wmat-w4.pdf

(260 KB) Pobierz
(Microsoft Word - 4. Zginanie pr\352ta.doc)
4. Zginanie pr ħ ta
4. ZGINANIE PR Ħ TA
4.1. Wielko Ļ ci charakteryzuj Ģ ce geometri ħ przekroju
4.1.1. ĺ rodek ci ħŇ ko Ļ ci przekroju
z
A
Całe pole A powierzchni przekroju podzielono na
n cz ħĻ ci o polach powierzchni D A i
D A i
y i
Momenty stat yczne przekroju wzgl ħ dem osi y i z
y c
=
n
=
n
c
S
=
z
D
A
S
=
y
D
A
y
i
i
z
i
i
z i
i
1
i
1
z c
gdy n ®¥ i D A i ®0 Ð
S
=
zdA
Ð
S
=
ydA
y
z
y
A
A
Współrz ħ dne Ļ rodka ci ħŇ ko Ļ ci przekroju
O
y
=
S
z
z
=
S
y
c
c
A
A
c
gdyby z cienkiej blachy wyci Ģę element o kształcie
danego przekroju i zawiesi ę go na nici w Ļ rodku
ci ħŇ ko Ļ ci to b ħ dzie on pozostawał w równowadze
w ka Ň dym poło Ň eniu
Twierdzenia
1. Moment statyczny wzgl ħ dem osi przechodz Ģ cej przez Ļ rodek ci ħŇ ko Ļ ci
przekroju równy jest zeru.
2. Je Ļ li przekrój posiada o Ļ symetrii to Ļ rodek ci ħŇ ko Ļ ci le Ň y na tej osi.
3. Moment statyczny sumy pól wzgl ħ dem wybranej osi równy jest sumie
momentów statycznych tych pól wzgl ħ dem tej Ň e osi.
Przekrój dzielimy na n cz ħĻ ci o polach powierzchni A i , dla których znane s Ģ
współrz ħ dne y ci , z ci poło Ň enia ich Ļ rodków ci ħŇ ko Ļ ci c i .
z
A 1
A 2
Współrz ħ dne Ļ rodka ci ħŇ ko Ļ ci całego przekroju
obliczamy ze wzorów
n
n
=
=
A
y
A
z
y c c
A n
A i
S
i
ci
S
i
ci
y
y
=
z
=
i
1
z
=
=
i
1
z ci
c
c
c i
A
A
A
A
z c
y
gdzie: =
n
A
=
A
- pole powierzchni całej przekroju
O
y ci
i
1
- 1/26 -
41944818.039.png 41944818.040.png 41944818.041.png 41944818.042.png 41944818.001.png 41944818.002.png 41944818.003.png 41944818.004.png
4. Zginanie pr ħ ta
Poło Ň enie Ļ rodka ci ħŇ ko Ļ ci wybranych figur
prostok Ģ t
c
a
b
a
trapez
c
h
trójk Ģ t
h
c
h/3
b
a
b
wycinek pier Ļ cienia
R
sin
a
r
c
2
R
2
+
Rr
+
r
2
2
r c
=
a [rad]
3
R
+
r
a
a
2
r c
przypadki szczególne
a = p /2 a = p /2
r =0
R
R
c
c
r
4 R
3
r c
r c
4
2
R
2
+
Rr
+
r
2
4
2
r c
=
r c
=
R
3
p
R
+
r
3
- 2/26 -
41944818.005.png 41944818.006.png 41944818.007.png 41944818.008.png 41944818.009.png 41944818.010.png 41944818.011.png 41944818.012.png
4. Zginanie pr ħ ta
Przykład:
Wyznaczy ę współrz ħ dne Ļ rodka ci ħŇ ko Ļ ci przekroju ABCDEFGH pokazanego na
rysunku (wymiary podano w mm).
z
H
G
Kolejno Ļę post ħ powania:
1) obieramy układ współrz ħ dnych y , z ,
2) dzielimy przekrój na cz ħĻ ci, których
współrz ħ dne Ļ rodków ci ħŇ ko Ļ ci mo Ň na
łatwo obliczy ę ,
3) numerujemy te cz ħĻ ci od 1 do n ,
4) przygotowujemy tabelk ħ według
podanego ni Ň ej wzoru,
5) do tabelki wpisujemy pola powierzchni A i
kolejnych cz ħĻ ci oraz współrz ħ dne y ci , z ci
ich Ļ rodków ci ħŇ ko Ļ ci,
6) wykonujemy obliczenia w tabeli (kolumny
5 i 6),
2
1
5
E
F
50
c ( 11.67, 21.67)
D
C
3
15
y
A
10
B
30
7) kolumny 2, 5 i 6 podsumowujemy,
8) obliczamy współrz ħ dne Ļ rodka ci ħŇ ko Ļ ci całego przekroju według podanych
wzorów, poło Ň enie Ļ rodka ci ħŇ ko Ļ ci nanosimy na rysunku.
A i z ci
[mm 3 ]
1 2 3 4 5 6
1 100 20 47.5 2000 4750
2 500 5 25 2500 12500
3 300 20 7.5 6000 2250
S 900 10500 19500
y c =10500/900@ 11.67mm z c =19500/900@ 21.67mm
A i
[mm 2 ]
y ci
[mm]
z ci
[mm]
A i y ci
[mm 3 ]
Metoda „ pól ujemnych ”
Rozpatrywany przekrój mo Ň emy potraktowa ę jako zło Ň ony z dwóch figur:
1 – prostok Ģ ta ABGH, 2 – prostok Ģ ta CDEF ale o polu ujemnym.
A i z ci
[mm 3 ]
1 2 3 4 5 6
1 1500 15 25 22500 37500
2 – 600 20 30 –12000 –18000
S 900 10500 19500
y c =10500/900@ 11.67mm z c =19500/900@ 21.67mm
A i
[mm 2 ]
y ci
[mm]
z ci
[mm]
A i y ci
[mm 3 ]
- 3/26 -
i
i
41944818.013.png 41944818.014.png 41944818.015.png 41944818.016.png 41944818.017.png 41944818.018.png 41944818.019.png 41944818.020.png 41944818.021.png 41944818.022.png 41944818.023.png 41944818.024.png 41944818.025.png 41944818.026.png 41944818.027.png 41944818.028.png 41944818.029.png
4. Zginanie pr ħ ta
4.1.2. Momenty bezwładno Ļ ci przekroju
z
A
Całe pole A powierzchni przekroju podzielono na
n cz ħĻ ci o polach powierzchni D A i
y i
D A i
Momenty bezwładno Ļ ci wzgl ħ dem osi
gdy n ®¥ i D A i ®0
=
n
2
J
=
Ð
z
2
dA
J
=
z
D
A
y
y
i
i
r i
i
1
A
z i
=
n
2
J
=
Ð
y
2
dA
J
=
y
D
A
z
y
z
i
i
i
1
A
O
Biegunowy moment bezwładno Ļ ci
gdy n ®¥ i D A i ®0
(
)
J
=
Ð
r
2
dA
=
Ð
y
2
+
z
2
dA
=
O
n
J
=
=
r
2
D
A
J
=
Ð
r
2
dA
A
A
O
O
i
i
2
2
=
Ð
y
dA
+
Ð
z
dA
=
J
+
J
A
i
1
z
y
A
A
Twierdzenie
Biegunowy moment bezwładno Ļ ci równy jest sumie momentów bezwładno Ļ ci
wzgl ħ dem dwóch wzajemnie prostopadłych osi przecinaj Ģ cych si ħ w biegunie.
Moment od Ļ rodkowy (dewiacji, zboczenia)
gdy n ®¥ i D A i ®0
Twierdzenie
Je Ļ li która Ļ z osi y , z jest osi Ģ symetrii
przekroju, to moment od Ļ rodkowy J yz
wzgl ħ dem tych osi równy jest zeru.
=
n
J
=
Ð
yzdA
J
=
y
z
D
A
yz
i
i
i
yz
i
1
A
Definicje
1. Osie y , z zaczepione w Ļ rodku ci ħŇ ko Ļ ci przekroju nazywamy osiami
centralnymi.
2. Osie y , z , wzgl ħ dem których momenty bezwładno Ļ ci J y oraz J z osi Ģ gaj Ģ
ekstremalne warto Ļ ci nazywamy osiami głównymi .
3. Osie centralne , b ħ d Ģ ce równocze Ļ nie osiami głównymi nazywamy głównymi
centralnymi osiami bezwładno Ļ ci (GCOB)
Główne centralne osie bezwładno Ļ ci maj Ģ szczególne znaczenie
przy analizie rozkładu napr ħŇ e ı w pr ħ tach zginanych.
- 4/26 -
41944818.030.png 41944818.031.png 41944818.032.png 41944818.033.png 41944818.034.png
4. Zginanie pr ħ ta
Momenty bezwładno Ļ ci wzgl ħ dem osi równoległych
A
z c
z
d A
y c , z c – osie centralne (zaczepione w
Ļ rodku ci ħŇ ko Ļ ci przekroju)
y , z – osie równoległe do osi centralnych,
przesuni ħ te o y 0 , z 0
z c
z
y 0
y
0
z 0
y
y c
Elementarne pole dA posiada
współrz ħ dne ( y c , z c ) w układzie
centralnym oraz współrz ħ dne ( y , z ) w
układzie przesuni ħ tym.
c
y c
y
=
y
c
−
y
0
z
=
z
c
−
z
0
dJ
=
z
2
dA
=
(
z
−
z
)
2
dA
=
dJ
=
y
2
dA
=
(
y
−
y
)
2
dA
=
y
c
0
z
c
0
=
z
2
dA
−
2
z
z
dA
+
z
2
0
dA
=
y
2
dA
−
2
y
y
dA
+
y
2
0
dA
c
c
0
c
c
0
J
=
Ð
z
2
dA
−
2
z
Ð
z
dA
+
z
2
0
Ð
dA
J
=
Ð
y
2
dA
−
2
y
Ð
y
dA
+
y
2
0
Ð
dA
z
c
0
c
y
c
0
c
A
A
A
A
A
A
J
y
c
0
A
J
z
c
0
A
J
y
=
J
y
c
+
z
2
0
A
wzory Steinera
J
z
=
J
z
c
+
y
2
0
A
Twierdzenie Steinera
Moment bezwładno Ļ ci wzgl ħ dem osi jest równy sumie momentu bezwładno Ļ ci
wzgl ħ dem równoległej osi centralnej oraz iloczynu pola A figury przez kwadrat
odległo Ļ ci mi ħ dzy tymi osiami.
dJ
yz
=
yzdA
=
(
y
c
−
y
0
)(
z
c
−
z
0
)
=
=
y
c
z
c
dA
−
z
0
y
c
dA
−
y
0
z
c
dA
+
y
0
z
0
dA
J
yz
=
Ð
y
c
z
c
dA
−
z
0
Ð Ð
y
c
dA
−
y
0
z
c
dA
+
y
0
z
0
Ð
dA
A
A
A
A
J
y
c z
c
0
0
A
J
yz
=
J
y
c z
c
+
y
0
z
0
A
Twierdzenie
Moment od Ļ rodkowy wzgl ħ dem osi układu przesuni ħ tego jest równy sumie
momentu od Ļ rodkowego wzgl ħ dem osi układu centralnego oraz iloczynu pola A
figury przez iloczyn współrz ħ dnych Ļ rodka układu przesuni ħ tego.
- 5/26 -
41944818.035.png 41944818.036.png 41944818.037.png 41944818.038.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin