111

9

OCENA DOKŁADNOŚCI WYNIKÓW POMIARÓW

I OPRACOWAŃ GEODEZYJNYCH

9.1. PODSTAWY TEORETYCZNE

              Do praktycznych problemów pomiarowych należy ocena wiarygodności wyznaczonych wielkości. Teoretyczne aspekty tego problemu są przedmiotem rozważań  specjalnego działu geodezji - teorii błędów opartej na rachunku prawdopodobieństwa oraz statystyce matematycznej.

              We wszystkich pomiarach, nie tylko geodezyjnych, występują trzy rodzaje błędów:

·      grube,

·      systematyczne,

·      przypadkowe.

Grube są wynikiem pomyłek. Przy pomiarze odległości, kąta lub różnicy wysokości może to być np. źle odczytana wartość lub pomyłka w zapisie. Dla wykrycia błędu grubego wykonuje się różnego rodzaju kontrole. Najprostszym sposobem jest powtórzenie pomiaru. Innym jest sprawdzenie warunku zamknięcia w ciągach poligonowych i niwelacyjnych.

              Źródłem błędów systematycznych jest nieprawidłowe działanie przyrządu pomiarowego. Z typowych przykładów błędów systematycznych można wymienić błąd kolimacji, indeksu a w niwelacji nierównoległość osi celowej do osi libelli. Staranne wykonanie czynności pomiarowych takich jak celowanie, odczytywanie a nawet wielokrotne powtarzanie całego pomiaru nie wykrywa ani nie eliminuje wpływu błędów systematycznych. Wpływ błędów systematycznych można jednak wykryć i wyeliminować stosując odpowiedni sposób pomiaru. W przypadku pomiaru kąta poziomego czy pionowego wystarczy go wykonać w dwóch położeniach lunety, co całkowicie eliminuje wpływ błędu indeksu i kolimacji. Podobnie ustawienie niwelatora w środku pomiędzy łatami całkowicie eliminuje wpływ błędu libelli niwelacyjnej czy urządzenia samopoziomującego.

              W teorii błędów przedmiotem rozważań są błędy przypadkowe, a tym samym obserwacje, które nie są obarczone wpływem błędów grubych i systematycznych. Podstawę rozważań stanowi założenie, że mierzone wielkości są zmiennymi losowymi, a krzywa gęstości określająca rozkład błędów ma postać rozkładu normalnego

                                                                                       (9.1)

              We wzorze (9.1) poza zmienną x występują dwa parametry: wartość przeciętna x0 oraz odchylenie standardowe s. Wartość przeciętna uzyskana jest z  n pomiarów

                                                                                                                    (9.2)

Odchylenie standardowe s jest miarą dyspersji czyli rozproszenia wyników. Jest oczywiste, że z dwóch pomiarów większe zaufanie mamy do tego, w którym rozproszenie, a tym samym odchylenie standardowe jest mniejsze. Odchylenie standardowe wyznacza się wzorem

                                                                                                  (9.3)

                                                                                                  (9.4)

W teorii statystyki matematycznej istnieje dowód na to, że przy mniejszej liczbie obserwacji należy stosować wzór (9.4). Dotyczy to pomiarów geodezyjnych w których liczba obserwacji jest z reguły znikoma, rzadko przekracza trzy. Przy kilkunastu obserwacjach różnica pomiędzy dwoma wzorami jest już niezauważalna.

              Wykresem funkcji zapisanej wzorem (9.1) jest krzywa gęstości rozkładu normalnego. NA krzywej tej można zilustrować geometryczne znaczenie poszczególnych wielkości, a w szczególności odchylenia standardowego – rys. 9.1.

Rys. 8.1. Krzywa gęstości rozkładu normalnego

Krzywa gęstości rozkładu normalnego ma kilka cech ważnych z praktycznego punktu widzenia:

·      wartość przeciętna jest wartością najbardziej prawdopodobną,

·      punkt x=s jest punktem przegięcia,

·      przedział á-s,+sñ obejmuje 67% wartości,

·      a przedział dwukrotnie większy á-2s,+2sñ już 95%.

              Za pomocą odchylenia standardowego charakteryzuje się także dokładność przyrządów. Jeśli - przykładowo - dokładność dalmierza określona jest jako s=0.005m to znaczy, że na sześć wykonanych pomiarów dwa wyniki mogą różnić się od wartości przeciętnej więcej niż 5mm (na plus lub minus), ale praktycznie wszystkie powinny się zmieścić w przedziale á-10mm,+10mmñ.

              Prawo przenoszenia błędów. Wszystkie pomiary – a geodezyjne w szczególności -dzielą się na bezpośrednie i pośrednie. Sposób oceny dokładności wyników różni się w obu tych przypadkach. Wzory (9.2) i (9.4) dotyczą przypadku, gdy przedmiotem rozważań jest wielkość bezpośrednio obserwowana. Inaczej jest w przypadku pomiaru pośredniego, gdy szukana wielkość F wyznaczana jest na podstawie pomierzonych elementów np.  a,b,c.

F = f(a,b,c,...}

Określeniem cech parametrów rozkładu powstałego jako kompozycja wielu zmiennych zajmuje się dział rachunku prawdopodobieństwa traktujący o rozkładach wielowymiarowych. Jeżeli zmienne a,b,c mają charakter losowy i są niezależne, a każda ze zmiennych ma rozkład normalny, to ich funkcja - wielkość F jest zmienną o rozkładzie normalnym. Wartość przeciętną określa zależność F=f(a,b,c,...}, odchylenie standardowe wzór

W teorii błędów powyższą zależność określa się jako prawo przenoszenia błędów.

Prawo przenoszenia błędów można wykorzystać dla określenia odchylenia standardowego średniej arytmetycznej. Zauważmy bowiem, że wartość średnia może być traktowana jako funkcja zmiennych, którymi są poszczególne obserwacje l1, l2, .. Wartość przeciętna jest wyznaczana z n pomiarów z zależności

Odchylenie standardowe sL  zmiennej losowej l0  zgodnie z formułą (8.5) wyniesie

Jeśli przyjąć, że dokładność każdego pomiaru jest taka sama

to                                                                                                            (8.6)

8.2. PRZYKŁADY OBLICZANIA BŁĘDÓW

              Przykład 1. Odcinek  l pomierzono czterokrotnie, uzyskano następujące wyniki:

                            l1 = 145.22;    l2 = 145.24;    l3 = 145.21;    l4 = 145.21

Wartość przeciętna l0 oraz odchylenie standardowe zmiennej l (każdego pomiaru) sl

                                      l0 = 145.22                     

Odchylenie standardowe wartości średniej:

W rachunku prawdopodobieństwa i statystyce matematycznej odpowiedź końcową najlepiej formułować w postaci przedziału ufności

Powyższa nierówność określa granice przedziału ufności oraz prawdopodobieństwo jej wystąpienia. Prawdopodobieństwo 95% odpowiada podwójnej wartości błędu standardowego. Stąd dolną granicę w powyższej nierówności wyznaczono przez odjęcie od wartości średniej podwójnej wartości błędu standardowego, górną granicę przez dodanie. W geodezji podawana jest na ogół wartość pojedynczej wartości odchylenia standardowego w postaci

l0 = 145.220 ± 0.007

pozostawiając użytkownikowi interpretację granic przedziału.

              Przykład 2. Określić błąd wyznaczenia różnicy Dh w niwelacji geometrycznej, jeśli dokładność odczytu na łacie określa odchylenie standardowe s=±1mm.

              Przykład 3. Określić błąd pomiaru kąta poziomego wyznaczonego w dwóch położeniach lunety (w jednej serii), jeśli dokładność odczytu wynosi  s.

                                                       ,

Uwzględniając, że  

                                           oraz   

stąd                                                

Odchylenie standardowe kąta poziomego wyznaczonego w jednej serii równa się dokładności odczytu.

              Przykład 4. Określić dokładność pomiaru powierzchni prostokąta o bokach a,b.

a

b

Z otrzymanej zależności wynika, że przy pomiarze powierzchni większą uwagę należy zwrócić na pomiar odległości krótszej (a), bowiem jej odchylenie standardowe jest mnożone przez dłuższy bok (b).

              Przykład 5. Wyznaczyć dokładność pomiaru spadku (I) przewodu kanalizacyjnego na odcinku o długości l przy zadanej różnicy wysokości punktów końcowych (Dh)

Spadek wyznacza się  ze wzoru:

gdzie Dh  jest różnicą wysokości pomiędzy punktami A i B. Błąd standardowy spadku zgodnie z prawem przenoszenia błędów określa formuła:

              We wszystkich powyższych przykładach niezbędne jest określenie odchyleń standardowych obserwowanych wielkości. Jeśli pomiar był wykonany kilkakrotnie to wartość tę można obliczyć jak w przypadku wyznaczania błędu standardowego wartości przeciętnej. W innych przypadkach wartość tę trzeba przyjąć arbitralnie. Podstawę może stanowić porównywalny materiał doświadczalny, dane o instrumencie lub – co w praktyce często  zdarza się - własne doświadczenie.