CalkiOznaczone.pdf

Analiza matematyczna, całki oznaczone 1/36

Całki oznaczone

Poniższy rozdział będzie dosyć rozwarty, z dużą ilością przykładów. Temat, z którym się

dzisiaj zmierzymy, jest raczej mało ciekawy, eksperci powiedzą, że „cholernie nudnawy”. Nie ma w

nim nic „zaskakującego”, jedyne, co trzeba nowego wiedzieć do tego działu, to trudną i zdradziecką

operację odejmowania, albo czasem dodawania. Oczywiście – główną waszą zaletą, która w 90%

załatwia sprawę, ma być możliwość liczenia całek nieoznaczonych.

Pamiętacie doskonale ze szkoły średniej, że matma potrafi być tam strasznie interesująca.

Potrafiliście obliczyć deltę z funkcji kwadratowej, ale już wyzwaniem jest zadanie typu „Mam

nasiona konopi indyjskiej – tyle, ile trzeba, by spokojnie handlować i olać studia. Mam ze 10

metrów siatki. Jak zrobić taką prostokątną działeczkę, by miała ona jak największe pole?”, gdzie

zabawa również sprowadza się do funkcji kwadratowej.

Mówiąc inaczej, pierdolimy się z jebanymi deltami, wzorami, funkcjami

trygonometrycznymi (patrz pan, robotnicy zbudowali częstochowską Galerię Jurajską, a wątpię, by

któryś z nich korzystał z jakichś sinusów) czy wzorami redukcyjnymi. Ale ni chuja nie potrafimy

tego przenieść do rzeczywistości, do dupy, a nie do życia jest ta matma.

Całki oznaczone są takim fajnym bajerem, który może i mało się analizuje w matmie. Ale

akurat zastosowanie ma ogromne, niemal we wszystkich dziedzinach techniki. Mogę się założyć o

swoje zęby (wypadną mi niebawem z powodu nadużywania coca-coli), że pierwszy lepszy

wykładowca z elektroniki czy fizyki już pieprzy całkami, mimo że kompletnie nie wie, że tego się

w szkołach (już) nie uczy.

Ale my się nauczymy... no, chociaż spróbujemy. Poniżej minimalny spis treści:

Przypomnienie o całkach, co to całka oznaczona

Całki oznaczone – obliczanie przed podstawienie

Dzielenie obszarów całkowania

Zamiana zmiennych niezależnych

Przykłady z kolokwiów i egzaminów

I umawiamy się tak – przy logarytmie nie piszę wartości bezwzględnych. Pisze zamiennie

oś y , oś Oy , oś OY itp . Nie jestem matematykiem, tylko kiepskim studentem, z niepełną na pewno

wiedzą, więc błędów w zapisie jest więcej niż w ustawie o wychowaniu w trzeźwości. I ogólnie –

nie traktować tego jako podręcznik, tylko ewentualną, ostateczną pomoc, jak nic inne nie pomoże.

Autor: vbx

Analiza matematyczna, całki oznaczone 2/36

Przypomnienie, co to jest

Przypominania nigdy za wiele, więc przypomnijmy, co w ogóle nazwaliśmy tak dziwnie

„całką nieoznaczoną”.

Jak mamy sobie ulubiony przeze mnie logarytm:

y =ln x 

to ja se z niego walnę pochodną (choćby z tablic):

y ' = 1

Odwrotną operacją od „walnę pochodną” jest „walnę całkę”, bądź bardziej sztywniarsko – obliczę

całkę nieoznaczoną:

∫ x dx =...

Przypomnijmy – ten „wężyk” to symbol całki, potem

, czyli to, co rąbiemy, a na końcu dx ,

co oznacza „ x jest se zmienną, po której ja se tutaj całkuję” i właściwie, służy ino do dekoracji.

No dobra, obliczamy:

∫ x dx =ln x ...

(przypominam – w tablicach wynikiem jest wprawdzie ln∣ x ∣ , ale ja ten moduł pomijam dla

czystości zapisu, więc jak kogoś to razi – niech sobie domaluje długopisem czy mazakiem na

monitorze)

Pamiętamy, że do tego dodajemy liczbę (pochodną z takiej czystej i niewinnej liczby jest zero),

którą zwiemy „stałą całkowania” i oznaczamy jako C :

∫ x dx =ln x  C

I już, po krzyku. Ale typowy student już zakrzyknie „kurwa, chcę się napić, a nie uczyć się

jakiś beznadziejnych całek, po chuja mi to?”

Wynik może i jest ładny, ale właściwie, nie wiadomo, co on oznacza (dlatego pewno „całka

nieoznaczona”). Obliczyliśmy jakąś funkcję, z którą ładnie można se pochodne liczyć, ale przyda

nam się to po coś?

Popatrzmy na rysunek, stworzony za pomocą specjalistycznego, komputerowego programu

do obliczeń, takiego, jakiego używają w NASA:

Autor: vbx

Analiza matematyczna, całki oznaczone 3/36

Mamy se układ współrzędnych, mamy se jakiś kawałek funkcji liniowej (ta taka kreska na

ukos), zaznaczyłem jakieś tam dwie liczby, no i wzorek tej funkcji.

Ja się teraz pytam „kurturalnie” - ile wynosi o to, szare pole:

Rewelacyjny rysunek, musicie sami przyznać, a obliczycie bardzo, bardzo prosto. Otóż

możemy sobie zauważyć, że będzie se to trójkąt, o jednym boku równym 2, o drugim równym a i

też 2. Ponieważ jest to trójkąt prostokątny, więc już krzyczymy „Yes, yes, yes”:

P = 2∗2

2 =2

Prosto, do cholery. Ale ja zrobię ulubioną rzecz przez wykładowców, czyli „zagmatwam

sposób rozwiązania”.

Ktoś se kiedyś, pewno jakiś Newton czy Reimann, odkrył, że:

pole pod wykresem funkcji =...= F  b − F  a  *

Ale nam to wyjaśniło, normalnie, kurwa, brawo, i jeszcze jakieś kropki (zaraz się nimi zajmiemy).

Najpierw, czym jest b i a : są to skrajne argumenty, b – prawy, a – lewy. Pojedźcie stronę wyżej. W

tym przykładzie b będzie się równać 2 (bo pole ogranicza x = 2 z prawej strony), zaś a = 0 (z lewej

ogranicza go x = 0).

Wiemy, że:

∫ f  x  dx = F  x  C

mówiąc inaczej – całka „wypluwa” nam jakąś funkcję razem z C.

Autor: vbx

Analiza matematyczna, całki oznaczone 4/36

Więc to nasze F  b  będzie równe:

∫ f  x = F  x  C =(podstawiamy za x - b) F  b 

F (x) to jest po prostu jakiś

wzorek, funkcja, gdzieś tam

będzie gołe x , za które po

prostu podstawimy b .

Podobnie F  a  . Cały problem, całe działanie F  b − F  a  możemy zapisać w ładnej i

eleganckiej formie, którą zwiemy całką oznaczoną :

∫ a

f  x  dx

Jezu, ale namotałem. Postaram się odmotać przez rozwiązanie przykładu (a potem

prosiłbym o przeczytanie raz jeszcze tego, co napisałem).

Linia, która ogranicza to szare pole z góry, to wykres takiej funkcji:

f  x = x

Widzimy dodatkowo, że z lewej strony to pole jest ograniczone przez:

x =0

Zaś z prawej:

x =2

Skoro znamy „namiary” na linie, które ograniczają nam ten szary obszar, to obliczymy se teraz

całkę:

∫ f  x  dx = ∫ x dx = x 2

2  C

x 2

to jest nasze F  x  („scałkowana” funkcja, która ogranicza nasze pole od góry; brak

stałej C zara wyjaśnimy).

Po raz kolejny – z lewej strony ogranicza x =0 , zaś z prawej: x =2 , więc:

pole pod wykresem funkcji =...= F to, co ogranicza z prawej− F to, co ogranicza z lewej

więc obliczmy:

F 2− F 0=[ x 2

2 ] 0 = 2 2

2 = 4

2 =2

Właściwie, są to zapisy równoważne – te dwie liczby po prawej stronie

nawiasu kwadratowego oznaczają „podstaw to, co siedzi na górze, wylicz, podstaw to, co na dole,

wylicz, odejmij”.

Autor: vbx

2 − 0 2

Analiza matematyczna, całki oznaczone 5/36

Czy wynik, liczba 2 czegoś nie przypomina? Obliczyliśmy po raz pierwszy całkę

oznaczoną . Jeżeli zbyt zamotałem i nic już nie wiecie, to obliczymy raz jeszcze, korzystając z

zapisu:

∫ a

f  x  dx

Korzystając z danych w zadaniu:

∫ 0

x dx

(nad wężykiem zawsze powinna być liczba większa od tej pod wężykiem)

Całkując:

x dx =[ x 2

∫ 0

2 ] 0

całkujemy

2 ] 0 =2−0=2

co już wcześniej wyliczyliśmy i co jest polem zakreślonego obszaru.

Idziemy dalej:

[ x 2

Zauważmy, że tutaj nie ma sensu mieszać w to stałej całkowania C , bo nawet jak, to:

∫ 0

x dx =[ x 2

2  C ] 0 =2 C −0 C =2 C − C =2

Żadnych korzyści, a pomylić się jest łatwiej, o wiele łatwiej.

Autor: vbx

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: