Wykład 3 - Podstawy mechaniki kwantowej.pdf

(160 KB) Pobierz
Slajd 1
PODSTAWY MECHANIKI
KWANTOWEJ
205218183.018.png
Postulaty mechaniki kwantowej
Obserwacje wielkości fizycznych opisujących stan układu są
reprezentowane przez operatory hermitowskie. Każdej wielkości fizycznej
przyporządkowany jest odpowiedni operator.
Funkcje zespolone, na które działają te operatory, reprezentują stany układu.
Nazywamy je funkcjami falowymi lub funkcjami stanu . Funkcja falowa w
sposób jednoznaczny i pełny określa stan układu. Funkcja falowa powinna
być różniczkowalna (jest wówczas też ciągła) i „całkowalna z kwadratem”,
tzn. całka z kwadratu modułu funkcji musi mieć wartość skończoną.
b
2
ò
ψ
d
3
x
=
P
a
Najczęściej używamy funkcji falowej w takiej postaci, że P=1. Mówimy, że jest ona
znormalizowana. Interpretacja fizyczna znormalizowanej funkcji falowej jest taka,
że |ψ( )|
r
r
2 dxdydz oznacza prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w obszarze o
objętości dxdydz wokół punktu .
205218183.019.png
Związki między operatorami są takie same, jak relacje między wielkościami
fizycznymi w fizyce klasycznej (zasada korespondencji).
Wielkość
obserwowana
Oznaczenie w mechanice
klasycznej
Postać operatora
w tzw. reprezentacji położeniowej
Współrzędna
przestrzenna
x, y, z, lub x 1 , x 2 , x 3
x
ˆ
,
y
ˆ
z
Składowe pędu
p x , p y , p z,
p
=
m
d
x
i
ˆ
=
-
i
x
,
p
ˆ
=
[p
,
p
,
p
]
i
x
y
z
i
dt
i
Energia
kinetyczna
p
2
ˆ
p
2
2
2
2
2
E
=
E
=
=
-
(
+
+
)
k
2
2
2
k
2m
2m
2m
x
y
z
ˆ
2
2
2
2
E
=
-
D
,
D
=
+
+
-
laplasjan
k
2m
x
2
y
2
z
2
Energia
potencjalna
V(x, y, z)
V
ˆ
(
ˆ
,
y
z
ˆ
)
Energia
całkowita
p
2
ˆ
ˆ
ˆ
2
ˆ
E
=
E
+
V
=
+
V(x,
y,
z)
H
=
E
+
V
=
-
D
+
V
(
x
,
y
,
z
,
t)
k
k
2m
2m
Wektor pędu
p
ˆ
-i
=
Ñ
M
r
Wektor momentu
pędu
=
r
´
p
ˆ
M
=
r
´
p
=
-
i
´
Ñ
ˆ
p
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
205218183.020.png 205218183.021.png 205218183.001.png 205218183.002.png 205218183.003.png
Jedynymi możliwymi rezultatami dokładnego (ostrego) pomiaru wielkości
fizycznej są wartości własne operatora, który tej wielkości odpowiada.
Prawdopodobieństwo otrzymania wartości własnej a n jest równe
Jeśli pomiar ma charakter makroskopowy, w efekcie pomiaru otrzymujemy
wartość średnią (wartość oczekiwaną) operatora, zdefiniowaną jako:
ò
ψ
*
(
r
)
ˆ
ψ(
r
)d
3
x
ˆ
ˆ
A
=
ψ
A
=
ψ
ò
ψ
*
(
r
)ψψ
r
)d
3
x
a w przypadku funkcji unormowanej:
A
=
ψ
A
ψ
=
ψ
A
=
ò
ψ
*
(
)
ˆ
ψ(
)d
3
x
ψ
ˆ
ˆ
ˆ
r
r
205218183.004.png 205218183.005.png 205218183.006.png 205218183.007.png
 
Zauważmy, że jeśli funkcja falowa jest funkcją własną operatora, to:
A
ˆ
u
n
=
a
n
u
n
,
ψ
=
u
n
A
ˆ
=
u
n
A
ˆ
u
n
=
u
n
a
n
u
n
=
a
n
u
n
u
n
=
a
n
u
n
W przypadku dowolnej funkcji falowej:
A
=
å
c
m
u
m
A
ˆ
å
c
n
u
n
=
å å
c
*
m
c
n
u
m
a
n
u
n
=
å å
c
*
m
c
n
a
n
u
m
u
n
=
ψ
m
n
m n
m n
å å
c
*
c
a
δ
=
å
c
*
c
a
=
å
c
2
a
m
n
n
mn
n
n
n
n
n
m n
n
n
jeśli funkcja falowa jest unormowana, to
y
y
=
1
y
y
=
å
c
m
u
m
å
c
n
u
n
=
m
n
å å
c
*
c
u
u
=
å å
c
*
c
δ
=
å
c
*
c
=
å
c
2
=
1
m
n
m
n
m
n
mn
n
n
n
m n
m n
n
n
Zatem współczynniki , które stanowią wagę w wyrażeniu na wartość średnią, mają sens
prawdopodobieństwa otrzymania przy pomiarze wyniku równego wartości własnej a n..
c
2
n
ˆ
205218183.008.png 205218183.009.png 205218183.010.png 205218183.011.png 205218183.012.png 205218183.013.png 205218183.014.png 205218183.015.png 205218183.016.png 205218183.017.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin