość zaludnienia w osobach / km2 .

n       Średnia  harmoniczna  jest   odwrotnością   średniej arytmetycznej z odwrotności   wartości zmiennych. W przypadku        szeregów szczegółowych (wyliczających)   średnią   harmoniczną   liczy   się ze  wzoru:

n      

   Dla   szeregów    rozdzielczych     przedziałowych  średnią harmoniczną liczy się następująco:

ŚREDNIĄ GEOMETRYCZNĄ

n      

stosuje się w badaniach średniego tempa zmian zjawisk, a więc gdy zjawiska są ujmowane dynamicznie.

Przykład:

n       Z danych o ludności pewnego miasta wynika, że w trzech kolejnych okresach liczba ludności wynosiła odpowiednio : 5000, 7500, 8250. Obliczmy średni przyrost względny ludności:

n       Wartości cechy (współczynniki względne) w tym zadaniu będą następujące:

Zgodnie z wzorem na obliczenie średniej geometrycznej średni przyrost ludności w trzech kolejnych latach wynosił

MODALNA Mo (dominanta D, moda, wartość najczęstsza)

n       jest to wartość cechy statystycznej, która w danym rozdziale empirycznym występuje najczęściej

n       Dla szeregów szczegółowych oraz szeregów rozdzielczych punktowych modalna odpowiada wartości cechy o największej liczebności (częstości).

n       W szeregach rozdzielczych z przedziałami klasowymi bezpośrednio można określić tylko przedział, w którym modalna występuje, jej przybliżoną wartość wyznacza się graficznie z histogramu liczebności (częstości)

gdzie:

n       m - numer przedziału (klasy), w którym występuje modalna,

n       X0m              dolna granica przedziału, w którym występuje modalna,

n       nm - liczebność przedziału modalnej, tzn. klasy o numerze m,

n       nm-1; nm+1 - liczebność klas poprzedzającej i następnej, o numerach m – 1 i             m + 1,

n       hm - rozpiętość przedziału klasowego, w którym występuje modalna

KWANTYLE

n       definiuje się jako wartości cechy badanej zbiorowości, przedstawionej w postaci szeregu statystycznego, które dzielą zbiorowość na określone części. Pod względem liczby jednostek, części te pozostają do siebie w określonych proporcjach.

KWARTYL DRUGI – MEDIANA Me

n       dzieli zbiorowość na dwie równe części; połowa jednostek ma wartości cechy mniejsze lub równe medianie, a połowa wartości cechy równe lub większe od Me; stąd nazwa wartość środkowa

MEDIANA – SZEREG SZCZEGÓŁOWY

Przykład:

n       wiek kobiet przyjętych w październiku 1999 na oddział położniczy z przyczyn nagłych można przedstawić w postaci następującego szeregu statystycznego:

18, 57, 34, 32, 29, 31, 19, 19, 27, 26, 26, 22, 23, 26,  26, 34, 26,

n       Teraz należy ten szereg uporządkować:

18, 19, 19, 22, 23, 26, 26, 26, 26, 26,27, 29, 31, 32, 34, 34, 57.

n       Szereg ten składa się z 17 wartości zmiennych. Wartością środkową – medianą- w tym przypadku będzie wartość znajdująca się na pozycji 9, czyli   Me =26

Przykład:

n       Weźmy pod uwagę tym razem wiek kobiet przyjętych w październiku 1999 roku na oddział położniczy w sposób zaplanowany.

n       Po uporządkowaniu szereg opisujący wiek tych kobiet przedstawia się następująco: 19,21,22,28,28,29

n       Jak widać tym razem mamy 6 przypadków, czyli ilość parzystą. Wartościami środkowymi będą wielkości z pozycji 3 i 4 , czyli 22 i 28. Medianą zatem będzie średnia arytmetyczna z tych dwóch liczb, czyli 25.

n                W      przypadku       szeregu      rozdzielczego przedziałowego  medianę   wyznacza  się  metodą graficzną lub rachunkową. W metodzie graficznej wykorzystuje   się...