09.pdf

(491 KB) Pobierz
PRZEDMOWA
9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI
1
WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI
W rozdziale 5 wyprowadziliśmy równanie równowagi statycznej dla ciała analizowanego metodą
elementów skończonych. Równanie to można również zinterpretować jako równanie ruchu ciała,
zapisane w pewnej chwili t przy pominięciu sit bezwładności. Prawa strona tego równania może
bowiem zależeć od czasu i może być ustalona dla tej chwili. Przemieszczenia układu zależeć będą
wówczas także od czasu. Dla większości przypadków, w których zachodzi potrzeba uwzględnienia obci-
ążeń zmiennych w czasie, konieczne jest uwzględnienie sił bezwładności w równaniach równowagi.
Otrzymujemy wówczas problem dynamiczny. Poniżej sformułujemy problem dynamiki ciał sprężystych,
dyskretyzowanych elementami skończonymi. Wykorzystując zasadę d'Alamberta, w równaniu
równowagi statycznej uwzględnia się siły bezwładności jako część sił masowych. Jeżeli przyspieszenia
elementów będą aproksymowane w ten sam sposób co przemieszczenia elementów, wówczas wektor
sił zewnętrznych możemy zmodyfikować do postaci
9.
R
B
=
∑ ∫
N
T
e
[
f
b
e
−
ρ
e
N
e
d
e
dV
e
],
(9.1)
e
gdzie w wektorze sił masowych f nie uwzględniono sił bezwładności. Wektor d e jest wektorem przyspie-
szeń punktów węzłowych elementu e , zaś ρ e jest gęstością masy elementu. Równanie równowagi dyna-
micznej zapiszemy zatem w postaci
M =
&
+
Kd
R
,
(9.2)
gdzie R i d są wektorami zależnymi od czasu. Macierz mas M ma postać:
M
=
∑ ∫
ρ
e
N
T
e
N
e
dV
e
,
(9.3)
e V
Macierz M w postaci (9.3) nosi nazwę macierzy konsystentnej (z macierzą sztywności K , ponie-
waż dla obu macierzy przyjęto te same funkcje kształtu). Zauważmy, że tak sformułowana macierz mas
elementu jest w ogólności macierzą pełną. W obliczeniach konstrukcji inżynierskich stosuje się często
uproszczoną postać macierzy mas, tzw. macierz niekonsystentną, którą otrzymuje się z modelu dyna-
micznego w postaci mas skoncentrowanych w węzłach elementów. Istotnym uproszczeniem tego podej-
ścia jest fakt, że otrzymywane niekonsystentne macierze mas mają strukturę diagonalną, co znakomicie
upraszcza rozwiązanie równania ruchu.
Zakładając, że p jest stałe, można konsystentną macierz mas dla elementu belkowego obliczyć,
korzystając z zależności (9.3):
1
22
L
54
−
13
L
L
ρ
L
4
L
2
13
L
−
3
L
2
m
= ∫
ρ
T
N
dx
=
(9.3 1 )
420
sym
.
156
−
22
L
0
4
L
2
Macierz niekonsystentną otrzymać można przyjmując, że masa belki skupiona jest po połowie w jej
węzłach. Otrzymujemy wtedy:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
&
N
269457802.004.png
 
9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI
2
1
0
0
0
ρ
L
2
/
12
0
0
m
=
(9.3 2 )
2
sym
.
1
0
L
2
/
12
Powróćmy jednak do równania ruchu. W konstrukcjach rzeczywistych w czasie drgań następuje
rozpraszanie (dysypacja) energii . Zjawisko to uwzględnia się w równaniu ruchu przez wprowadzenie sił
zależnych od prędkości ruchu, tzw. sił tłumienia. Uwzględniając te siły ponownie w wektorze sił maso-
wych, otrzymujemy
R
B
=
∑ ∫
N
T
e
[
f
b
e
−
ρ
e
N
e
d
&
e
−
κ
e
N
e
d
&
]
dV
e
,
(9.4)
e
gdzie d e oznacza wektor prędkości węzłów elementu e , a współczynnik K tłumienie.
Równanie równowagi dynamicznej, uwzględniające efekt tłumienia, zapiszemy teraz w postaci:
M
&
+ &
C
d
+
Kd
=
R
,
(9.5)
gdzie C jest macierzą tłumienia układu. Macierz tą można zapisać formalnie w postaci:
C κ
=
∑ ∫
e
N
T
e
N
e
dV
e
.
(9.6)
e V
Macierz tłumienia przyjmowana jest zazwyczaj w postaci tzw. tłumienia proporcjonalnego:
C
=
α +
1
M
α
2
K
,
(9.7)
gdzie współczynniki i są wyznaczane na podstawie udziału poszczególnych postaci drgań wła-
snych.
α
Zauważmy analogię równania (9.5) do znanego nam z kursu mechaniki technicznej równania ru-
chu o jednym stopniu swobody (mx’' + ex’ + kx = r). Jeżeli równanie (9.5) ma opisywać określony
problem brzegowo-początkowy, to należy je oczywiście rozpatrywać z warunkami początkowymi:
d =
(
t
0
d
(9.8)
Z matematycznego punktu widzenia macierzowe równanie (9.5) reprezentuje układ n sprzężonych ze
sobą liniowych równań różniczkowych zwyczajnych rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami. Rozwią-
zanie tego układu (tzn. znalezienie n funkcji-składowych wektora uogólnionych przemieszczeń układu)
otrzymać można stosując standardowe podejście rozwiązywania równań różniczkowych ze stałymi współ-
czynnikami. Rozwiązanie to można stosunkowo łatwo otrzymać, gdy liczba równań jest mała, tzn. gdy ma-
my do czynienia z niewielką liczbą stopni swobody. W zagadnieniach inżynierskich wymiary macierzy, wy-
stępujących w równaniu (9.5) są jednak duże (często większe od 1000). Dlatego też celowe jest stosowanie
takich metod rozwiązania, które wykorzystywałyby pewne cechy tych macierzy (ich symetrię, pasmowość),
pozwalając jednocześnie na uproszczenie rozwiązania.
Metody rozwiązywania układu równań różniczkowych o postaci (9.5) można podzielić na dwie zasad-
nicze grupy: metody całkowania bezpośredniego i metodę superpozycji modalnej. Jak pokażemy niżej obie
te metody są sobie bliskie, a wybór jednej z nich zależeć będzie od ich numerycznej efektywności.
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
L
α
269457802.005.png 269457802.006.png
9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI
3
9.1 Zagadnienia własne w dynamice konstrukcji
Rozpatrzmy obecnie problem tzw. drgań własnych układu bez tłumienia, opisany następującym ukła-
dem równań:
M &
+ Kd
=
0
(9.9)
Załóżmy rozwiązanie układu równań (9.9) w postaci:
d
(
t
)
=φ
sin(
t
−
t
0
),
(9.10)
gdzie macierz Ф składa się z n wektorów zwanych postaciami drgań własnych, a ω jest częstością drgań
własnych (w jednostkach: rad/s). Podstawiając powyższe do równania (9.9), otrzymujemy:
(
K
− φ
ω
2
M
)
=
0
,
(9.11)
lub
K
φ M
=
ω
2
φ
(9.12)
Równanie (9.11) lub (9.12) definiuje tzw. uogólniony problem własny. Równanie to ma n rozwiązań rzeczywi-
stych w postaci par: wartość własna-wektor własny: (ω 1 2 ,Ф 1 ) (ω 2 2 ,Ф 2 ) ...(ω n 2 ,Ф n ), gdzie przez Ф i oznaczo-
no-ty wektor własny, tj. i -tą kolumnę macierzy Ф
Omówimy teraz podstawowe własności wartości i wektorów własnych, występujących w równaniu
(9.11), które okazać się mogą przydatne przy ich poszukiwaniu.
1. Każda z wartości własnych i każdy wektor własny spełnia równanie (9.11) lub (9.12):
K
φ=
i
ω
2
i
M
φ
i
.
(9.13)
Równanie to jest spełnione również przez wektor αФ i (α jest stałą różną od zera), ponieważ
K
(
αφ =
i
)
ω
2
i
M
(
αφ
i
)
(9.14)
Mówimy zatem, że wektor własny jest zdefiniowany tylko przez jego kierunek w n-wymiarowej przestrzeni.
Wymaga się ponadto, by był spełniony warunek
φ
T
i
M
φ
i
=
1
(9.15)
Warunek ten ogranicza długość wektora Ф i . Zależność (9.15) oznacza spełnienie tzw. warunku M-
ortonormalności wektorów własnych, bowiem zachodzi
φ =
i
M
φ
T
j
δ
ij
,
(9.16)
gdzie δ ij jest symbolem Kroneckera (przyjmuje wartość1, gdy i=j , i równą zeru w pozostałych przypad-
kach). Warunek (9.16) wynika bezpośrednio z ortogonalności wektorów własnych standardowego proble-
mu własnego. Zauważmy, że przemnażając lewostronnie równanie (9.13) przez wektor Ф j T . , otrzymujemy
φ
K
φ
i
=
ω
2
i
ε
T
j
M
φ
i
=
ω
2
i
δ
ij
,
(9.17)
Równanie to obrazuje kolejną własność wektorów własnych problemu (9.11), a mianowicie ich K-
ortogonalność.
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
T
j
269457802.001.png
9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI
4
2. Ważną cechą wartości własnych problemu (9.11) jest to, że są one pierwiastkami równania charaktery-
stycznego
p
ω
2
)
=
det(
K
−
ω
2
M
)
(9.18)
bowiem jednorodne równanie (9.11) ma niezerowe rozwiązanie tylko wtedy, gdy
det(
K
−ω
2
i
M
)
=
0
(9.19)
Jeżeli macierz (K –ω i 2 ·M) rozłożymy na dolny i górny trójkąt według rozkładu Choleskiego, to
∏ −
n
det(
K
−ω
2
i
M
)
=
det(
L
T
L
)
=
l
,
(9.20)
ii
i
1
co prowadzi do warunku 1 ii .. = 0, tzn.
n
p
ω
2
)
= ∏ −
l
=
0
(9.21)
ii
i
1
3 . Wartości własne są rzeczywiste.
Załóżmy, że Ф i i ω i 2 . są wartościami zespolonymi, a Ф i oraz ω i -2 są z nimi sprzężone. Możemy
zapisać
K
φ=
i
ω
2
i
M
φ
i
,
(9.22)
i przemnażając lewostronnie przez Ф i -T mamy:
φ
−
T
K
ε
=
ω
2
i
φ
−
T
M
φ
,
(9.23)
i
i
i
i
Podstawiając do (9.22) rozwiązanie sprężone i obliczając transpozycję tego równania, otrzymujemy:
φ
−
T
K
= φ
ω
2
i
−
T
M
,
(9.24)
i
i
Następnie przemnażając lewostronnie przez Ф i , mamy:
φ
−
T
K
φ
=
ω
2
φ
−
T
M
φ
,
(9.25)
i
i
i
i
i
Ponieważ lewe strony równań (9.23) i (9.25) są sobie równe, więc otrzymujemy
(
ω
−
2
−
ω
2
i
)
φ
−
T
M
φ
=
0
,
(9.26)
i
i
i
czyli:
ω =
−
2
ω
2
i
(9.27)
i
wobec czego wartości własne ω i -2 , ω i 2 muszą być rzeczywiste.
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
269457802.002.png
9. WYBRANE ZAGADNIENIA DYNAMIKI KONSTRUKCJI
5
9.2. Transformacja uogólnionego problemu własnego do postaci standar-
dowej
Większość problemów mechaniki, których rozwiązanie sprowadza się do rozwiązania problemu
własnego, prowadzi do standardowego problemu własnego lub może być do niego zredukowana. W tym
miejscu chcemy pokazać, jak ten proces można przeprowadzić w przypadku równań dynamiki. Za-
znaczmy, że wymaganie to nie jest tylko formalne, ale prowadzi do stosowania znacznie efektywniejszych
algorytmów rozwiązywania problemu, niż ma to miejsce w przypadku rozwiązywania uogólnionego pro-
blemu własnego. Innymi słowy problem standardowy rozwiązuje się łatwiej i szybciej. Okazuje się ponad-
to, że własności wartości własnych i wektorów własnych problemu standardowego zachowują swą waż-
ność w problemie uogólnionym, co ma istotne znaczenie z punktu widzenia mechanicznej interpretacji wy-
ników. Biorąc pod uwagę efektywność stosowanych technik obliczeniowych, będziemy starali się zacho-
wać ważną cechę macierzy występujących w równaniu równowagi typu (9.11), a mianowicie ich symetrię.
Dążyć będziemy do tego, by powstały problem własny był symetryczny.
Załóżmy, że macierz mas M jest dodatnio określona. Niespełnienie tego założenia wymaga prze-
prowadzenia statycznej kondensacji tych stopni swobody, które odpowiadają zerowym wartościom wła-
snym (porównaj rozdz. 5). Równanie K·Ф = ω 2 MФ możemy przetransformować do innej postaci przez
dekompozycję macierzy M :
M
=
LL
T
,
(9.28)
gdzie macierz L jest dolnym trójkątem otrzymanym w procesie dekompozycji Choleskiego macierzy M.
Podstawiając powyższe do równania (9.11) otrzymujemy:
K
φ=
ω
2
LL
T
φ
,
(9.29)
Przemnażając obie strony przez L - 1 i definiując wektor
φ=
~
L
T φ
,
(9.30)
otrzymujemy
~
φ=
ω
2 φ
~
,
(9.31)
gdzie
~
=
L
−
1 −
KL
T
,
(9.32)
Zauważmy, że macierz K jest macierzą symetryczną. Jeżeli macierz M jest źle uwarunkowana (co prowa-
dzić może do niedokładnej jej dekompozycji), wówczas możemy rozłożyć macierz sztywności K na ma-
cierze trójkątne. Przepisując równanie (9.11) w postaci
M
φ=
1
K
φ
,
(9.33)
ω
2
otrzymamy podobnie jak wyżej
M
φ=
1
2 φ
,
(9.34)
ω
gdzie
M ~
=
L
−
1 −
ML
T
,
(9.35)
K
=
L
T
L
,
(9.36)
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
~
269457802.003.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin