MN_05_Uklady_Row_Lin_1.doc

(288 KB) Pobierz

MN05

Układy równań liniowych

Czasem zadania obliczeniowe wymagają wykonania naprawdę wielkiej liczby obliczeń zmiennoprzecinkowych, przy czym wiele znanych, matematycznie równoważnych metod rozwiązywania takich zadań, ma diametralnie różne własności numeryczne. Bardzo ważną klasą takich intensywnych obliczeniowo zadań jest rozwiązywanie układów równań liniowych

gdzie jest nieosobliwą macierzą , a jest dany wektor.

Szacuje się, że około 75 procent czasu obliczeniowego superkomputerów jest wykorzystywanych właśnie na rozwiązywanie takich zadań.

Okazuje się, że kilka znanych w matematyce sposobów rozwiązywania układów równań liniowych, takich jak:

· metoda wyznacznikowa (wzory Cramera);

· obliczenie macierzy i następnie ,

prawie nie nadaje się do numerycznego rozwiązywania takich zadań.

Proste układy równań

Układy z macierzą trójkątną

Rozważmy układ z macierzą trójkątną . Będą nas szczególnie interesować macierze trójkątne górne , dla których , gdy , oraz macierze trójkątne dolne z jedynkami na przekątnej , tzn. () i , mianowicie

i .

Układ z nieosobliwą macierzą trójkątną górną

gdzie , , można rozwiązać stosując algorytm:

Algorytm Podstawienie w tył

$\displaystyle x_N^*\, =\, c_N / u_{N,N}$ ;

for (i = N-1; i >= 1; i--)

$\displaystyle x_i^*\,:=\,\left( c_i\,-\, \sum_{j=i+1}^N u_{i,j}x_j^*\right)/u_{i,i}$ ;

Algorytm ten jest wykonalny, ponieważ nieosobliwość macierzy implikuje, że .

Podobnie, układ rozwiązujemy algorytmem:

Algorytm Podstawienie w przód

$\displaystyle x_1 = c_1$ ;

for (i=2; i <= N; i++)

$\displaystyle x_i = c_i\,-\,\sum_{j=1}^{i-1} l_{i,j} x_j^*$ ;

Oba algorytmy wymagają rzędu mnożeń lub dzieleń i dodawań lub odejmowań, a więc łącznie działań arytmetycznych.

Układy z macierzą ortogonalną

Równie prosto można rozwiązać układ równań

gdy jest macierzą ortogonalną, to znaczy . Z ortogonalności wynika wprost, że

i w konsekwencji można wyznaczyć kosztem takim, jak koszt mnożenia macierzy przez wektor, czyli operacji.

Podobnie, gdy jest unitarna, to znaczy (przypomnijmy: oznacza macierz sprzężoną do , tzn. taką, że ), rozwiązaniem układu równań jest

Metoda eliminacji Gaussa

Carl Friedrich Gauss

Algorytm numerycznego rozwiązywania układu równań metodą eliminacja Gaussa wyrazimy w terminach tzw. rozkładu LU macierzy, to znaczy sprowadzającego zadanie do znalezienia macierzy trójkątnej dolnej (z jedynkami na diagonali) oraz trójkątnej górnej takich, że

a następnie rozwiązania sekwencji dwóch układów równań z macierzami trójkątnymi:

Algorytm Rozwiązanie układu równań z wykorzystaniem rozkładu LU

Znajdź rozkład $\displaystyle A=LU$ ;

Rozwiąż $\displaystyle Ly = b$ przez podstawienie w przód;

Rozwiąż $\displaystyle Ux = y$ przez podstawienie w tył;

Przypuśćmy, że taki rozkład istnieje (nie musi!). Wówczas, zapisując macierze w postaci blokowej, eksponując pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę zaangażowanych macierzy, mamy

$\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}^T\\ a_{21} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0^T\\ l_{21} & L_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12}^T\\ 0 & U_{22}, \end{pmatrix}$

skąd (mnożąc blokowo macierz $\displaystyle L$ przez $\displaystyle U$ ) wynika, że

· $\displaystyle u_{11} = a_{11}$ oraz $\displaystyle u_{12} = a_{12}$ , więc pierwszy wiersz $\displaystyle U$ jest kopią pierwszego wiersza $\displaystyle A$ ,

· $\displaystyle l_{21} = a_{21}/u_{11}$ , więc pierwsza kolumna $\displaystyle L$ powstaje przez podzielenie wszystkich elementów wektora $\displaystyle a_{21}$ przez element na diagonali $\displaystyle a_{11}$ ,

· $\displaystyle A_{22} - l_{21}u_{12}^T = L_{22}U_{22}$ , a więc znalezienie podmacierzy $\displaystyle L_{22}$ oraz $\displaystyle U_{22}$ sprowadza się do znalezienia rozkładu LU zmodyfikowanego bloku $\displaystyle A_{22}$ macierzy $\displaystyle A$ , wymiaru $\displaystyle (N-1)\times (N-1)$ . Macierz $\displaystyle A_{22} - l_{21}u_{12}^T$ nazywamy uzupełnieniem Schura.

Dostajemy więc algorytm rekurencyjny, jednak ze względu na to, że wywołanie rekurencyjne następuje na końcu, można je zastąpić pętlą. Jest to ważne w praktyce numerycznej, gdyż rekurencja kosztuje: zarówno pamięć, jak i czas.

Ponadto zauważmy, że opisany algorytm możemy wykonać in situ (w miejscu), nadpisując elementy $\displaystyle A$ elementami macierzy $\displaystyle U$ i $\displaystyle L$ (jedynek z diagonali $\displaystyle L$ nie musimy pamiętać, bo wiemy a priori, że tam są). Dzięki temu dodatkowo zaoszczędzimy pamięć.

Algorytm Rozkład LU metodą eliminacji Gaussa - wersja prymitywna

for k=1:N-1

if $\displaystyle a_{kk}$ == 0

STOP;

end

for i=k+1:N /* wyznaczenie $\displaystyle k$ -tej kolumny $\displaystyle L$ */

$\displaystyle a_{ik}$ = $\displaystyle a_{ik}/a_{ii}$ ;

end

for j=k+1:N /* modyfikacja podmacierzy $\displaystyle A_{22} = A_{22} - l_{21}u_{12}^T$ */

for i=k+1:N

$\displaystyle a_{ij}$ -= $\displaystyle a_{ik}a_{kj}$ ;

end

Łatwo przekonać się, że $\displaystyle k$ -ty obrót zewnętrznej pętli (tzn. $\displaystyle k$ -ty krok algorytmu rozkładu LU) kosztuje rzędu $\displaystyle 2(N-k)^2$ operacji arytmetycznych, skąd łączny koszt tego algorytmu rozkładu LU wynosi około $\displaystyle \frac{4}{3}N^3$ .

Jeśli więc do rozwiązywania układu równań $\displaystyle Ax=b$ wykorzystamy rozkład LU, to mamy następujące zestawienie kosztów:

· Koszt znalezienia rozkładu $\displaystyle A=LU$ : $\displaystyle O(N^3)$ ;

· Koszt rozwiązania układu $\displaystyle Ly=b$ : $\displaystyle O(N^2)$ ;

· Koszt rozwiązania układu $\displaystyle Ux=y$ : $\displaystyle O(N^2)$ .

Tak więc, gdy znany już jest rozkład LU macierzy, koszt rozwiązania równania wynosi już tylko $\displaystyle O(N^2)$ .

Wybór elementu głównego

Opisany powyżej algorytm rozkładu LU czasem może się niestety załamać: mianowicie wtedy, gdy napotka w czasie działania zerowy element w lewym górnym rogu zmodyfikowanej podmacierzy. Na przykład, macierz

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

jest ewidentnie nieosobliwa, ale nasz algorytm nawet nie ruszy z miejsca, bo od razu zetknie się z dzieleniem przez $\displaystyle a_{11}=0$ ... Ale wystarczy zamienić ze sobą wiersze macierzy $\displaystyle A$ (to znaczy, w układzie równań, zamienić kolejność równań), a dostaniemy macierz, z którą nasz algorytm poradzi sobie bez problemu. Musimy więc --- aby stosować eliminację Gaussa do dowolnych macierzy nieosobliwych --- dokonywać takich permutacji równań, by elementem, przez który dzielimy, była zawsze liczba niezerowa (jest to możliwe, na mocy założenia nieosobliwości macierzy).

W praktyce obliczeniowej, aby uzyskać algorytm wykorzystujemy tzw. strategię wyboru elementu głównego w kolumnie. Polega to na tym, że zanim wykonamy $\displaystyle k$ -ty krok algorytmu rozkładu LU,

· w pierwszej kolumnie podmacierzy $\displaystyle A(k:N,k:N)$ szukamy elementu o największym module (taki element, na mocy założenia nieosobliwości macierzy, jest niezerowy) --- to jest właśnie element główny

· zamieniamy ze sobą wiersz $\displaystyle A(k,1:N)$ z wierszem, w którym znajduje się element główny

· zapamiętujemy dokonaną permutację, bo potem --- gdy już przyjdzie do rozwiązywania układu równań --- będziemy musieli dokonać analogicznej permutacji wektora prawej strony

Wynikiem takiego algorytmu jest więc rozkład

$\displaystyle PA = LU,$