AKADEMIA EKONOMICZNA
IM. OSKARA LANGEGO
WE WROCŁAWIU
WYDZIAŁ ZARZĄDZANIA I INFORMATYKI
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ
(wybrana problematyka)
WYKONAŁ:
Rafał Ch.
ZI Stacjonarne
ROK I
GR.11
Funkcje wymierne.
Funkcją wymierną nazywamy iloraz U/W dwóch wielomianów U oraz W. Dziedziną funkcji wymiernej U/W jest różnica mnogościowa zbioru R (wszystkich liczb rzeczywistych) i zbioru zer wielomianu W.
Na przykład funkcja
jest wymierna i dziedziną jej jest zbiór R\{2,5}, czyli zbiór jaki otrzymamy, jeżeli ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych usuniemy liczby 2 i 5, co notujemy też w postaci x2 oraz x5.
Suma skończonej liczby funkcji wymiernych jest funkcją wymierną.
Równanie typu nazywamy wymiernym, jeżeli występujące w nim funkcje f i g są wymierne.
Metody rozwiązywania. Z grubsza biorąc główna metoda rozwiązywania takich równań polega na mnożeniu obu stron równania wymiernego przez taki wielomian, że po wymnożeniu otrzymamy już równanie algebraiczne. Jeżeli obie strony równania są napisane jako sumy ilorazów wielomianów, to wielomianem takim jest najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) mianowników występujących ułamków. Otrzymane równanie algebraiczne jest równoważne równaniu wyjściowemu w dziedzinie równania wyjściowego.
Przykład, rozwiązać równanie:
(a)
Rozwiązanie. Dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające warunek:
(b) x oraz x2
Po pomnożeniu obu stron równania (a) przez wielomian (x-1)(x-2) otrzymujemy:
(a1) (2x+1)(x-2)=(x-1)(x+2)
skąd po wymnożeniu u redukcji:
(a2)
Równanie (a2) ma 2 rozwiązania:
(c ) x1=0, x2=4
Liczby te są również rozwiązaniami równoważnego równania (a1), a wobec tego, że liczby (c ) spełniają warunek (b), są one także poszukiwanymi rozwiązaniami równania (a).
Odpowiedź. Równanie (a) ma 2 rozwiązania: x1=0, x2=4
Funkcje wykładnicze
Funkcją wykładniczą o podstawie a, a>0, nazywamy funkcję oznaczoną symbolem expa postaci:
Twierdzenie. Funkcja wykładnicza expa jest
(a) rosnąca dla a>1
(b) malejąca dla 0<a<1
(c) stale równa 1 dla a=1
(d) dodatnia i ciągła dla każdego x
(e) przy warunku 0<a oraz a 1
przyjmuje każdą wartość dodatnią dokładnie jeden raz, to znaczy dla każdego d > 0 istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista b taka, że ab=d.
Własność (e) oznacza geometrycznie, że każda prosta równoległa do osi Ox o równaniu y=d, przy d>0, ma z wykresem funkcji wykładniczej y=ax, przy a spełniającym warunek 0<a oraz a 1, dokładnie jeden punkt wspólny (rys. 10.1)
Wniosek. Z własności (a) i (b) podanych w twierdzeniu (powyżej) wynika, że jeżeli liczba a spełnia warunek 0<a oraz a 1, to dla każdych b oraz c rzeczywistych spełniona jest implikacja:
Na rysunku 10.2 podane są wykresy funkcji expa przy a=2 oraz a=1/2, czyli funkcje y=2x oraz .
Funkcje logarytmiczne.
Niech g oznacza liczne dodatnią i różną od 1. Wówczas przez funkcję logarytmiczną przy podstawie g, symbol logg , rozumiemy funkcję postaci:
dla x>0
Twierdzenie. Funkcja logg jest
(a) dla g>1 rosnąca,
(b) dla 0<g<1 malejąca,
(c) ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny,
(d) odwrotna do funkcji expg
Z punktów (a) i (b) powyższego twierdzenia wynika, że funkcja logg , przy założeniu 0<g oraz g1, jest zawsze różnowartościowa, to znaczy , z czego wynika ważna praktycznie implikacja:
Otrzymywanie wykresu funkcji logarytmicznej y=loggx z wykresu funkcji wykładniczej y=gx
Przy a > 0, a 1 definiujemy funkcję loga: (0,) R ,w sposób następujący , że ay=x. Zatem funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Stąd wyprowadza się jej własności:
,
.
Gdy 0 < a < 1 to funkcja loga jest malejąca i jest rosnąca gdy a > 1.
Wielomian jednej zmiennej x jest to funkcja określona na zbiorze R, która daje się zapisać w następujący sposób:
, gdzie:
i nazywają się współczynnikami
a0 - współczynnik (wyraz) wolny
Stopień
Dzielenie dwóch wielomianów nie zawsze jest wielomianem.
Dzielenia wielomianów dokonujemy w słupku.
Przykład:
Wielomian W(x) dzieli się bez reszty przez dwumian (x-a)
ZałożenieW(x),
TwierdzenieW(a)= 0
Dowódx = a <=> W(a) = (a-a) · P(x) + RW(a) = 0 + R i R = 0W(a) = 0
ZałożenieW(x),W(a) = 0
Twierdzenie
Dowód
x = a <=> W(a) = (a-a) · P(x) + R0 = 0 · P(x) + R R = 0
Jeżeli wielomian dzieli się przez x-a to a jest jego pierwiastkiem
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-a równa się wartości wielomianu dla x = a
x = a <=> W(a) = (a-a) · P(x) + RW(a) = 0 · P(x) + R W(a) = R
W przypadku stopni mniejszych od trzech zostały one omówione w innych działach.
Równanie stopnia n może mieć najwyżej n pierwiastków. Jeżeli stopień wielomianu jest parzysty może wcale taki wielomian nie mieć pierwiastków, gdy jest nieparzysty ma co najmniej jeden pierwiastek.
Są dwie metody szukania pierwiastków:
· rozkład na czynniki (z użyciem praw algebry (prawo rozdzielczości mnożenia względem dodawania, grupowanie wyrazów, wzory skróconego mnożenia))
· metoda prób i błędów
Jeżeli istnieją wymierne pierwiastki W(x) to są one postaci x0 = p/q.
p - jest podzielnikiem wyrazu wolnego
q - jest podzielnikiem an (gdy an = 1 to x0 jest całkowite i dzieli wyraz wolny)
Metodę tę znacznie ułatwia posługiwanie się metodą "Honera" Polega ona na posługiwaniu się następującą tabelką
[kandydat(x0 = p/q)]
an
a(n-1)
a(n-2)
....
a0
x1= p1 /q1
z1= an
z2= x1 · z1 + a(n-1)
z3= x1 · z2 + a(n-2)
.....
zn= ...
p2/q2
Gdy zn dla x1 równe jest zero to x1 jest pierwiastkiem tego wielomianu a wielomian ten rozkłada się w sposób następujący:
W(X) = (x - x1)(z1 ·x(n-1) + z2 ·x(n-2) + .... + z(n-1))
Uwaga: należy umieszczać w tabelce także współczynniki a = 0
Uwaga: Przy rozwiązywaniu równań wyższych stopni również przydatne okazuje się wprowadzenie pomocniczej niewiadomej w celu uproszczenia rozwiązania
Wyznaczamy resztę z dzielenia W(x) przez ...
protur