Andrzej Wiśniewski - Wybrane modalne rachunki zdań Ujęcie aksjomatyczne.pdf - Logika - abi77

Andrzej Wiśniewski

Logika II

Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

rok akademicki 2007/2008

Wykłady 9 i 10a. Wybrane modalne rachunki zdań.

Ujęcie aksjomatyczne

Język aletycznych modalnych rachunków zdań

Przedstawimy tutaj pewne modalne logiki zdań poprzez konstrukcje odpo-

wiednich modalnych rachunków zdań. Rachunki te będą miały postać syste-

mów aksjomatycznych .

Aletyczne modalne rachunki zdań (dalej krótko: modalne rachunki

zdań, jeszcze krócej: MRZ ) budujemy w języku, który jest rozszerze-

niem języka Klasycznego Rachunku Zdań.

Do alfabetu KRZ dodajemy dwa nowe spójniki/operatory modalne:

□ („ jest konieczne, że ”)

◊ („ jest możliwe, że ”)

otrzymując w ten sposób alfabet języka MRZ .

Wyrażeniem języka MRZ jest każdy skończony ciąg elementów al-

fabetu języka MRZ .

"Sensownie zbudowane” wyrażenia języka MRZ to oczywiście

formuły tego języka.

Pojęcie formuły języka MRZ definiujemy następująco:

Język aletycznych modalnych rachunków zdań

Definicja 9.1.

( i ) Każda zmienna zdaniowa jest formułą języka MRZ .

( ii ) Jeżeli A jest formułą języka MRZ, to wyrażenia mające postać : ¬ A ,

◊ A , □ A są formułami języka MRZ .

( iii ) Jeżeli A, B są formułami języka MRZ, to wyrażenia mające postać :

( A → B ), ( A ∧ B ), ( A ∨ B ), ( A ↔ B ) są formułami języka MRZ.

( iv ) Nie ma żadnych innych formuł języka MRZ poza zmiennymi zda-

niowymi oraz tymi, które można utworzyć na mocy reguł ( ii ) oraz ( iii )

podanych wyżej .

Notacja: Podobnie jak w przypadku KRZ , liter A , B , C , ..., ewentualnie z indek-

sami, używamy jako metajęzykowych zmiennych reprezentujących formuły ję-

zyka MRZ . Zamiast p 1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 będę pisał p , q , r , s , t . Reguły dotyczące

opuszczania nawiasów są podobne do tych z KRZ ; operatory modalne ◊ , □

zachowują się z tego punktu widzenia podobnie jak negacja ¬ .

Aksjomaty rachunkowozdaniowe

Każdy z interesujących nas tu modalnych rachunków zdań posiada

aksjomaty rachunkowozdaniowe oraz aksjomaty specyficzne .

Definicja 9.3. Aksjomat rachunkowozdaniowy to formuła języka MRZ po-

wstająca z tautologii KRZ poprzez konsekwentne zastąpienie (występu-

jących w tej tautologii) zmiennych zdaniowych formułami języka MRZ.

Zauważmy, że każda tautologia KRZ jest aksjomatem rachunkowozdanio-

wym. Jednakże nie jest na odwrót. Przykładowo, formuła:

□ p ∧ □ q → □ p

jest aksjomatem rachunkowozdaniowym, ale nie jest tautologią KRZ (z tego

powodu, że nie jest ona w ogóle formułą języka KRZ !). Podobnie formuła:

□ p ∧ q → □ p

etc .

Notacja : Zbiór wszystkich aksjomatów rachunkowozdaniowych modalnego ra-

chunku zdań oznaczymy symbolem PC (od Propositional Calculus , tj. Rachunek

Zdań). Zamiast „aksjomat rachunkowozdaniowy” będę dalej pisał „ PC -

aksjomat”.

Aksjomaty rachunkowozdaniowe

Dygresja 9.1. Z uwagi na pełność KRZ, w definicji PC -aksjomatów moglibyśmy

równie dobrze użyć pojęcia tezy KRZ zamiast pojęcia tautologii KRZ . Wówczas

pojęcie PC -aksjomatu stałoby się czysto syntaktyczne – as it should be . Przyję-

te rozwiązanie jest jednak po prostu wygodniejsze. Możemy je przyjąć dlatego,

że dysponujemy efektywną metodą rozstrzygania, co jest tautologią KRZ – a od

aksjomatyki wymaga się głównie tego, aby istniała efektywna metoda rozstrzy-

gania, czy coś jest aksjomatem, czy też nim nie jest.

Dygresja 9.2. Czasami charakteryzuje się aksjomaty rachunkowozdaniowe (mo-

dalnego rachunku zdań) jeszcze inaczej:

(a) poprzez przyjęcie, że są nimi wszystkie aksjomaty wybranego systemu

aksjomatycznego KRZ (a systemów aksjomatycznych KRZ – pełnych , bo o ta-

kich tu mowa – jest, jak pamiętamy, wiele) lub

(b) poprzez przyjęcie, że PC -aksjomatami są wszystkie formuły języka MRZ

o schematach wyznaczonych przez aksjomaty danego systemu aksjomatycz-

nego KRZ .

Jakkolwiek postąpimy, końcowy efekt będzie jednak ten sam :)

Andrzej Wiśniewski - Wybrane modalne rachunki zdań Ujęcie aksjomatyczne.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: