2_prawdopodobienstwo_zadania.pdf

dr inz. Magdalena Topczewska

Cwiczenia nr 2

Prawdopodobienstwo

Zakres teorii

denicje prawdopodobienstwa (aksjomatyczna, klasyczna, geometryczna, statystyczna)

prawdopodobiestwo warunkowe

zdarzenia zalezne i niezalezne

prawdopodobienstwo zupelne

wzor Bayesa

Niech b , edzie zbiorem niepustym zdarzen elementarnych, skonczonym lub przeliczalnym, zwanym przestrzeni , a. ZbiorS, b , ed , acy

rodzin , a podzbiorow zbioru { zdarzen losowych, nazywamy algebr , a przeliczalnie addytywn , a lub algebr , a borelowsk , a, jezeli:

w zbiorzeSzawiera si , e zbior ,

elementem zbioruSjest zdarzenie losoweA, tzn.A2S, to A2S,

1 S

i=1

dla zdarzen losowychA i 2S, (i= 1;2;:::)

A i 2S.

Aksjomatyczna denicja prawdopodobienstwa

Prawdopodobienstwem nazywamy funkcj , ePokreslon , a naS, przyjmuj , ac , a wartosci rzeczywiste i spelniaj , ac , a nast , epuj , ace aksjo-

maty:

dla kazdego zdarzenia losowegoA:P(A) > 0,

P() = 1,

dla zdarzen losowychA i ,i= 1;2;:::parami wykluczaj , acych si , e

1 [

1 X

A i ) =

P(A i )

i=1

Klasyczna denicja prawdopodobienstwa

Jezeli wszystkie zdarzenia elementarne s , a jednakowo mozliwe, to prawdopodobienstwo zdarzenia losowegoAjest ilorazem liczby

zdarzen elementarnych sprzyjaj , acych temu zdarzeniu przez liczb , e wszystkich zdarzen elementarnych, czyli

P(A) = k

gdziek{ liczba zdarzen sprzyjaj , acychA;n{ liczba wszystkich zdarzen elementarnych, przy czym zdarzenia, ktorych zajscia po-

woduj , a zajscie zdarzeniaA, nazywamy zdarzeniami sprzyjaj , acymi zdarzeniuA.

Geometryczna denicja prawdopodobienstwa

Prawdopodobienstwo zdarzenia losowegoAjest stosunkiem miar: zdarzen elementarnych sprzyjaj , acych zdarzeniuA(m A ) i wszyst-

kich zdarzen elementarnych (m )

P(A) = m A

Uwaga. Klasyczna denicja prawdopodobienstwa jest szczegolnym przypadkiem denicji geometrycznej, gdy za miar , e przyjmu-

jemy licznosci zbiorow zdarzen elementarnych.

Statystyczna denicja prawdopodobienstwa

Jezeli m n oznacza cz , estosc zdarzeniaA(m{ liczba obserwacji zdarzeniaA,n{ liczba wszystkich obserwacji) to

n :

P(A) =

lim

n!1

Prawdopodobienstwo warunkowe

Prawdopodobienstwem warunkowymP(AjB) zdarzeniaAprzy zalozeniu, ze zaszlo zdarzenieB, nazywamy iloraz prawdopodo-

bienstwa l , acznego zajscia zdarzenAiBoraz prawdopodobienstwa zdarzenia B

P(AjB) = P(A\B)

P(B) ;P(B)>0:

Zdarzenia zalezne i niezalezne

ZdarzenieAjest niezalezne od zdarzeniaB, jezeli zachodzi:

P(AjB) =P(A) orazP(B)>0; lub gdyP(B) = 0:

WowczasP(A[B) =P(A)P(B).

Prawdopodobienstwo calkowite (zupelne)

Jezeli zdarzeniaA 1 ;A 2 ;:::;A n s , a rozl , aczne parami i ich suma jest zdarzeniem pewnym, to prawdopodobienstwo dowolnego zda-

rzeniaBmozna obliczyc wedlug wzoru:

n X

P(B) =

P(A i )P(BjA i ):

i=1

Wzor Bayesa

Jezeli zdarzeniaA 1 ;A 2 ;:::;A n s , a rozl , aczne parami i ich suma jest zdarzeniem pewnym orazP(A k )>0 iP(B)>0, to

P(A k jB) = P(A k )P(BjA k )

n P

i=1

P(A i )P(BjA i )

Zadania

Zad 1.

Obliczyc prawdopodobienstwo, ze graj , acy w totolotka jednym kuponem otrzyma nagrod , e I stopnia.

Zad 2.

Z talii kart brydzowych losujemy 10 kart. Obliczyc prawdopodobienstwo, ze otrzymamy 1 waleta, 2 asy, 3 krole

i 4 damy.

Zad 3.

W kwadrat wpisano kolo, w kolo zas trojk , at rownoboczny. Obliczyc prawdopodobienstwo, ze losowo wybrany

punkt kwadratu jest

a) punktem kola

b) punktem trojk , ata.

Zad 4.

Dane s , a 4 kola koncentryczne o promieniach 1,2,3,4. Niech zdarzenieA n oznacza traenie w kolo o promieniu

n=1,2,3,4. Zaklada si , e, zeP(A n ) = 1. Oblicz prawdopodobienstwo zdarzen:

a)B=A 1 \A 2

b)C=A 2 \A 3

c)D=

A 2

Zad 5.

Obliczyc prawdopodobienstwo, ze wybrana liczba naturalna jest podzielna przez 2 lub przez 5.

Zad 6.

W windzie jest 7 pasazerow. Nikt nie wsiada. Winda zatrzymuje si , e na 10 pi , etrach. Obliczyc prawdopodo-

bienstwo, ze 2 pasazerow nie wysi , adzie na jednym pi , etrze.

Zad 7.

Dla zmniejszenia ogolnej liczby gier 2ndruzyn podzielono na dwie grupy pondruzyn. Oblicz prawdopodo-

bienstwa, ze dwie najsilniejsze druzyny znajduj , a si , e w grupach:

a) roznych

b) w tej samej.

Zad 8.

W urnie znajduje si , e dwadziescia jednakowych kul ponumerowanych od 1 do 20. Z urny losujemy kolejno bez

zwracania trzy kule. Oblicz prawdopodobienstwo zdarzen:

a) najwi , ekszy z wylosowanych numerow jest mniejszy odk, gdziek>4,

b) najwi , ekszy z wylosowanych numerow jest rownyk, gdzie 36k620.

Zad 9.

Z talii pi , ecdziesi , eciu dwu kart losujemy cztery karty, nast , epnie zwracamy je do talii, tasujemy i losujemy znowu

cztery, powtarzaj , ac doswiadczenie pi , ec razy. Oblicz prawdopodobienstwo wylosowania cztery razy co najmniej

jednego pika.

Zad 10.

Obliczyc prawdopodobienstwo, ze element wylosowany z partii elementow wyprodukowanych w danej fabryce

jest I gatunku, jezeli wiadomo, ze 5% calej produkcji to elementy wadliwe, a 80% elementow niewybrakowanych

jest I gatunku.

Zad 11.

Rynek zaopatrzony jest w ten sam towar przez trzy fabryki. Pierwsza zaopatruje rynek w 50%, druga w 30%.

Sredni procent brakow w produkcji pierwszej fabryki wynosi 3%, drugiej 4%, a trzeciej 5%. Kupiona sztuka

towaru okazala si , e brakiem. Obliczyc prawdopodobienstwo, ze pochodzi ona z drugiej fabryki. Z ktorej fabryki

jest najbardziej prawdopodobny zakup tego towaru?

Zad 12.

Kanalem l , acznosci nadaje si , e tylko 3 rodzaje sygnalow:AAAA,BBBB,CCCCodpowiednio z prawdopodo-

bienstwami 0.4, 0.3, 0.3. Sygnaly te podlegaj , a niezaleznie zakloceniom, w rezultacie czego, np. literaAmoze

byc odebrana jakoBlubC. Prawdopodobienstwo poprawnego przeslania albo przeklamania podaje tablica:

ABC

A0.8 0.1 0.1

B0.1 0.8 0.1

C 0.1 0.1 0.8

a) Znalezc prawdopodobienstwo odebrania na wyjsciu sygnalowCCCCiABCA.

b) Na wyjsciu odebrano sygnalyACAB,BBCA. Obliczyc prawdopodobienstwo, ze zostaly nadane jakoBBBB.

Zad 13.

W grupie szesciuset studentow 300 uczy si , e francuskiego, 200 niemieckiego, 150 angielskiego, 30 francuskiego

i angielskiego, 40 niemieckiego i angielskiego, 30 francuskiego i niemieckiego, 20 uczy si , e wszystkich trzech

j , ezykow. Oblicz prawdopodobienstwa, ze losowo wybrany student

a) uczy si , e francuskiego

b) uczy si , e francuskiego i nie uczy si , e angielskiego, jezeli wiadomo, ze uczy si , e niemieckiego.

Zad 14.

W zbiorze stu monet jedna ma po obu stronach orly, pozostale s , a prawidlowe. W wyniku pi , eciu rzutow losowo

wybran , a monet , a otrzymalismy 5 orlow.

a) Oblicz prawdopodobienstwo, ze byla to moneta z orlami po obu stronach.

b) Rzucononrazy monet , a i otrzymano same orly. Jak duza musi byc liczban, aby prawdopodobienstwo, ze

jest to moneta z dwoma orlami bylo wi , eksze od 1 2 ?

Zad 15.

Ze zbioru liczb f1;2;:::;2n;2n+ 1g,n>2 losujemy jednoczesnie dwie liczby. Przyjmujemy, zeA n oznacza

zdarzenie: otrzymamy dwie liczby, ktorych suma jest liczb , a parzyst , a, aB n oznacza zdarzenie: otrzymamy dwie

liczby, ktorych iloczyn jest liczb , a parzyst , a.

a) Oblicz

n!1 P(A n ) i

lim

n!1 P(B n )

lim

b) Oblicz

n!1 P(A n =B n ).

lim

Zad 16.

W loterii I stosunek losow wygrywaj , acych do przegrywaj , acych jest jak 1 do 2, a w loterii II jak 3 do 1. Po

zmieszaniu losow tych loterii przy kupnie jednego losu prawdopodobienstwo traenia losu wygrywaj , acego jest

takie samo jak przegrywaj , acego. Wyznacz liczb , e losow w loterii I i w loterii II, jesli w obu loteriach jest l , acznie

300 losow.

Zad 17.

Gospodyni rozdzielila 24 p , aczki pomi , edzy 6 gosci. Jaka jest szansa, ze:

a) Ktos nie dostanie p , aczka,

b) Kazdy dostanie co najmniej 2 p , aczki.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: