calki.pdf

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie)

1/32

Całki funkcji elementarnych jednej zmiennej

całkowanie przez części i przez podstawienie

Ten bryk będzie się nieco różnić od pozostałych. Tym razem skupimy się głównie na

przykładach, gdyż o ile liczenie pochodnych było dosyć „schematyczne” i polegało głównie na

zaglądaniu w tablice, to liczenie całek jest to głównie korzystanie z doświadczenia i obycia w

nich . Wiem, że to przykro zabrzmi, ale kilkanaście przykładów trzeba zrobić, gdyż praktycznie

każdy przykład wymaga osobnego potraktowania.

Ponieważ będą tutaj obecne głównie przykłady (a byście nie byli zdziwieni – głównie

zadania z książki jak zwykle bezcennego tandemu Gewert&Skoczylas „Analiza Matematyczna 1

Przykłady i Zadania”), raczej te łatwiejsze – bo trudniejszych sam nie umiem, a na łatwiejszych być

może łatwiej jest załapać, pozwolę sobie zamieścić poniżej króciutki spis treści:

1. Przypomnienie o całkach

- strona 1

3. Całkowanie przez podstawienie

- strona 12

W pierwotnej wersji tych rozdziałów było siedem, ale, przyznam się szczerze – nie wiem,

jak wyrobię się z czasem, bo lubię być leniwy, mogę być pijany, skacowany albo kujonować, ile

wlezie, a nie na wszystkie egzaminy mogę zdążyć.

Dlatego, na razie – podstawowe metody przy całkowaniu.

Przypomnijmy sobie najpierw, o czym tak naprawdę mówimy.

1. Przypomnienie o całkach

Przy poprzedniej ściądze (z pochodnych) użyliśmy po raz pierwszy słowa „całka” przy tzw.

funkcji pierwotnej, uznając, że jeżeli:

F ' (x) = f (x)

to wtedy ta funkcja F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x).

Na przykład, funkcją pierwotną

był logarytm naturalny:

F (x) = ln x + C

gdzie C jest dowolną stałą (bo, jak wiadomo, pochodna z samej liczby równa się gów...

zero).

Takie „znajdowanie” funkcji pierwotnej to całkowanie , zaś funkcję pierwotną można

nazwać całką nieoznaczoną :

∫ f  x  dx = F  x  C

Znaczek dx , nie wdając się w szczegóły, pokazuje nam, która zmienna rozpieprza cały

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

2. Całkowanie przez części

- strona 3

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie)

2/32

przykład i przyprawia nas o ból głowy. Nie powinno się zapominać o pisaniu dx , tak samo jak nie

powinno się zapominać o lim przed granicami. O ile przy granicach – da się przeżyć, ewentualnie

na końcu piszemy „dąży do”, to nie powinniśmy zapominać o tym dx – jak się później okaże, ten

„wskaźnik” jest bardzo ważny... ale nie niezastąpiony.

Wiele całek możemy obliczyć przez zgadywanie, albo zerżnięcie z tablic.

Na przykład, obliczmy taką całkę:

∫  x 3 5 x 2  dx

Wiemy, korzystając z liniowości całki , że jak mamy plus albo minus i nigdzie poza

nawiasem nie przeszkadzają nam pierwiastki, to możemy rozpieprzyć całkę na dwie:

∫  x 3 5 x 2  dx = ∫ x 3 dx  ∫ 5 x 2 dx

Na spokojnie obliczymy sobie osobno te całki, dla przejrzystości – tą stałą C dowalimy, jak

policzymy wszystko.

Z tablic wiemy, że:

∫ x n dx = x n 1

n 1

Więc nasz pierwszy wężyk zamieni się w:

∫ x 3 dx = x 31

31 = x 4

Pomajstrujmy z drugim. Wiemy, że stałe czynniki można wypieprzyć przed całki

(analogicznie, jak przy liczeniu pochodnych):

∫ 5 x 2 dx =5 ∫ x 2 dx

Zabawa z policzeniem tego, co jest po prawej stronie wężyka, wygląda tak, jak poprzednio:

5 ∫ x 2 dx =5∗ x 3

Podstawiając wszystko do naszego wzorku *):

∫ x 3 dx  ∫ 5 x 2 dx = x 4

4  5 x 3

3  C

I wsio, przykład policzony.

Problem w tym, że rzadko kiedy zdarzają się przykłady właśnie typu „weź i rżnij w

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie)

3/32

ulubiony przez siebie sposób”.

O, na przykład każą nam policzyć taką całkę:

∫ arcsin x dx

Pewno niejeden (niejedna) z was spojrzy na tablice, „tak, elegancka pochodna z tego jest,

ale gdzie, do ciężkiej cholery, jest całka z tego?”.

Do liczenia tego typu całek (gdy np. pochodna tej funkcji w środku jest przyjemna w

całkowaniu albo przy dwóch, zupełnie różnych funkcjach) korzystamy z metody całkowania przez

części .

2. Całkowanie przez części

Być może wytrwali Czytelnicy (każdy taki jest chyba nienormalny) pamiętają, jak

wspominałem pod koniec bryku o pochodnych, by poeksperymentować z wzorem na iloczyn

pochodnych.

Przypomnę – jeżeli mamy se do policzenia pochodną z mnożenia dwóch jakiśtam cosiów, to

stosujemy taką fantazyjną, rodem z Kamasutry, roszadę:

[ f  x ∗ g  x ] ' = f '  x ∗ g  x  f  x ∗ g'  x 

Jeżeli ja ją teraz obustronnie scałkuję (a co, moja kartka, mogę bazgrać, co tylko zechcę),

jednocześnie dodając to dx , by ludzie wiedzieli, która zmienna jest skazana, to wyjdzie nam taki

potworek:

∫ [ f  x ∗ g  x ] ' dx = ∫ [ f '  x ∗ g  x  f  x ∗ g '  x ] dx

Korzystając z faktu, że jeżeli pod całką mamy sumę – to mogę ją „rozbić” oraz z tego, że

całka wypierdala pochodną, to dojdziemy do takiego wzorku:

f  x ∗ g  x = ∫ f '  x ∗ g  x  dx  ∫ f  x ∗ g'  x  dx

Przenosząc pierwsze zwierzątko z prawej strony na lewą, dochodzimy do ostatecznego

wzoru na liczenie przez części:

∫ f  x ∗ g '  x = f  x ∗ g  x − ∫ f '  x ∗ g  x  dx

No dobra, ale co to nam w ogóle da? Pojawia się dodatkowa całka po prawej stronie? Dwie

pochodne?

Panie, daj pan spokój, gdzie wódka?

Okazuje się jednak, że w tym szaleństwie jest metoda, którą pokażę na początku na prostym

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie)

4/32

przykładzie:

Przykład a) [jak np. Aleksandria]

∫ ln x dx

Patrzymy w podstawowe wzory... i tutaj lipa, bo brakuje logarytmu naturalnego.

Spokojnie, najpierw – ot tak, dla picu – dopiszę sobie jedynkę w tym przykładzie:

∫ ln x ∗1 dx

Nic w tym nie ma zdrożnego, wartość się na pewno nie zmieniła. Ale ta funkcja powyżej

jest funkcją „wyjściową”, od której zaczniemy zabawę, czyli tym naszym początkiem wzoru na

całkowanie przez części:

∫ f  x ∗ g '  x = ∫ ln x ∗1 dx

I teraz zbudujemy sobie taką prostą tabelkę 2 x 2, w którą wpiszę sobie to, co na razie

wykombinowaliśmy (korzystając ze strzałek):

f  x =ln x

g '  x =1

...

Teraz w miejsce kropek wpisujemy:

f  x =ln x g '  x =1

f '  x  g  x 

… no, na co czekamy, wypełnijmy ją do końca:

f  x =ln x

g '  x =1

f '  x = 1

g  x = x *

Zauważcie, że w miejscu oznaczonym gwiazdką my g`(x) niejako całkujemy, ale przecież

obliczenie całki z jedynki nie jest takie trudne (oczywiście, olewamy również tą stałą całkowania

C ).

I teraz robimy takiego numera: mnożymy to, co leży na przekątnej (z lewej do prawej) tej

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie)

5/32

tabelki:

f  x =ln x

g '  x =1

f '  x = 1

g  x = x

ln x ∗ x

I odejmujemy całkę z iloczynu tego, co leży w drugim wierszu:

f  x =ln x

g '  x =1

f '  x = 1

g  x = x

ln x ∗ x − ∫ x ∗ x dx

Teraz, gdy spojrzymy sobie na ten nasz wymyślony wzór na całkowanie przez części:

∫ f  x ∗ g '  x = f  x ∗ g  x − ∫ f '  x ∗ g  x  dx

Kurde, zgadza się, wyszedł nam tworek, którego da się wyliczyć, a więc:

∫ ln x dx =ln x ∗ x − ∫ x ∗ x dx

Dla porządku – policzmy tę całkę po prawej stronie:

∫ x ∗ x dx

( dx można traktować podobnie jak „i” w liczbach zespolonych – nic to to w sumie nie robi, ale

możemy ją w przekształceniach traktować jako zwykłą zmienną – czyli w powyższym przypadku np.

wyrzucić do mianownika)

Jak od razu zauważyliśmy, iksy się zniosą – pozostaje nam do policzenia prosta całka ∫ dx ,

która to oczywiście, zgodnie ze wzorami, jest równa x .

Więc ∫ ln x dx równa się:

∫ ln x dx =ln x ∗ x − x  C

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: