Rozdz_8D.pdf
(
122 KB
)
Pobierz
PrimoPDF, Job 40
Ostatnie rwnanie dowodzi, Ňe:
u
(
y
,
t
)
= f
(
q
)
,
q
=
y
.
(8.75)
4 t
n
Podstawiamy wyraŇenie na
u z (8.75) do (8.73) i otrzymujemy rwnanie dla
( t
y
,
)
funkcji
f ( )
q
f
(
q
)
+
2
q
f
(
q
)
=
0
.
Zatem
q
u
(
y
,
t
)
=
f
(
q
)
=
A
+
B
Ð
e
-
s
2
d
s
,
0
gdzie A i B sĢ dowolnymi staþymi. JeŇeli t 0 dla ustalonego y, to q + i
+
1
A
+
B
Ð
e
-
s
2
d
s
=
0
A
+
p
B
=
0
.
2
0
JeŇeli y 0 dla ustalonego t, to q 0 oraz:
A V
= ,
B
=
-
2
V
,
p
Ç
Ä
2
Ô
q
×
u
(
y
,
t
)
=
V
É
1
-
Å
Æ
Õ
Ö
Ð
e
-
s
2
d
s
Ù
.
p
0
StĢd wynika, Ňe dla ustalonej wartoĻci y prħdkoĻę dĢŇy do V, gdy
t
, tzn.
w miarħ upþywu czasu Ļcianka nadaje danej czĢstce cieczy prħdkoĻę
(
V
,
t
)
.
Przykþad 8.7. NaleŇy wykazaę wystħpowanie paradoksu Stokesa, uniemoŇliwia-
jĢcego konstruowanie przepþyww peþzajĢcych w pþaskich obszarach nieograniczo-
nych, rozwaŇajĢc zagadnienie opþywu cylindra o promieniu R jednorodnym strumie-
niem stacjonarnym cieczy lepkiej (rys. 8.12).
Do rozwiĢzania zagadnienia uŇyjemy rwnania Stokesa ruchu cieczy lepkiej
w ukþadzie wspþrzħdnych cylindrycznych. WprowadzajĢc funkcjħ prĢdu, speþniajĢ-
cĢ rwnanie ciĢgþoĻci, okreĻlonĢ zwiĢzkami:
V
r
=
1
y
,
V
=
-
y
,
r
j
j
r
241
u
y
Rys. 8.12
moŇemy zapisaę rwnanie Stokesa w postaci rwnania biharmonicznego
D
2
y
=
0
.
(8.76)
Do rozwiĢzania rwnania (8.76) zastosujemy metodħ rozdzielenia zmiennych
przyjmujĢc
y r
=
f
( j
)
sin
.
Po podstawieniu bħdziemy mieli:
2
y
1
y
1
2
y
D
y
=
+
+
=
2
r
r
2
2
r
r
j
=
Æ
f
+
1
f
-
1
f
Ö
sin
j
=
F
(
r
)
sin
j
,
r
r
2
D
2
y
=
Æ
F
+
1
F
-
1
F
Ö
sin
j
.
r
r
2
RozwiĢzanie oglne tego rwnania rŇniczkowego
F
+
1
F
-
1
F
=
0
r
r
2
ma postaę
F +
=
A
r
B
.
r
242
Ä
Ô
Ä
Ô
Powrt do funkcji
f daje rwnanie rŇniczkowe
f
+
1
f
-
1
f
=
d
Æ
f
+
f
Ö
=
A
r
+
B
r
2
d
r
r
r
r
i nastħpnie otrzymujemy:
f
+
f
=
1
d
(
r
f
)
=
1
A
r
2
+
B
ln
r
+
C
,
r
r
d
r
2
f
(
r
)
=
1
A
r
3
+
1
B
r
Æ
ln
r
-
1
Ö
+
1
C
r
+
D
.
8
2
2
2
r
WracajĢc do funkcji prĢdu i wyraŇeı dla skþadowych wektora prħdkoĻci uzyskuje-
my:
y
=
Ç
1
3
A
r
+
1
B
r
Æ
ln
r
-
1
Ö
+
1
C
r
-
D
×
sin
j
,
É
8
2
2
2
r
Ù
V
r
=
Ç
1
A
r
2
+
1
B
Æ
ln
r
-
1
Ö
+
1
C
+
D
×
cos
j
,
É
Ù
8
2
2
2
r
2
V
=
-
Ç
3
A
r
2
+
1
B
Æ
ln
r
-
1
Ö
+
1
C
-
D
×
sin
j
,
É
Ù
j
8
2
2
2
r
2
gdzie wartoĻci staþych caþkowania A, B, C
sĢ wyznaczane z warunkw brzegowych.
W nieskoıczenie wielkiej odlegþoĻci od cylindra funkcja prĢdu powinna byę
rwna funkcji prĢdu dla opþywu cylindra cieczĢ doskonaþĢ, co wymaga speþnienia
warunku
lim
y
=
U
r
sin
j
.
r
Z tego warunku wynika, Ňe powinny znikaę staþe A i B oraz naleŇy przyjĢę:
C = U. Jedyna pozostaþa staþa D nie moŇe jednak speþniaę rwnoczeĻnie dwch
warunkw znikania na okrħgu skþadowych V
r
i V
j
wektora prħdkoĻci .
V
G
Przykþad 8.8. Kula o promieniu a, umieszczona w nieograniczonej przestrzeni
wypeþnionej cieczĢ lepkĢ
, obraca siħ z prħdkoĻciĢ kĢtowĢ
w =
const wokþ osi z.
Zbadaę ruch cieczy wywoþany obrotem kuli, jeŇeli obrt kuli jest powolny (w maþe).
Jako prħdkoĻę charakterystycznĢ ruchu moŇemy przyjĢę prħdkoĻę punktw rw-
nika kuli rwnĢ
,
a
w
a
w
a
2
Re
=
=
.
n
n
243
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
a wtedy liczba Reynoldsa
w
PoniewaŇ prħdkoĻę kĢtowa jest maþa, wiħc liczba Reynoldsa teŇ bħdzie maþa. Na
mocy tego zaþoŇenia w rwnaniach ruchu, zapisanych w ukþadzie wspþrzħdnych
sferycznych
,
)
,
V
r
=
V
=
0
,
=p prħdkoĻę V
j
bħdzie
0
,
zaleŇeę tylko od
r
i
q
V V r
j
= ( , )
q
i powinna speþniaę rwnanie
2
V
1
2
V
2
V
ctg
q
V
V
+
+
+
-
=
0
.
(8.77)
r
2
r
2
q
2
r
r
r
2
q
r
2
sin
2
q
Na powierzchni kuli czĢstki cieczy powinny poruszaę siħ z tĢ samĢ prħdkoĻciĢ li-
niowĢ
)
,
V
(
a
,
=q a
)
w
sin
q
.
(8.78)
Na mocy warunku (8.78) bħdziemy poszukiwaę rozwiĢzania rwnania (8.77) w po-
staci
V
(
r
,
q
)
=
A
(
r
)
sin
q
.
(8.79)
Po podstawieniu (8.79) do (8.77) uzyskujemy rwnanie rŇniczkowe Eulera
d
2
A
+
2
d
A
-
2
A
=
0
,
2
r
d
r
2
d
r
r
ktrego rozwiĢzaniem oglnym jest funkcja
rA +
(
)
=
C
r
C
2
.
1
r
2
Staþe caþkowania C , C
2
wyznaczamy z warunkw brzegowych. OtŇ, dla r = -
powinno byę V = 0,
stĢd
1
=C Z warunku (8.83) znajdziemy, Ňe
0
.
C w= wiħc
a
3
,
2
w
a
3
sin
q
V
=
.
r
2
Obliczymy jeszcze wielkoĻę momentu koniecznĢ do podtrzymania ruchu kuli. Na-
prħŇenia styczne (siþ tarcia) na powierzchni kuli:
244
jr moŇemy odrzucię ich lewe strony. Tak otrzymane rwnania
ruchu bħdĢ speþnione, jeŇeli przyjmiemy, Ňe
,( q
si( q
wa jakĢ majĢ punkty kuli, stĢd mamy warunek graniczny
p
=
m
Å
Æ
V
j
+
1
V
r
-
V
j
Õ
Ö
=
m
Ä
V
-
V
Ô
;
Æ
Ö
r
j
r
r
sin
q
j
r
r
r
=
a
=
a
p
j
=
-
3
m
w
sin
q
i moment siþ tarcia
p
M
=
Ð
-
3
m
w
sin
q
(
a
sin
q
)
2
p
a
2
sin
q
d
q
=
0
p
=
-
6
p
m
w
a
3
Ð
sin
3
q
d
q
.
0
Moment potrzebny do utrzymania ruchu jest wiħc rwny:
M
= a
8
p
m
3
w
.
Przykþad 8.9. Dwie okrĢgþe pþaskie rwnolegþe pþytki o promieniu R kaŇda,
znajdujĢc siħ w niewielkiej odlegþoĻci jedna nad drugĢ, zbliŇajĢ siħ jednostajnie do
siebie. OkreĻlię ruch warstwy cieczy zawartej miħdzy pþytkami oraz wyznaczyę siþy
oporu dziaþajĢce na kaŇdĢ z pþytek.
Rys. 8.13
WprowadzajĢc zaþoŇenia upraszczajĢce, analogiczne do zaþoŇeı przyjħtych
w rozdziale 8.6, ukþad rwnaı (8.38), zapisany (rys. 8.13a) we wspþrzħdnych wal-
cowych ( , , )
u
V
r
, v
V
j
,
w
V
z
,
zredukuje siħ do postaci:
d
p
=
m
2
u
,
d
r
2
z
245
Ä
Ô
r
r
r
r z
j dla skþadowych wektora prħdkoĻci:
Plik z chomika:
darius037
Inne pliki z tego folderu:
Rozdz_12B.pdf
(133 KB)
Rozdz_12A.pdf
(128 KB)
Rozdz_11C.pdf
(121 KB)
Rozdz_11B.pdf
(301 KB)
Rozdz_11A.pdf
(205 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin