1. Oblicz pięć początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem:
a)
b) .
2. Podaj definicję ciągu liczbowego. Ciąg dany wzorem . Oblicz pierwszy i dziesiąty wyraz ciągu . Wyznacz wyraz ciągu .
3. Oblicz wyraz: , , , ciągu o wyrazie ogólnym
b)
c)
4. Dany jest ciąg .
a) Oblicz piętnasty wyraz tego ciągu.
b) Którym wyrazem tego ciągu jest liczba 10?
c) Ile wyrazów ujemnych ma ten ciąg?
5. Dany jest ciąg .
a) Oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu.
b) Którym wyrazem tego ciągu jest liczba 50?
6. Które wyrazy każdego z ciągów i są równe liczbom: ; 0; 8, jeżeli ; ?
7. Podaj definicję ciągu rosnącego. Wykaż, że ciąg jest ciągiem rosnącym. .
8. Wykaż, że ciąg jest rosnący.
9. Zbadaj monotoniczność ciągu: . Sporządź wykres tego ciągu.
10. Zbadaj monotoniczność ciągu: . Sporządź wykres tego ciągu.
11. Zbadaj monotoniczność ciągu: . Sporządź wykres tego ciągu.
12. Zbadaj monotoniczność ciągu: . Sporządź wykres tego ciągu.
13. Zbadaj monotoniczność ciągów określonych wzorami:
d)
e)
f)
g)
14. Zbadaj monotoniczność ciągu: .
15. Zbadaj monotoniczność ciągu: .
16. Zbadaj, który z poniższych ciągów jest arytmetyczny, który geometryczny:
h)
i)
j)
k)
17. Podaj definicję ciągu arytmetycznego. Czy ciąg jest arytmetyczny?
18. Napisz 5 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego , jeżeli: , .
19. Napisz trzy początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego , jeśli wiadomo, że
a) ,
b) ,
20. Wyznacz ciąg arytmetyczny mając dane: i .
21. W ciągu arytmetycznym z czterech liczb , , , , dane są trzy. Wyznacz brakującą.
a) , , ,
b) a, ,
22. Liczby 3 i 7 są dwoma początkowymi wyrazami pewnego rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu i sumę jego dwudziestu początkowych wyrazów.
23. Liczby 5 i 8 są dwoma początkowymi wyrazami pewnego rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz trzydziesty wyraz tego ciągu i sumę jego trzydziestu początkowych wyrazów.
24. W ciągu arytmetycznym , , oblicz i .
25. Wyznacz ciąg arytmetyczny, jeżeli: , .
26. Ciąg arytmetyczny spełnia warunki: i . Oblicz oraz .
27. Wiedząc, że ciąg jest ciągiem arytmetycznym oraz i , oblicz i .
28. W ciągu arytmetycznym dane są: , . Oblicz .
29. Oblicz sumę:
30. Rozwiąż równanie: .
31. Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych.
32. Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 3.
33. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2.
34. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 3.
35. Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, których reszta z dzielenia przez 3 jest równa 2.
36. Pan Malinowski pożyczył od swojego kuzyna pewną sumę pieniędzy na remont samochodu. Zobowiązał się do zwrotu pożyczki w dwunastu równych ratach, z których każda była o 30 zł większa od poprzedniej. Ostatnia rata wynosiła 400 zł. Oblicz kwotę pożyczoną przez pana Malinowskiego.
37. Wartość użytkowa pewnej maszyny malała z roku na rok w postępie arytmetycznym. Po ilu latach maszyna całkowicie straciła wartość użytkową, jeżeli wiadomo, że jej wartość po 18 latach była dwa razy mniejsza niż jej wartość po 4 latach.
38. Długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 2, a ich iloczyn jest równy 480. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
39. (*) Wykaż, że jeżeli liczby , , są kolejnymi wyrazami pewnego ciąg arytmetycznego, to liczby , , także tworzą ciąg arytmetyczny.
40. Ciągi , , i są określone wzorami ogólnymi: ; ; ; . Zbadaj, który z ciągów jest geometryczny.
41. Podaj definicję ciągu geometrycznego. Czy ciąg jest geometryczny?
42. Wyznacz ciąg geometryczny, jeżeli:
a) , .
b) , .
c) , .
d) , .
e) , .
f) i .
43. Dany jest ciąg geometryczny , , , …. Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu.
44. Wiedząc, że ciąg jest geometryczny i mając dane , , , znajdź: i .
45. O ciągu geometrycznym wiemy, że i . Oblicz i .
46. Oblicz sumę:
47. Liczby 2 i 4 są dwoma początkowymi pewnego malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz dziesiąty wyraz ciągu i sumę jego dziesięciu początkowych wyrazów.
48. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego , wiedząc, że i . Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.
49. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego , wiedząc, że i . Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.
50. Wyznacz i ciągu geometrycznego wiedząc, że , .
51. Wiedząc, że ciąg jest ciągiem geometrycznym oraz i , oblicz i .
52. Liczba mieszkańców w pewnym mieście w ciągu ostatnich lat zwiększała się średnio o ...
matematyka4lo