6a. Momenty bezw-c.d_wykład.pdf

(84 KB) Pobierz
PRZESUNI Ę CIE i OBRÓT MOMENTÓW
BEZWŁADNO Ś CI FIGUR PŁASKICH
GŁÓWNE OSIE I MOMENTY BEZWŁADNO Ś CI
Wpływ przesuni ę cia osi na momenty bezwładno ś ci. Twierdzenie Steinera
Przesuńmy prostokątny układ współrzędnych w stosunku do pierwotnie przyjętego
Oxy o składowe przesunięcia a , b . W ten sposób uzyskuje się nowy układ
(omega, ksi, eta) (rys.1). Znając dla pierwotnego układu osi momenty
bezwładności I x , I y i moment zboczenia I xv , wyznacza się dla nowego układu
momenty I x , I h , I xh
Wxh
= ∫ 2
= ∫ 2
= ∫
I
h
dA
I
x
dA
I
xh
dA
x
h
xh
A
A
A
Rys. 1.
Po podstawieniu
x
= x - a,
h
= y - b otrzymuje się
(
)
2
∫
∫
∫
∫
2
2
I
=
y
-
b
dA
=
y dA
-
2
ybdA
+
b dA
x
A
A
A
A
∫
2
I
=
I
-
2
b
ydA
+
Ab
x
x
(1)
A
Analogicznie
∫
2
I
=
I
-
2
a
xdA
+
Aa
h
y
(2)
A
1
Moment zboczenia
) (
)
(
∫
∫
I
=
xh
dA
=
x
-
a
y
-
b dA
=
xh
A
A
∫
∫
∫
∫
=
xydA
-
xbdA
-
yadA
+
abdA
A
A
A
A
∫
∫
I
=
I
-
b
xdA
-
a
ydA
+
abA
xh
xy
(3)
A
A
zauwaŜmy, Ŝe całki
∫
∫
ydA
=
S
xdA
=
S
,
są momentami statycznymi
x
y
A
A
W przypadku gdy początek układu xy pokrywa się ze środkiem cięŜkości figury,
momenty statyczne są równe zeru:
∫
∫
ydA
=
0 ,
xdA
=
0
A
A
Wówczas wzory (1), (2) i (3) moŜna przedstawić prościej
2
I
=
I
+
Ab
x
x
(4)
2
I
=
I
+
Aa
h
y
(5)
I
=
I
+
abA
xh
xy
(6)
Wzory (4), (5) i (6) wyraŜają twierdzenie Steinera .
Jakub Steiner (1798-1863) - matematyk szwajcarski. Twierdzenie to jednak było znane juŜ wcześniej.
Moment bezwładności figury płaskiej względem osi odległej od środka cięŜkości
o odległości a jest równy momentowi bezwładności względem osi równoległej
przechodzącej przez środek cięŜkości, zwiększonemu o iloczyn całej powierzchni
figury przez kwadrat odległości a ( Aa 2 ).
2
 
Moment odśrodkowy (zboczenia) figury płaskiej względem układu osi o początku
przesuniętym względem środka cięŜkości figury o odległości a i b jest równy
momentowi zboczenia dla układu o osiach równoległych i początku w środku
cięŜkości, zwiększonemu o iloczyn powierzchni figury płaskiej i obydwu
składowych przesunięcia ( Aab ).
Z twierdzenia Steinera wypływa wniosek, Ŝe moment bezwładności względem
prostej przechodzącej przez środek cięŜkości jest zawsze mniejszy od momentu
bezwładności względem prostej do niej równoległej.
Obrót układu osi
Obróćmy prostokątny układ współrzędnych względem pierwotnie przyjętego Oxy
o kąt
j
. W ten sposób uzyskuje się nowy układ
Wxh
, przy czym
W
= O (rys.2).
_
-
-
-
-
x
=
OD
=
OK
+
BL
=
OB
cos
j
+
AB
sin
j
=
x
cos
j
+
y
sin
j
_
-
-
-
-
h
=
AD
=
AL
-
DL
=
AB
cos
j
-
OB
sin
j
=
y
cos
j
-
x
sin
j
A
D
K
L
j
B
Rys. 2.
Znając dla pierwotnego układu osi momenty bezwładności względem osi I x , I y i
układu osi I xy , wyznaczamy dla nowego układu
Wxh
momenty osiowe I x , I h i
moment odśrodkowy (zboczenia) I xh
3
 
= ∫ 2
= ∫ 2
= ∫
I
h
dA
I
x
dA
I
xh
dA
x
h
xh
A
A
A
Jak wynika z rysunku 2
x
=
x
cos
j
+
y
sin
j
h
=
y
cos
j
-
x
sin
j
stąd
(
)
2
∫
I
=
y
cos
j
-
x
sin
j
dA
=
x
A
∫
∫
∫
2
2
2
2
=
y
cos
j
dA
-
2
xy
sin
j
cos
j
dA
+
x
sin
j
dA
A
A
A
2
2
I
=
I
cos
j
+
I
sin
j
-
2
I
sin
j
cos
j
x
x
y
xy
2
2
I
=
I
cos
j
+
I
sin
j
-
I
sin2
j
ξ
x
y
xy
(7)
Analogicznie
∫
2
I
= A
(
x
cos
j
+
y
sin
j
)
dA
h
2
2
I
=
I
sin
j
+
I
cos
j
+
2
I
sin
j
cos
j
h
x
y
xy
2
2
I
=
I
sin
j
+
I
cos
j
+
I
sin2
j
η
x
y
xy
(8)
Moment zboczenia
(
)(
)
∫
∫
I
=
xh
dA
=
x
cos
j
+
y
sin
j
y
cos
j
-
x
sin
j
dA
=
xh
A
A
∫
∫
2
2
=
xy
cos
j
dA
-
x
sin
j
cos
j
dA
+
A
A
∫
∫
2
2
+
y
sin
j
cos
j
dA
-
xy
sin
j
dA
A
A
4
1
I
=
I
-
I
sin2
j
+
I
cos2
j
ξη
x
y
xy
2
(9)
Wstawiając
2
2
sin
j
+
cos
j
=
1
2
2
cos
2
j
=
cos
j
-
sin
j
0
0
0
2
2
cos
2
j
=
cos
j
-
1
+
cos
j
0
0
0
1
+
cos2
j
2
cos
j
=
0
0
2
2
2
sin
j
+
cos
j
=
1
2
2
cos
2
j
=
1
-
sin
j
-
sin
j
2
cos
2
j
=
1
-
2
sin
j
1
-
cos2
j
2
sin
j
=
2
1
-
cos
2
j
1
+
cos
2
j
2
2
sin
j
=
cos
j
=
, 2
sin
j
cos
j
=
sin
2
j
,
2
2
otrzymujemy
(
1
2
1
2
)
(
)
I
=
I
+
I
+
I
-
I
cos
2
j
-
I
sin
2
j
x
x
y
x
y
xy
(10)
1
2
1
2
(
)
(
)
I
=
I
+
I
-
I
-
I
cos
2
j
+
I
sin
2
j
h
x
y
x
y
xy
(11)
1
2
(
)
I
=
I
-
I
sin
2
j
+
I
cos
2
j
xh
x
y
xy
(12)
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin