Matematyka dyskretna 2004 - 01 Podstawowe pojęcia, oznaczenia.pdf

(134 KB) Pobierz
41217170 UNPDF
Matematyka Dyskretna
Andrzej Szepietowski
25 marca 2004 roku
Rozdział 1
Podstawowe pojecia, oznaczenia
1.1 Sumy
Maj ac dany sko nczony ci ag a 1 , a 2 ,... a k , sume jego elementów zapisujemy jako
k X
a i :
i=1
Niezbyt formalnie mozemy to zapisac
k X
a i = a 1 + a 2 ++ a k :
i=1
Jako przykład zastosujmy symbol sumy do zapisu wzoru na sume ci agu arytmetycznego ).
k X
i = 1 + 2 ++ k =
(k + 1)k
2
(1.1)
i=1
oraz wzoru na sume ci agu geometrycznego ).
k X
x i = 1 + x + x 2 ++ x k = x k+1 1
x1
;
(1.2)
i=0
(wzór (1.2) jest słuszny dla kazdego x 6= 1 )
Bedziemy tez uzywac zapisu typu
X
a i = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 :
1i6
W tym przypadku zbiór indeksów okreslony jest za pomoc a warunku pod znakiem sumy.
Warunek okreslaj acy indeksy, po których nalezy sumowa c moze byc bardziej skompliko-
wany, na przykład
X
a i = a 2 + a 4 + a 6 :
1 i 6
i parzyste
3
41217170.001.png 41217170.002.png
4
Rozdział 1. Podstawowe pojecia, oznaczenia
Stosowac bedziemy takze zapis
X
a i
i2I
oznaczaj acy sume tych elementów a i , których indeksy nalez a do sko nczonego zbioru
indeksów I . Na przykład, jezeli I =f1; 3; 5; 7g , to
X
a i = a 1 + a 3 + a 5 + a 7 :
i2I
Mozemy tez sumowac ci agi, których elementy zalez a od dwóch indeksów,
X
X
X
a ij =
a ij a 12 + a 13 + a 22 + a 23 + a 32 + a 33 :
1 i 3
2 j 3
1i3
2j3
Za pomoc a podwójnej sumy mozemy, na przykład, przedstawi c uogólnione prawo roz-
dzielnosci mnozenia wzgledem dodawania:
0
1
0
1
X
X
X
@
A
@
A
a i
b j
=
a i b j
(1.3)
1im
1jn
1 i m
1 j n
a takze wzór na podnoszenie sumy do kwadratu:
0
@
A 2
X
X
X
a i +
a i
=
2a i a j
(1.4)
1im
1im
1i<jm
1.2 Iloczyny
Aby zapisac iloczyn elementów ci agu a 1 , a 2 ,..., a k , stosujemy zapis
k Y
a i :
i=1
Znów niezbyt formalnie mozemy to zapisac jako
k Y
a i = a 1 a 2 a k :
i=1
1.3 Zbiory
; oznacza zbiór pusty, który nie zawiera zadnych elementów.
N oznacza zbiór liczb naturalnych N =f0; 1; 2; 3; : : :g .
Z oznacza zbiór liczb całkowitych.
1
1.3. Zbiory
5
Q oznacza zbiór liczb wymiernych.
R oznacza zbiór liczb rzeczywistych.
a2A oznacza, ze elment a nalezy do zbioru A , a =2A , ze elment a nie nalezy do
zbioru A . Najprostszy sposób zdefiniowania zbioru polega na wypisaniu jego elementów
w nawiasach klamrowych. Na przykład zbiór f1; 2; 3g zawiera elementy 1,2,3. Inny spo-
sób definiowania zbioru polega na podaniu własnosci, któr a spełniaj a elementy zbioru.
Na przykład fxjx2N; 3 < x < 7g oznacza zbiór liczb naturalnych wiekszych od 3 i
mniejszych od 7.
jAj oznacza moc zbioru A , czyli liczbe jego elementów.
jf3; 6; 9gj= 3; j;j= 0:
A[B oznacza sume zbiorów , czyli zbiór zawieraj acy elementy, które nalez a do A lub do
B :
A[B =fx : x2A lub x2Bg:
A zatem suma A[B zawiera wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru
B .
A\B oznacza iloczyn lub przekrój zbiorów , czyli zbiór zawieraj acy elementy, które
nalez a do obu zbiorów naraz.
A\B =fx : x2A i x2Bg:
AB oznacza róznice zbiorów , czyli zbiór zawieraj acy elementy, które nalez a do A
i nie nalez a do B .
AB =fx : x2A i x =2Bg:
Przykład 1.1 Dla A =f1; 2; 4g i B =f1; 4; 6g mamy:
A[B =f1; 2; 4; 6g;
A\B =f1; 4g;
AB =f2g:
AB oznacza, ze zbior A zawiera sie w zbiorze B , to znaczy wszystkie elementy zbioru
A nalez a do zbioru B .
f2; 1gf1; 2; 3g
Dwa zbiory s a równe jezeli zawieraj a te same elementy, lub inaczej A = B wtedy i tylko
wtedy gdy AB i BA .
f1; 4; 2; 3g=f4; 1; 3; 2g:
Jak widac kolejnosc elementów w zapisie zbioru nie ma znaczenia. I tak na przykład
f1; 2g=f2; 1g . Taki zbiór dwuelementowy nazywamy par a nieuporz adkowan a .
W ponizszym lemacie zebrano podstawowe własnosci operacji sumy i iloczynu zbio-
rów.
Lemat 1.2 A[B = B[A
(przemiennosc sumy).
A\B = B\A
(przemiennosc iloczynu).

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin