03.pdf

(467 KB) Pobierz
PRZEDMOWA
3. KRATOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA ILUSTRACJA METODY
1
KRATOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA ILUSTRACJA METODY
3.
Chcąc w najprostszy sposób zilustrować ideę podziału struktury na elementy (dyskretyzacji) oraz
technikę budowania macierzy sztywności całego układu, posłużymy się prostym przykładem kratownicy
płaskiej. Dla tego przykładu w naturalny sposób narzuca się podział, czyli dyskretyzacja, która zakłada, że
każdy pręt kratownicy jest jednocześnie elementem. Pełną informację o stanie odkształceń, naprężeń i
przemieszczeń pręta (elementu) uzyskamy, gdy będziemy znali przemieszczenia jego końców. Zakładamy
oczywiście klasycznie, że węzły są idealnymi przegubami, a siły są tak przyłożone w węzłach, że wszystkie
elementy przenoszą wyłącznie siły osiowe oraz że materiał prętów jest liniowo-sprężysty. Ograniczamy się
do geometrycznie liniowej teorii.
3.1. Sztywność elementu w globalnym układzie współrzędnych
Rozważmy pręt (1-2), którego położenie w układzie współrzędnych , wspólnym dla całej roz-
ważanej struktury (w tzw. układzie globalnym), jest przedstawione na rysunku 3.1.
x 0
y
Załóżmy, że stałe na długości elementu pole powierzchni przekroju pręta oznaczono przez , zaś
moduł Younga materiału - przez . Długość elementu wyznaczamy z prostej zależności geometrycznej jako
funkcję współrzędnych węzłów:
E
A
L
=
(
x
−
x
)
2
+
(
y
−
y
)
2
(3.1)
2
1
2
1
Potrzebne relacje definiujące nachylenie elementu mają postać:
cos
α
=
c
=
x
2
−
x
1
,
sin
α
=
s
=
y
2
−
y
1
(3.2)
L
L
Rys. 3.1. Element kratownicy płaskiej. Definicja stopni swobody i sił wewnętrznych
Przemieszczenia węzłów elementu zgrupujemy w jednym wektorze czteroskładnikowym:
d
=
[
u
1
,
v
1
,
u
2
,
v
2
] T
(3.3)
O takim elemencie mówimy, że ma cztery stopnie swobody.
W wyniku obciążenia i deformacji całego układu rozważany pręt zajmie położenie . Pomijając efekty
drugorzędne, wydłużenie elementu zapiszemy w postaci zależności
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
3. KRATOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA ILUSTRACJA METODY
2
∆
L
=
(
u
2
−
u
1
)
c
+
(
v
2
−
v
1
)
s
(3.4)
Odkształcenie podłużne pręta zdefiniujemy klasycznie jako
∆
ε
L
(3.5)
i wyrazimy za pomocą wektora przemieszczeń węzłów w następujący sposób:
ε , gdzie
B ⋅
d
B
= 1
L
⋅
[
−
c
−
s
c
s
]
(3.6)
Macierz nazywana bywa macierzą zgodności geometrycznej. Wprost z prawa Hooke'a wynika, że
siła osiowa w elemencie wynosi:
N
B
N
⋅= ε
E
A
⋅
=
E
⋅
A
⋅
B
⋅
d
=
C
⋅
d
(3.7)
gdzie macierz
=
Zapiszmy teraz siły węzłowe, wyrażone w składowych odniesionych do układu globalnego, działające
w węzłach 1 i . Niech wektor tych sił będzie oznaczony przez :
EC ⋅
⋅
A
B
nazywana jest niekiedy macierzą sił węzłowych.
2
P
P =
[
H
1
V
1
H
2
V
2
]
(3.8)
Odpowiednie siły węzłowe wyrażone są za pomocą następujących zależności:
H ⋅
1
=
−
c
,
V ⋅
1
=
−
s
, H
2
=
N ⋅
c
, V
2
=
N ⋅
s
.
(3.9)
W końcu więc otrzymujemy
c
2
c
⋅
s
−
c
2
−
c
⋅
s
E
⋅
A
c
⋅
s
s
2
−
c
⋅
s
−
s
2
P
=
B
T
⋅
L
⋅
N
=
B
T
⋅
L
⋅
E
⋅
A
⋅
B
⋅
d
=
K
⋅
d
=
⋅
⋅
d
(3.10)
e
L
−
c
2
−
c
⋅
s
c
2
c
⋅
s
−
c
⋅
s
−
s
2
c
⋅
s
s
2
Dla tego prostego elementu od razu udało się nam wyrazić składowe operatora (macierzy sztyw-
ności elementu) w globalnym układzie współrzędnych. Dla wielu innych elementów taka praktyka byłaby
nieskuteczna. Okaże się potem, że znacznie praktyczniejsze jest wyznaczenie odpowiednich operatorów
w układach odniesionych do tzw. współrzędnych lokalnych.
K
e
K
e
Ponieważ składowe wszystkich macierzy sztywności muszą być wyrażone w odniesieniu do jed-
nego wspólnego układu współrzędnych, trzeba będzie reprezentacje tych operatorów przetransformować z
układu lokalnego do globalnego. W rozdziale 3.5 zajmiemy się problemem transformacji składowych wekto-
rów z układu lokalnego do globalnego, a tym samym wyprowadzimy odpowiednie formuły transformacyjne
dla macierzy sztywności.
K
e
Przyjrzyjmy się przez chwilę macierzy sztywności elementu . Łatwo zauważyć, że macierz ta jest
symetryczna i osobliwa. Można się też przekonać, że zadeklarowanie przemieszczeń węzłów , odpowiada-
jących sztywnej translacji elementu bądź sztywnego obrotu, nie wywołuje żadnych sił węzłowych.
K
e
d
Znając macierze sztywności wszystkich elementów, będziemy mogli zbudować macierz sztywno-
ści całego układu, która jest operatorem wiążącym wektor przemieszczeń wszystkich węzłów układu z wek-
torem obciążeń węzłowych układu.
K
e
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
3. KRATOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA ILUSTRACJA METODY
3
3.2. Scalenie czyli agregacja macierzy sztywności układu
Proces budowania macierzy sztywności układu z macierzy sztywności elementów wyrażonych w tym
samym układzie współrzędnych (układzie globalnym) nazywamy agregacją. Agregacja zapewnia równość
przemieszczeń węzłów, które jednocześnie należą dc różnych elementów. Jest też spełnieniem równań
nierozdzielności odkształceń w węzłach układu.
Rys. 3.2.Kratownica płaska obciążona dwiema siłami
Prześledźmy proces agregowania macierzy sztywności układu na przykładzie kratownicy przedsta-
wionej na rysunku 3.2. Układ ten składa się z sześciu elementów, które łączą ze sobą pięć węzłów. Globalna
liczba stopni swobody układu jest równa 10 (po dwie składowe przemieszczeń w każdym węźle). Tak więc
globalna macierz sztywności układu ma wymiary 10 . Agregacja macierzy sztywności układu
polega na sumowaniu składowych macierzy sztywności elementów w odpowiednich
miejscach macierzy . Jeżeli założymy, że element łączy węzły oraz , to składowe macierzy
będą umieszczone w macierzy układu
x
10
K
1( x
10
)
K
e
( x
4
)
K
e
i
j
K
e
K
w taki sposób, by zwiększyć sztywność odpowiednich wyrazów
tej macierzy.
Na przykład składowe macierzy trzeciego i czwartego elementu kratownicy (rys. 3.2 ) będą umiesz-
czone w miejscach związanych z przemieszczeniami węzłów i dla elementu 3 oraz i 3 dla elemen-
tu . Umieszczenie odpowiednich składowych tych elementów w macierzy sztywności ilustruje rysunek
3.3.
2 4
4
4
+
Miejsce dodawania składowych macierzy trzeciego elementu zaznaczono znakiem , zaś czwartego -
znakiem .
o
Wektor obciążenia w tym prostym przypadku jest wektorem sił zewnętrznych. W sytuacjach
bardziej skomplikowanych, kiedy obciążenia węzłowe są wynikiem sił działających na poszczególne ele-
menty, proces scalania wygląda bardzo podobnie i polega na sumowaniu efektów wziętych z elementów w
odpowiednich miejscach wektora globalnego.
1( x
1
Zauważmy, że utworzona macierz sztywności układu jest macierzą symetryczną i osobliwą. Wynika to
ze sposobu scalania tej macierzy i faktu, że wszystkie macierze elementów mają tę samą własność. Utwor-
zony układ równań
K =⋅
(3.11)
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
P
3. KRATOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA ILUSTRACJA METODY
4
Rys. 3.3. Agregacja macierzy sztywności
gdzie jest zbudowaną macierzą sztywności układu
K
10
( x
1
10
)
, jest wektorem przemieszczeń wę-
złów
(
x
oraz jest wektorem obciążeń węzłów
( x
, nie ma w tej postaci rozwiązania, gdyż
nie są jeszcze zdefiniowane warunki brzegowe.
3.3. Modyfikacja układu równań przez wprowadzenie warunków brzegowych
Wprowadzenie w zadaniu warunków brzegowych polega na takiej modyfikacji układu równań (3.11),
która spowoduje, że przy założonych obciążeniach przemieszczenia punktów podporowych będą równe
zeru. Spośród kilku stosowanych sposobów modyfikacji tego układu zaproponujmy następujący. Polega on
na umieszczeniu na głównej przekątnej macierzy , w wierszu odpowiadającym zerowemu przemieszcze-
niu, liczby równej 1.0 oraz na wyzerowaniu reszty wyrazów tego wiersza i kolumny. Zeruje się także od-
powiedni wiersz wektora . W ten sposób w danym równaniu jest tylko jedna niewiadoma - przemi-
eszczenie, które musi być równe zeru. W omawianym przykładzie, który jest ilustracją dokonywanych
kroków, zerowe musi być przemieszczenie węzłów 1 i w obu kierunkach (stopnie swobody 1, 2 oraz 7,
8), a także przemieszczenie węzła w kierunku poziomym (stopień swobody 9). Zbudowana w wyniku
agregacji macierz sztywności musi być zmodyfikowana według następującego schematu (puste pola ozna-
czają wyrazy niezerowe):
P
K
P
5
4
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
10
d
10
P
3. KRATOWNICA JAKO BEZPOŚREDNIA ILUSTRACJA METODY
5
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
d
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
d
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⋅
=
(3.12)
0
0
0
0
0
p
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
d
0
7
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
d
0
8
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
d
0
9
0
0
0
0
0
p
1
W powyższym układzie równań podano postać wektora obciążenia. Zaproponowany zabieg modyfi-
kacji polega na utrzymaniu nie zmienionej liczby stopni swobody układu, przy czym w sposób naturalny
otrzymamy zerowe przemieszczenia punktów, w których zdefiniowano podparcie. Macierz sztywności ukła-
du jest nieosobliwa i dodatnio określona, a wobec zadanych obciążeń istnieje jednoznaczne rozwiązanie
tego układu. W wyniku rozwiązania układu równań liniowych (3.12) otrzymamy pozostałe, nieznane dotąd
przemieszczenia Nie będziemy się w tym miejscu zajmowali technikami nume-
rycznymi rozwiązywania układów równań liniowych, które w niektórych przypadkach (symetria, duże wy-
miary macierzy, itp.) są bardzo skomplikowane. Jedną z możliwych propozycji, jak rozwiązywać układ rów-
nań (3.12), zamieszczono w Dodatku A.
P
d
3
,
d
4
,
d
5
,
d
6
,
d
10
.
3.4. Odpowiedź układu i podsumowanie głównych kroków metody
O rozwiązaniu problemu możemy mówić, gdy znamy już wszystkie przemieszczenia węzłów. Wy-
bierając z nich odpowiednie składowe globalnego wektora przemieszczeń na podstawie (3.7), określimy siły
osiowe we wszystkich prętach, dalej reakcje podpór (z równowagi węzłów podporowych). By znaleźć reak-
cje podpór, czyli siły równoważące węzły w kierunku odebranego stopnia swobody, wystarczy przemnożyć
dany wiersz macierzy (przed modyfikacją) przez znany już wektor przemieszczeń i uwzględnić obci-
ążenie .
K
d
P
W celu zautomatyzowania wymienionych powyżej kroków należy w zbiorze danych zdefiniować ma-
cierze, w których będą zestawione informacje o geometrii wszystkich elementów, oraz macierze definiujące
topologię struktury czyli zestawienie numerów węzłów należących do wszystkich elementów.
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin