Wykład 1 - Operatory.pdf

(153 KB) Pobierz
Slajd 1
OPERATORY
205218141.007.png
Definicja operatora
Rozważmy przestrzeń liniową, będącą zbiorem ciągłych funkcji zespolonych, określonych w
pewnym przedziale domkniętym [ a,b ] liczb rzeczywistych.
W notacji Diraca , funkcje jako elementy przestrzeni zapisujemy w postaci:
f
=
f
f
=
f
*
W przestrzeni tej występują działania (muszą spełniać szereg warunków, np.
muszą być przemienne oraz mieć elementy zerowe):
- dodawanie funkcji
- mnożenie funkcji przez liczbę zespoloną.
Przestrzeń jest unitarna , jeżeli dodatkowo jest zdefiniowane mnożenie skalarne
funkcji, które będziemy zapisywać w postaci:
Tzw. norma
b
b
f
Ä
g
=
f
g
=
ò
f
*
g
dx
f
=
f
f
=
ò
f
*
f
dx
a
a
Operator – odwzorowanie, przekształcające dowolną funkcję należącą do jakiejś
przestrzeni w inną funkcję, należącą do tej samej przestrzeni
A
=
g
ˆ
205218141.008.png 205218141.009.png
Przykład 1:
Przykład 2:
A
=
x
B
=
x
A
=
x
f
lub
A
ˆ
f
=
xf
f
f
ˆ
ˆ
B
=
lub
B
f
=
x
x
Łatwo sprawdzić, że działanie kolejnych operatorów na funkcje nie musi być przemienne
A
ˆ
=
x
f
,
B
ˆ
ˆ
=
(xf)
=
f
+
x
f
x
x
x
A
ˆ
=
x
,
B
ˆ
ˆ
=
1
+
B
ˆ
x
A
ˆ
-
B
ˆ
=
-
1,
A
ˆ
-
B
ˆ
=
[
ˆ
B
komutator
Dwa operatory komutują wzajemnie, jeśli ich komutator jest równy zero – to oznacza, że
są one przemienne. W przeciwnym przypadku operatory są nieprzemienne.
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
205218141.010.png 205218141.001.png 205218141.002.png 205218141.003.png
Równanie własne
Jeśli działanie operatora na pewną funkcję u sprowadza się do pomnożenia tej funkcji
przez liczbę, tzn. spełnione jest równanie:
A
=
au
in.
A
u
=
a
u
Równanie to nazywamy równaniem własnym (rozwiązanie tego równania –
zagadnieniem własnym ) operatora, funkcje u – funkcjami własnymi , zaś liczby a –
wartościami własnymi operatora.
Jeśli jednej wartości własnej odpowiada więcej niż jedna (d >1) funkcja własna, to mówimy,
że wartość ta jest d – krotnie zdegenerowana (lub zwyrodniała).
Zbiór wartości własnych nazywamy widmem operatora.
Widmo może być:
Widmo
dyskretne
(oddzielone wartości)
ciągłe
(wartości z pewnego przedziału)
ˆ
ˆ
205218141.004.png
Przykład 1:
p
=
-
i
d
,
p
ˆ
f
=
a
f
-
i
df
=
a
dx
dx
f(x)
=
Ce
ikx
,
spr
:
-
i
d
=
-
i
(i
k
Ce
ikx
)
=
f,
p
=
dx
p jest więc wartością własną.
Jeśli nie byłoby dodatkowych warunków, to k mogłoby być dowolną liczbą rzeczywistą i
widmo badanego operatora miałoby charakter ciągły.
Często w fizyce ciała stałego na funkcję narzuca się warunek periodyczności (okresowości),
tzn. zakłada się, że:
f(x
+
L)
=
f(x)
L – okres funkcji. Wówczas:
e
ik
(
x
+
L
)
=
e
ikx
,
k
=
2
p
n
,
n
=
0
±
1
±
2
,...
k
=
2
p
n
,
f
=
C
exp(
2
p
i
n
x
)
p n
n
n
L
L
p n
=
=
k
2π
n
L
Widmo dyskretne, wartości własne niezdegenerowane
ˆ
k
k
205218141.005.png 205218141.006.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin