Belka jednoprzęsłowa ze wspornikiem.pdf

(214 KB) Pobierz
Zadanie 3
Przykład 7.1. Belka jednoprzęsłowa ze wspornikiem
Dla poniższej belki zapisać funkcje sił przekrojowych i sporządzić ich wykresy.
√
Rozwiązanie
Rozwiązywanie zadania rozpocząć należy od oznaczenia punktów charakterystycznych,
składowych reakcji i przyjęcia układu współrzędnych. Punkty charakterystyczne są to miejsca
przyłożenia obciążeń skupionych (zewnętrznych, bądź reakcji podpór), miejsca początkowe
i końcowe obciążeń rozłożonych oraz krańce belek. W badanym przypadku występują
4 punkty charakterystyczne.
√
W celu obliczenia reakcji wykorzystamy trzy równania równowagi, przy pisaniu których
przyjmujemy następujące założenia:
- siły piszemy ze znakiem „+” jeśli działają w kierunku zgodnym z osiami X, lub Y i ze
znakiem „-” jeśli działają w kierunku przeciwnym;
- momenty piszemy ze znakiem „+” jeśli powodują obrót wokół rozpatrywanego punktu
(zaznaczonego w indeksie dolnym) w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek
zegara, a ze znakiem „-” jeśli w kierunku przeciwnym.
89767724.003.png
∑
P
=
0
⇔
H
−
2
2
ql
⋅
cos
α
=
0
⇒
H
=
2
2
ql
⋅
cos
45
o
⇒
H
=
2
2
ql
⋅
1
⇒
H
=
2
ql
x
A
A
A
2
A
∑
M
=
0
⇔
2
q
⋅
4
l
⋅
1
⋅
4
l
+
ql
2
−
V
⋅
3
l
+
2
2
ql
⋅
sin
α
⋅
4
l
=
0
⇒
A
2
C
⇒
3
V
=
16
ql
+
ql
+
8
2
ql
⋅
sin
45
o
⇒
3
V
=
17
ql
+
8
2
ql
⋅
1
⇒
3
V
=
25
ql
⇒
C
C
2
C
⇒
V
=
25
ql
C
3
∑
P
=
0
⇔
V
−
2
q
⋅
4
l
+
V
−
2
2
ql
⋅
sin
α
=
0
⇒
V
=
8
ql
−
25
ql
+
2
2
ql
⋅
1
⇒
V
=
5
ql
y
A
C
A
3
2
A
3
Stąd na belkę działają następujące obciążenia:
√
Obecnie możemy już przystąpić do obliczania funkcji sił przekrojowych.
W celu znalezienia funkcji sił przekrojowych należy dokonać „przecięcia” belki pomiędzy
punktami charakterystycznymi. W badanym przypadku będą to trzy przekroje: pomiędzy A
i B, B i C oraz C i D. Po dokonaniu „przecięcia” belki analizujemy „odcięty” fragment
z lewej, lub prawej strony „cięcia” wraz z uzewnętrznionymi siłami przekrojowymi w miejscu
„przecięcia”. Wybór fragmentu belki do analizy równowagi nie ma wpływu na wyniki
obliczeń, ma natomiast wpływ na ich prostotę. Należy więc wybrać ten fragment belki, dla
którego obliczenia są prostsze.
2
89767724.004.png
W celu znalezienia funkcji sił przekrojowych na odcinku A-B „przetnijmy” belkę pomiędzy
tymi punktami przekrojem α-α.
α
√
α
W miejscu „cięcia” uzewnętrzniamy siły przekrojowe, pamiętając, aby wybrać taki zwrot siły
normalnej N(x) , aby rozciągała ona rozpatrywany fragment belki (a więc siła N(x) musi mieć
zawsze kierunek „od belki”); kierunek siły poprzecznej T(x) dobieramy w taki sposób, aby
powodowała obrót badanej części belki zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara;
kierunek działania momentu M(x) zwyczajowo przyjmuje się tak, aby rozciągane były dolne
włókna belki.
α
√
α
W celu znalezienia równań funkcji N(x) , T(x) i M(x) rozpatrujemy równania równowagi
dla wybranego fragmentu belki. Na pierwszy rzut oka
widać, że obliczenia będą łatwiejsze, gdy rozpatrywać będziemy lewą część belki.
P
=
0
,
∑
P
y
=
0
,
∑
M
−α
=
0
3
∑
x
α
89767724.005.png
W tym przypadku równania równowagi mają postać:
∑
P
x
=
0
⇔
N
()
x
+
2
ql
=
0
⇒
N
()
x
=
−
2
ql
∑
P
=
0
⇔
5
ql
−
2
q
⋅
x
−
T
() ()
x
=
0
⇒
T
x
=
5
ql
−
2
qx
y
3
3
∑
M
=
0
⇔
5
ql
⋅
x
−
2
q
⋅
x
⋅
1
⋅
x
−
M
() ()
=
0
⇒
M
x
=
5
qlx
−
qx
2
α
−α
3
2
3
∈ funkcja N(x) jest stała, T(x) zmienia się liniowo,
a M(x) parabolicznie. Oznacza to, że aby narysować wykres funkcji T(x) na tym odcinku
wystarczy nam znajomość wartości funkcji w dwóch punktach pomiędzy A i B, w przypadku
funkcji M(x) potrzebne są wartości w trzech punktach.
x0
,
T
=
T
(
0
)
=
5
ql
−
2
q
⋅
0
=
5
ql
A
3
3
T
l
B
=
T
(
l
)
=
5
ql
−
2
ql
=
−
1
ql
3
3
M
=
M
(
0
)
=
5
ql
⋅
0
−
q
⋅
0
2
=
0
A
3
M
l
B
=
M
(
l
)
=
5
ql
⋅
l
−
ql
2
=
2
ql
2
3
3
Ponieważ pomiędzy siłą tnącą, a momentem zginającym istnieje zależność
dM
(
x
)
≡ ,
T
(
x
)
dx
więc ekstremum momentu występuje w punkcie zmiany znaku siły poprzecznej. Jak widać
punkt taki znajduje się pomiędzy A i B, gdyż siła T(x) zmienia się z wartości dodatniej na
ujemną. Miejsce zmiany znaku jest o x odległe od A
T
(
x
)
=
0
⇔
5
ql
−
2
q
⋅
x
=
0
⇔
x
=
5
l
3
6
W punkcie tym ekstremum lokalne momentu ma wartość:
5
5
5
5
2
25
25
50
−
25
25
M
=
M
l
=
ql
⋅
l
−
q
l
=
−
ql
2
=
ql
2
=
ql
2
ekstr
.
6
3
6
6
18
36
36
36
4
x
Widać, że na odcinku A-B, tj. dla
89767724.006.png 89767724.001.png
 
Tak więc możemy narysować wykresy w przedziale A-B:
Należy pamiętać, aby na wykresach N i T umieszczać znak „+” lub „-”. Na wykresie M
znaków tych nie umieszczamy, rysujemy natomiast wykres zawsze po stronie włókien
rozciąganych. W badanym przedziale moment M(x) jest większy od zera, czyli rozciąga
włókna dolne, tak więc narysowaliśmy go pod osią.
Analogicznie postępując znajdziemy równania funkcji sił przekrojowych w pozostałych
przedziałach.
„Przetnijmy” rozpatrywaną belkę pomiędzy punktami B i C przekrojem
β−
β
β
√
β
5
.
89767724.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin