Ćwiczenia z analizy matematycznej - zadania 6 - funkcje wielu zmiennych.pdf - Skrypty - namanjali

‚ WICZENIAZANALIZYMATEMATYCZNEJ ZADANIA

FUNKCJEWIELUZMIENNYCH

1.Zbada¢zbie»no–¢ci¡gu:

a)a n =( 1 n ,(−1) n ),b)b n =( n p n, 1 n ,ln n

n+1 ).

2.Uzupe“ni¢:

1 {(x,y):x 2 +y 2 <2}

zbi ó r ograniczonyotwartydomkniƒty

1 R 2

1 {(x,y):x 2 +y 2 6 2}

1 {(x,y):x 2 +y 2 >2}

1 {(x,y):1 6 x 2 +y 2 <2}

1 {(x,y):x+y=1}

3.Wyznaczy¢inarysowa¢naturalnedziedzinypodanychfunkcji.Czys¡tozbiory

ograniczone,otwarte,domkniƒte?

a)f(x,y)= p xsiny, b)f(x,y)=arcsin p y− p x, c)f(x,y)=ln( p x+ p y).

4.Obliczy¢granice,je–liistniej¡:

a)lim (x,y)!(0,0) x

x+y

,b)lim (x,y)!(0,0) xy

x 2 +y 2 ,c)lim (x,y)!(0,0) (xy) 2

sin(xy)

x 2 +y 2 ,

x ,x6=0

0 ,x=0

d)lim (x,y)!(0,0) f(x,y),gdzef(x,y)=

5.Znale„¢zbi ó rpunkt ó w,wkt ó rychfunkcjaf: R

2 −! R

okre–lonawzorem:

f(x,y)=

p x 2 +y 2 ,x > 0

2 ,x<0

jestci¡g“a.

RACHUNEKR Ó› NICZKOWYFUNKCJIWIELUZMIENNYCH

6.Obliczy¢pochodnecz¡stkowepierwszegorzƒdufunkcji:

d)f(x,y)=y 2 cos(2x−y)e)f(x,y)= 3 p 2xy f)f(x,y)=3 xy

g)f(x,y)=y 2x h)f(x,y)=

x+ p y+ p x

7.Obliczy¢zde nicjipochodnecz¡stkowefunkcji:

a)f(x,y)= 3 p x 3 −y 3 wpunkcie(x 0 ,y 0 )=(0,0);

( x 3 +y

b)f(x,y,z)=

x 2 +y 2 +z 2 ,(x,y,z)6=(0,0,0)

0 ,(x,y,z)=(0,0,0)

wpunkcie(x 0 ,y 0 ,z 0 )=(0,0,0).

a)f(x,y)=arccos x y b)f(x,y,z)= x y − z x c)f(x,y)=xsin(x+2y)

8.Niech

( xy(x 2 −y 2 )

x 2 +y 2 ,(x,y)6=(0,0)

f(x,y)=

0 ,(x,y)=(0,0) .

Zbada¢,czy @ 2 f

@x@y (0,0)= @ 2 f

@y@x (0,0).

9.Zbada¢r ó »niczkowalno–¢funkcji

a)f(x,y)=x 2 −y 2 wpunkcie(x 0 ,y 0 )=(1,−2);

( xy

p x 2 +y 2 ,(x,y)6=(0,0)

0 ,(x,y)=(0,0)

b)f(x,y)=

wpunkcie(x 0 ,y 0 )=(0,0).

pierwszegorzƒduwzglƒdemxiyfunkcjiz:z=f(u,v)=e uv ,u=ln p x 2 +y 2 ,

v=arctg x y .

11.Obliczy¢zde nicjipochodn¡kierunkow¡funkcjif(x,y)= p x 2 +y 2 wpunkcie

(x 0 ,y 0 )=(0,0)wkierunkuwektora~v=( 1 2 ,−

2 ).

12.Obliczy¢gradientipochodn ¡ kierunkow¡funkcjif(x,y)=sinxcosywpunkcie

(0,)wkierunku~v=(− 1 2 ,

2 ).

13.Znale„¢ekstremafunkcji

a)f(x,y)=3x 3 +3x 2 y−y 3 −15x;b)f(x,y)=3(x−1) 2 +4(y+2) 2 ;

c)f(x,y)=x 3 +3xy 2 −51x−24y;d)f(x,y)=x 3 +y 3 −3xy.

14.Zbada¢,czypodanefunkcjemaj¡ekstremalokalne:

a)f(x,y)=2− p 3x 2 +4y 2 ,b)f(x,y)=x 8 −y 4 .

15.Znale„¢warto–¢najwiƒksz¡inajmniejsz¡funkcjif(x,y)=x 2 +y 2 −xy+x+yw

tr ó jk¡ciedomkniƒtymograniczonymprostymix=0,y=0,y=−x−3.

16.Znale„¢warto–¢najwiƒksz¡inajmniejsz¡funkcjif(x,y)=2xywkoledomkniƒtym

D={(x,y):x 2 +y 2 1}.

17.Obliczy¢pochodn¡f 0 funkcjiy=f(x)danejr ó wnaniemy 3 −4xy+x 2 =0.

18.Znale„¢ekstremafunkcjiuwik“anej

a)y=f(x)danejr ó wnaniemy 4 −8xy−4y+8x 2 =0;

b)z=f(x,y)danejr ó wnaniem5x 2 +5y 2 +5z 2 −2xy−2xz−2yz−72=0.

19.Korzystaj¡czmetodyLagrange’aznale„¢punkty,wkt ó rychfunkcjaf(x,y)=xy

mo»emie¢ekstremumwarunkoweprzywarunkux 2 +y 2 =2.

10.Korzystaj¡czregu“yr ó »niczkowaniafunkcjiz“o»onejobliczy¢pochodnecz¡stkowe

p 3

Ćwiczenia z analizy matematycznej - zadania 6 - funkcje wielu zmiennych.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: