Rozdz_12A.pdf
(
128 KB
)
Pobierz
PrimoPDF, Job 15
12. DODATEK
12.1. Podstawowe dziaþania na wektorach
W e k t o r
.
Jest to wielkoĻę, dla okreĻlenia ktrej naleŇy zadaę wartoĻę i kieru-
nek w przestrzeni. MoŇna go przedstawię w postaci
C
= (12.1)
Ai
A
,
i
C
- wektor jednostkowy zgodny z kierun-
kiem wektora
C
(rys. 12.1a). MoŇna go teŇ zapisaę za pomocĢ skþadowych
C
A
C
C
C
C
A
=
yx
A
i
+
A
j
+
k
,
(12.2)
z
C
C
C
C
C
C
gdzie A A A
x y z
, ,
sĢ miarami skþadowych
A
,
A
,
A
wektora ,
natomiast ,
i
, j
x
y
z
C
- wektorami jednostkowymi (wersorami), odpowiednio, wzdþuŇ osi wspþrzħdnych
kartezjaıskich z
x i, (rys. 12.1b).
Rys. 12.1
S u m a
i
r Ň n i c a w e k t o r w
.
SumĢ dwch wektorw
C
i
C
jest wektor
C
C
stanowiĢcy przekĢtnĢ rwnolegþoboku wychodzĢcĢ z punktu O (rys. 12.2). RŇ-
,
339
A
C
w ktrej A
oznacza dþugoĻę wektora ,
A
C
- wektorw
C
i
C
jest sumĢ wektorw
C
i .
C
(
C
- Skþadowe sumy
)
i rŇnicy wektorw oblicza siħ wedþug nastħpujĢcego wzoru
C
C
C
C
C
A
B
=
(
A
B
)
i
+
(
A
B
)
j
+
(
A
B
)
k
.
(12.3)
x
x
y
y
z
z
Rys. 12.2
I l o c z y n e m s k a l a r n y m
dwch wektorw
C
i
C
nazywamy skalar C
rwny iloczynowi moduþw obu wektorw przez cosinus kĢta zawartego miħdzy
nimi
C
=
A
C
µ
B
C
=
A
G
B
C
cos B
(
A
C
,
C
)
.
(12.4)
ZapisujĢc obydwa wektory za pomocĢ skþadowych
C
C
C
C
C
C
C
C
A
µ
B
=
(
A
i
+
A
j
+
A
k
)
(
B
i
+
B
j
+
B
k
)
,
x
y
z
x
y
z
po obliczeniu iloczynw skalarnych wersorw:
i
C
µ
i
=
C
j
µ
C
j
=
k
C
µ
k
=
1
,
C
C
C
C
C
C
i
µ
j
=
j
µ
k
=
i
µ
k
=
0
,
otrzymujemy rwnieŇ
C
= B
A
C
µ
C
=
A
B
+
A
B
+
A
B
.
(12.5)
x
x
y
y
z
z
C
C
ktrego
moduþ jest rwny iloczynowi moduþw obu wektorw przez sinus kĢta zawartego
miħdzy nimi
C
C
C
G
C
C
C
C
=
A
µ
B
=
A
B
sin B
(
A
,
)
.
(12.6)
Kierunek tego wektora jest prostopadþy do pþaszczyzny wyznaczonej przez wektory
C
i ,
340
nica B
A
C
C
I l o c z y n w e k t o r o w y
wektora
C
i wektora
C
jest wektorem ,
C
a zwrot jest pokazany na rys. 12.3.
Rys. 12.3
Iloczyny wektorowe wersorw sĢ odpowiednio rwne:
i
i
=
j
j
=
k
C
k
C
=
0
,
C
C
C
C
C
i
j
=
-
j
i
=
k
,
C
C
C
C
C
j
k
=
-
k
j
=
i
,
C
C
C
C
C
k
i
=
-
i
k
=
j
;
iloczyn wektorowy wektorw
C
i
C
moŇemy wiħc zapisaę nastħpujĢco
C
C
C
i
j
k
C
C
C
C
=
A
B
=
A
A
A
=
x
y
z
(12.7)
B
B
B
x
y
z
C
C
=
(
A
B
-
A
B
)
i
+
(
A
B
-
A
B
)
j
+
(
A
B
-
A
B
)
k
.
y
z
z
y
z
x
x
z
x
y
y
x
C
C
µ ktrego war-
toĻę jest rwna wyznacznikowi z miar skþadowych wektorw A
C
(
A
B
)
C
,
C
, i C
C
A
x
A
y
A
z
C
C
C
(
A
C
B
)
=
B
B
B
.
(12.8)
x
y
z
C
x
C
y
C
z
Ze wzglħdu na wþasnoĻci wyznacznika moŇemy napisaę
(
A
B
C
)
µ
C
C
=
(
B
C
C
C
)
µ
A
C
=
(
C
C
A
)
µ
B
;
341
C
C
C
C
I l o c z y n e m m i e s z a n y m
nazywamy wyraŇenie
C
C
C
C
stwierdzamy rwnieŇ, Ňe jeŇeli dwa dowolne wektory iloczynu mieszanego sĢ rw-
nolegþe, to iloczyn ten jest rwny zeru.
W mechanice pþynw wystħpuje teŇ czħsto p o d w j n y i l o c z y n w e k t o -
r o w y
C
C
C
A
( C
B
)
,
ktrego skþadowe moŇna obliczyę z nastħpujĢcej toŇsamoĻci
C
C
C
C
A
(
B
C
)
=
[
A
(
B
C
-
B
C
)
-
A
(
B
C
-
B
C
)
]
i
+
y
x
y
y
x
z
z
x
x
z
C
+
[
A
(
B
C
-
B
C
)
-
A
(
B
C
-
B
C
)
]
j
+
z
y
z
z
y
x
x
y
y
x
(12.9)
C
+
[
A
(
B
C
-
B
C
)
-
A
(
B
C
-
B
C
)
]
k
=
x
z
x
x
z
y
y
z
z
y
C
C
C
C
C
C
=
B
(
A
µ
C
)
-
C
(
A
µ
B
)
.
12.2. Wybrane pojħcia i twierdzenia teorii pola
j (np. rozkþad għstoĻci r lub temperatury T
), to zawsze ist-
niejĢ powierzchnie, na ktrych
,( z
x
y
,
)
j z
,( =
x
y
,
)
const
(rys. 12.4) - sĢ to powierzchnie
ekwiskalarne.
Rys. 12.4
Na powierzchni ekwiskalarnej j = const, znika rŇniczka zupeþna funkcji j
d
j
=
j
d
x
+
j
d
y
+
j
d
z
=
0
,
x
y
z
C
jest wektorem leŇĢcym w pþaszczyŅnie ĻciĻle stycznej do
powierzchni j = const. Z wþasnoĻci iloczynu skalarnego wynika zatem, Ňe wektor
=
d
x
,
d
y
,
d
z
342
G r a d i e n t p o l a s k a l a r n e g o
.
JeŇeli w jakimĻ obszarze istnieje ciĢgþe
pole skalarne
gdzie
[ ]
d
C
j
C
j
C
j
C
G
=
i
+
j
+
k
x
y
z
ma kierunek zgodny z kierunkiem normalnej
C
do powierzchni j = const; moŇemy
wiħc napisaę
G
C
=
j
n
C
.
(12.10)
n
Wektor G
C
nazywa siħ g r a d i e n t e m p o l a s k a l a r n e g o j
.
Jest to wektor
wskazujĢcy kierunek, w ktrym poruszajĢc siħ dotrzemy po najkrtszej drodze do
sĢsiedniej powierzchni izoskalarnej o wiħkszej wartoĻci skalara (wskazuje kierunek
najszybszych zmian pola).
Przy wykorzystaniu operatora
C
(nabla)
C
C
C
C
¯
=
i
+
j
+
k
(12.11)
x
y
z
gradient pola skalarnego wyraŇa siħ wzorem
C
C
j
C
j
C
j
C
G
=
grad
j
=
¯
j
=
i
+
j
+
k
.
(12.12)
x
y
z
S t r u m i e ı
s k a l a r a
( s t r u m i e ı
p o l a
s k a l a r n e g o)
.
Strumieı
Q
C
ska-
lara j
przez powierzchniħ s
obliczamy jako caþkħ
Q
C
=
Ð
s
j
d
C
,
(12.13)
Ŏ
okreĻla elementarny pþat powierzchni s.
Za pomocĢ strumienia skalara definiuje siħ pochodnĢ przestrzennĢ pola skalarne-
go, ktrĢ moŇna rwnieŇ przyjĢę jako okreĻlenie gradientu (12.12)
d
C
d
s
C
Ð
s
t
D
j
d
C
G
=
grad
j
=
lim
D
(12.14)
0
t
D
D do objħtoĻci D
obszaru ograniczonego tĢ powierzchniĢ, gdy Ļrednica tego obszaru dĢŇy do zera.
MoŇna to þatwo sprawdzię, obliczajĢc zmianħ strumienia pola skalarnego w kierunku
osi
y
przez powierzchniħ elementarnego prostopadþoĻcianu - przedstawionego na
rys. 12.5
343
w ktrej wektor
=
.
Gradient pola skalarnego jest wiħc granicĢ, do ktrej dĢŇy stosunek caþkowitego
strumienia pola skalarnego j przez powierzchniħ zamkniħtĢ ,
Plik z chomika:
darius037
Inne pliki z tego folderu:
Rozdz_12B.pdf
(133 KB)
Rozdz_12A.pdf
(128 KB)
Rozdz_11C.pdf
(121 KB)
Rozdz_11B.pdf
(301 KB)
Rozdz_11A.pdf
(205 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin