rozwiÄ…zania.pdf

(100 KB) Pobierz
Zadanie 1
Dokładność oszacowania średniej nazywamy błędem standardowym (SE od standard error) i
wyliczamy ze wzoru:
SE = σ
√ n
gdzie:
• n oznacza liczbę elementów próbki,
• σ oznacza odchylenie standardowe obliczone z próbki.
Musimy więc znaleźć takie n, aby SE było równe 1% średniej. Musimy więc obliczyć średnią i σ.
Aby obliczyć średnią i odchylenie standardowe tworzymy następującą tabelkę:
x i
x i -x
(x i -x)²
10,1
-0,15
0,02
9
-1,25
1,56
11,3
1,05
1,1
10,7
0,45
0,2
11,4
1,15
1,32
8,7
-1,55
2,4
11
0,75
0,56
9,8
-0,45
0,2
82
7,36
- W pierwszej kolumnie wpisujemy nasze dane, sumujemy tę kolumnę (dostajemy sumę 82) i
dzielimy przez liczbę naszych danych 82:8=10,25 i to jest nasza średnia:
̄ x = 10,25.
- W drugiej kolumnie od każdej liczby z pierwszej kolumny odejmujemy wyliczoną przed chwilą
średnią. Np. w pierwszym wierszu mamy 10,1-10,25=-0,15, a w drugim 9-10,25=-1,25.
- W ostatniej kolumnie podnosimy do kwadratu kolumnę drugą. Np. w pierwszym wierszu
mamy -0,15 do kwadratu, czyli 0,02, a w drugim -1,25 do kwadratu, czyli 1,56. Tą kolumnę
sumujemy (dostajemy sumę 7,36) i dzielimy przez liczbę o jeden mniejszą niż liczba naszych
danych: 7,36:7=1,05 a na koniec wyciągamy pierwiastek i to jest nasze odchylenie
standardowe:
σ= √ 1,05 = 1,02.
Chcemy więc, żeby SE było równe 1% średniej, czyli 1%·10,25=0,1025. Wstawiamy więc
wszystko do wzoru:
0,1025 = 1, 0 2
√ n
√ n = 1,02
0,1025
√ n = 9,95
n =( 9,95 ) 2
n = 99
A więc potrzeba 99 próbek. Czyli trzeba do 8 próbek, które już mamy dobrać 91. Skoro są one
klasy 70-80 mm, to można przyjąć, że są one kulami o średnicy 70-80 mm (czyli promieniu
35-40 mm). Korzystając ze wzoru na objętość kuli:
V = 4
3 π r 3
793903059.040.png 793903059.041.png 793903059.042.png 793903059.043.png 793903059.001.png 793903059.002.png 793903059.003.png 793903059.004.png 793903059.005.png 793903059.006.png 793903059.007.png 793903059.008.png 793903059.009.png 793903059.010.png 793903059.011.png 793903059.012.png 793903059.013.png 793903059.014.png 793903059.015.png 793903059.016.png 793903059.017.png 793903059.018.png 793903059.019.png 793903059.020.png
 
i biorąc maksymalny promień 40 mm. Dostajemy, że każda próbka ma objętość
V = 4
3 π( 40 ) 3 = 4
3 ⋅ 3,14 ⋅ 64000 = 268000mm 3 = 268cm 3
91 próbek będzie miało więc objętość 91·268=24388 cm³=0,024388 m³. Skoro gęstość to
1450g/m³, to masa tych 91 próbek to 1450·0,024388 =35,36 g.
Zadanie 2
Test serii zaczynamy od uszeregowania wyników z obu zakładów od najmniejszego do
największego. Ważne jest żeby wiedzieć, który wynik jest z którego zakładu, dlatego użyję
kolorów. Czerwone liczby to zakład I, a zielone to zakład II.
10,8 11,9 11,9 12,1 12,8 12,9 13,1 13,3 13,8 14,5 14,7 15,1 15,3 16,0 16,2 17,0
Serią nazywamy ciąg wyników tego samego typu (tutaj: z tego samego zakładu). Czyli
pierwszą serię tworzą liczby 10,8, 11,9 i 11,9. Druga seria to tylko liczba 12,1, trzecia to 12,8
itd.
W teście serii zliczamy liczbę serii i porównujemy ją z wartością krytyczną. Jeśli liczba serii jest
mniejsza od wartości krytycznej, to odrzucamy hipotezę, że oba zakłady produkują takie same
koncentraty. A jeśli liczba serii jest wyższa od wartości krytycznej, to nie ma podstaw by taką
hipotezę odrzucić.
U nas liczba serii to 10. Wartość krytyczną odczytujemy z tabeli wartości krytycznych
(zamieszczam ją w oddzielnym pliku). Wybieramy tam tabelę dla a =0,05, bo w zadaniu mamy
poziom istotności 0,05. n 1 i n 2 oznaczają zaś liczności naszych próbek. U nas n 1 =7 (bo tyle
mamy wyników z zakładu I), a n 2 =9 (tyle jest wyników z zakładu II). Z tabeli odczytujemy
więc wartość krytyczną równą 5. Czyli u nas liczba serii jest wyższa od wartości krytycznej, a
więc nie ma podstaw by odrzucić hipotezę, że oba zakłady produkują takie same koncentraty.
Zadanie 3
Jeśli podana jest dystrybuanta, to wartości wychodu dla przedziału (a,b) obliczamy ze wzoru
F (b)- F (a).
Należy przy tym pamiętać o czterech zasadach:
– F (0)=0,
– F (∞)=100,
– jeśli z tabeli można dla jakiejś liczby odczytać dwie wartości, to zawsze bierzemy
mniejszą, np. F (0,5)=15, a nie 25,
– jeśli w tabeli nie ma jakiejś liczby, to znajdujemy w tabeli dwie najbliższe jej liczby:
jedną mniejszą (oznaczamy ją x) i jedną większą od szukanej (oznaczamy ją y) i
stosujemy przybliżenie:
Φ( a )=Φ( x )+(Φ( y )−Φ( x ))⋅ a − x
y − x
a)
Wychód dla klasy (0; 0,5) to więc F (0,5)- F (0)=15-0=15%
b)
Wychód dla klasy (0,8; 1,5) to więc F (1,5)- F (0,8)
Nie mamy jednak w tabeli F (1,5). Ale mamy F (1) i F (2), stosujemy więc ostatni wzór z a=1,5,
x=1 i y=2:
Φ( 1,5 )=Φ( 1 )+(Φ( 2 )−Φ( 1 ))⋅ 1,5 − 1
2 − 1 = 25 +( 36 − 25 )⋅ 0,5 = 25 + 11 ⋅ 0,5 = 25 + 5,5 = 30,5
I analogicznie dla F (0,8) bierzemy a=0,8, x=0,5, y=1:
793903059.021.png 793903059.022.png 793903059.023.png
 
Φ( 0,8 )=Φ( 0,5 )+(Φ( 1 )−Φ( 0,5 ))⋅ 0,8 − 0,5
1 − 0,5 = 15 +( 25 − 15 )⋅ 0,3
0,5 = 15 + 10 ⋅ 0,6 = 15 + 6 = 21
I ostatecznie wychód to F (1,5)- F (0,8)=30,5-21=9,5%
c)
Wychód dla klasy powyżej 2, to to samo co wychód dla klasy (2; ∞), a więc F (∞)- F (2)=100-
36=64%
d)
Krzywa o przewadze ziaren drobnych to taka, która na samym początku gwałtownie rośnie, by
potem już się prawie nie zmieniać:
Krzywa o przewadze ziaren grubych to taka, która na samym początku jest bliska zeru, a
dopiero pod koniec gwałtownie rośnie:
793903059.024.png
O braku wybranek klasy świadczy płaski fragment krzywej. Np. krzywa bez klasy (1,2) może
wyglądać tak:
Zadanie 4
Do sprawdzenia, czy równanie regresji jest istotne używamy statystyki testowej F oraz
wartości krytycznej F KRYT . Jeśli otrzymamy F większe od F KRYT , to równanie jest istotne, a jeśli
otrzymamy F mniejsze od F KRYT , to równanie jest nieistotne.
Statystyka F ma wzór:
F = R 2
( 1 − R 2 ) ⋅( n − 2 )
793903059.025.png 793903059.026.png 793903059.027.png 793903059.028.png
 
gdzie:
– R² oznacza współczynnik determinacji,
– n oznacza liczbę danych, którymi dysponujemy.
Z kolei F KRYT odczytujemy z tabeli wartości krytycznych rozkładu F (załączam ją w oddzielnym
pliku) w następujący sposób: patrząc na a wybieramy jedną z dostępnych tabel. Z niej
odczytujemy liczbę z przecięcia kolumny z numerem 1 i wiersza z numerem n-2.
Z treści zadania wiemy, że n=27, ale nie znamy R². Ale wiemy, że wzór na parametr a w
równaniu regresji to
a = r s Y
s X
gdzie:
- s X oznacza odchylenie standardowe zmiennej X,
- s Y oznacza odchylenie standardowe zmiennej Y,
- r oznacza współczynnik korelacji zmiennych X i Y.
Możemy więc z tego wyznaczyć r, a potem skorzysta ć ze wzoru
R 2 = r 2
Mamy więc ze wzoru na a:
1,75 = r ⋅ 5,5
3,35
1,75 = r ⋅ 1,64
r = 1,75
1,64
r = 1,067
W tym miejscu widać, że coś jest nie tak danymi w zadaniu, bo r musi być zawsze liczbą od -1
do 1. Zmieńmy sobie dane, tak żeby było OK. Załóżmy np. że s Y =6,5:
Mamy więc ze wzoru na a:
1,75 = r ⋅ 6,5
3,35
1,75 = r ⋅ 1,94
r = 1,75
1,94
r = 0,9
A więc R²=(0,9)²=0,81. I liczymy statystykę F:
F = 0,81
1 − 0,81 ⋅( 27 − 2 )= 0,81
0,19 ⋅ 25 = 4,26 ⋅ 25 = 106,5.
Skoro nie ma podane, na jakim poziomie istotności oceniać istotność regresji, to przyjmujemy
a =0,05 i w tabeli wartości krytycznych rozkładu F dla a =0,05 bierzemy liczbę z pierwszej
kolumny i 25 wiersza: F KRYT =4,242. Widzimy, że F>F KRYT , więc równanie jest istotne.
Teraz przyjmując b=3 otrzymujemy równanie y=1,75x+3. I wstawiając x=3 wyliczamy
y=1,75·3+3=5,25+3=8,25.
Zadanie 5
Test mediany polega na wyliczeniu statystyki c ² i porównaniu jej z wartością krytyczną k:
• Jeśli c ²>k, to odrzucamy hipotezę o identyczności rozkładów.
793903059.029.png 793903059.030.png 793903059.031.png 793903059.032.png 793903059.033.png 793903059.034.png 793903059.035.png 793903059.036.png 793903059.037.png 793903059.038.png 793903059.039.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin