Równania_rozniczkowe.pdf

(265 KB) Pobierz
1. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU PIERWSZEGO
1.1 POJĘCIA WSTĘPNE
Def. 1.1.1 (równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu)
Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci:
(R)
y =
'
f
(
t
,
y
)
.
Uwaga . Będziemy się również posługiwali tzw. formą różniczkową równania różniczkowego, czyli równaniem postaci
0
tP .
Jednak najogólniejszą formą równania różniczkowego rzędu pierwszego jest równanie postaci
0
(
,
y
)
dt
+
Q
(
t
,
y
)
dy
=
tF .
Inaczej mówiąc równanie różniczkowe rzędu pierwszego jest zależnością między funkcją niewiadomą, zmienną niezależną i
pierwszą pochodną funkcji niewiadomej.
(
,
y
,
y
'
)
=
Def. 1.1.2 (rozwiązanie równania różniczkowego)
Funkcję y ( t ) nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego (R) na przedziale ( a,b ), jeżeli jest ona różniczkowalna na tym
przedziale oraz zamienia to równanie w tożsamość
(
)
y
'
(
t
)
º
f
t
,
y
(
t
)
,
prawdziwą dla wszystkich t Î ( a,b ). Wykres (rys. 1) rozwiązania równania różniczkowego nazywamy jego krzywą całkową.
Rys. 1 Krzywa całkowa
Uwaga . Analogicznie określamy rozwiązania na przedziałach postaci: [ a , b ), ( a , b ], [ a , b ], (-¥,b), (-¥,b], [a,¥), (-¥,¥). Przy
czym w przypadku, gdy rozwiązanie określone jest na przedziale domkniętym z jednego lub obu końców, przez jego pochodną
na końcu przedziału rozumiemy odpowiednią pochodną jednostronną. Rozwiązanie równania różniczkowego zadane w postaci
uwikłanej
t
nazywamy całką tego równania. Ponieważ każde rozwiązanie jest całką (niekoniecznie odwrotnie), więc często w odniesieniu
do rozwiązań używa się także terminu całka. Stąd mówimy zwyczajowo scałkować równanie różniczkowe, zamiast rozwiązać
równanie.
F
(
,
y
)
=
0
Def. 1.1.3 (zagadnienie początkowe)
Równanie różniczkowe (R) oraz warunek
(W)
ty =
nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego.
Uwaga . Zagadnienie początkowe będziemy zapisywali krótko
(RW)
(
0 )
y
0
=
Przy czym liczby t 0 i y 0 nazywamy wartościami początkowymi, a warunek (W) nazywamy warunkiem początkowym.
y
'
f
(
t
,
y
),
y
(
t
0 )
=
y
0
Def. 1.1.4 (rozwiązanie zagadnienia początkowego)
Funkcja y ( t ) jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego (RW), jeżeli jest rozwiązaniem równania (R) na pewnym przedziale
zawierającym t 0 i spełnia warunek (W).
Rys. 2
766916822.009.png 766916822.010.png
Uwaga . W interpretacji geometrycznej, rozwiązanie zagadnienia początkowego, polega na znalezieniu wśród wszystkich
krzywych całkowych równania (R) tej, która przechodzi przez punkt ( t 0 ,y 0 ) (rys.2). Jednak zagadnienie to niekoniecznie musi
mieć jednoznaczne rozwiązanie. Może istnieć więcej niż jedno rozwiązanie danego zagadnienia początkowego. Istnienie
rozwiązań zagadnienia początkowego oraz ich jednoznaczność jest jednym z głównych problemów teorii równań
różniczkowych zwyczajnych.
Tw. 1.1.5 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania (R))
f
Niech funkcja f ( t,y ) oraz jej pochodna cząstkowa
będą określone i ciągłe na obszarze domkniętym D Ì R 2 . Wtedy dla
y
każdego punktu ( t 0 ,y 0 ) Î D , zagadnienie początkowe (RW) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Uwaga . Inaczej mówiąc przy dowolnych wartościach początkowych wybranych z obszaru D istnieje zawsze rozwiązanie
zagadnienia początkowego (RW). Co więcej, jeżeli dane są dwa rozwiązania o tych samych wartościach początkowych (W),
przy czym każde z rozwiązań określone jest na pewnym przedziale zawierającym punkt t 0 , to rozwiązania te pokrywają się na
wspólnej części rozważanych przedziałów.
Def. 1.1.6 (rozwiązanie ogólne i szczególne równania różniczkowego)
Rodzinę funkcji
y =
y
( C
t
)
,
zależnych od parametru rzeczywistego C , nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania (R), jeżeli:
1. każda funkcja tej rodziny jest jego rozwiązaniem,
2. dla każdego warunku początkowego
y
(
t
0 )
=
y
, dla którego rozwiązanie istnieje i jest jednoznaczne można dobrać stałą C
0
ty = .
Każdą funkcję otrzymaną z rozwiązania ogólnego równania (R) przy ustalonej wartości parametru C nazywamy rozwiązaniem
szczególnym tego równania.
(
,
C
)
y
tak, aby
0
0
Uwaga . Rozwiązanie zagadnienia początkowego, jeżeli istnieje i jest jednoznaczne, jest rozwiązaniem szczególnym. W
praktyce znajomość rozwiązania ogólnego jest bardzo dogodna, gdyż przez odpowiedni dobór parametru C można otrzymać
rozwiązanie zagadnienia początkowego. Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego, określone w postaci uwikłanej
0
F
(
t
,
y
,
C
)
=
,
nazywamy całką ogólną tego równania.
1.2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH
Def. 1.2.1 (równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych)
Równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci
(S)
y =
'
g
(
t
)
h
(
y
)
.
Uwaga . Zauważmy, że jeżeli h ( y 0 ) = 0 dla pewnego y 0 , to funkcja y ( t ) º y 0 jest jednym z rozwiązań powyższego równania. W
formie różniczkowej o zmiennych rozdzielonych przyjmuje postać
dy
=
g
(
t
)
dt
.
h
(
y
)
Fakt 1.2.2 (całka ogólna równania (S))
Niech funkcje g ( t ) i h ( y ) będą ciągłe odpowiednio na przedziałach ( a,b ) i ( c,d ), przy czym h ( y ) ¹ 0 dla każdego y Î ( c,d ).
Wtedy całka ogólna równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych (S) dana jest wzorem
dy
ò
ò
=
g
(
t
)
dt
+
C
h
(
y
)
Uwaga . Całki w powyższym wzorze rozumiane są jako dowolne, lecz ustalone funkcje pierwotne.
Tw. 1.2.3 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania (S))
Niech funkcje g(t) i h(y) będą ciągłe odpowiednio na przedziałach (a,b) i (c,d) , przy czym h(y) ¹ 0 dla każdego y Î (c,d) .
Wtedy dla każdego punktu (t 0 ,y 0 ) , gdzie t 0 Î (a,b) , y 0 Î (c,d) , zagadnienie początkowe
y
'
=
g
(
t
)
h
(
y
),
y
(
t
0 )
=
y
0
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Uwaga . Inaczej mówiąc, przez każdy punkt ( t 0 ,y 0 ) prostokąta ( a,b )´( c,d ) przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa (rys.3)
równania y’ = g ( t ) h ( y ).
766916822.011.png 766916822.012.png
 
Rys. 3
1.3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE
Def. 1.3.1 (równanie różniczkowe jednorodne)
Równaniem różniczkowym jednorodnym nazywamy równanie postaci
y
æ
ö
y '
=
f
è
ø
(J)
.
t
y
y =
'
Uwaga . Jeżeli f ( u ) º u , to równanie jednorodne przyjmuje postać
i całkuje się przy pomocy metody rozdzielonych
t
zmiennych. Jego rozwiązanie ogólne dane jest wtedy wzorem y ( t ) = Ct , gdzie C Î R . jeżeli f ( u 0 ) = u 0 dla pewnego u 0 , to
jedynym rozwiązaniem równania (J) jest funkcja y ( t ) = u 0 t .
Fakt 1.3.2 (o zamianie zmiennych w równaniu jednorodnym)
Równanie jednorodne (J) przez zamianę zmiennych
y=ut
sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych postaci
tu’ = f ( u ) – u .
Tw. 1.3.3 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania (J))
Niech funkcja f ( u ) będzie ciągła na przedziale ( a,b ) i niech spełnia na nim warunek f ( u ) ¹ u . Wtedy dla każdego punktu ( t 0 ,y 0 )
y
0
a
<
<
b
takiego, że
zagadnienie początkowe
t
0
y
æ
ö
y
'
=
f
ç
è
÷
ø
,
y
(
t
0 )
=
y
0
t
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Rys. 4
Uwaga . Inaczej mówiąc, przez każdy punkt ( t 0 ,y 0 ) obszaru
y
ì
ü
(
t
,
y
)
:
a
<
<
b
,
t
przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa (rys. 4) równania (J).
766916822.001.png 766916822.002.png 766916822.003.png 766916822.004.png 766916822.005.png 766916822.006.png
 
1.4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE
Def. 1.4.1 (równanie różniczkowe liniowe)
Równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci
(L)
y
'
+
p
(
t
)
y
=
q
(
t
)
.
Jeżeli q ( t ) ¹ 0, to równanie nazywamy niejednorodnym. W przypadku przeciwnym nazywamy je jednorodnym.
Uwaga . Równanie różniczkowe liniowe jednorodne jest szczególnym przypadkiem równania różniczkowego o zmiennych
rozdzielonych y’=g ( t ) h ( y ), w którym przyjęto g ( t ) = – p ( t ), h ( y ) = y .
Tw. 1.4.2 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania (L))
Niech funkcje p ( t ) i q ( t ) będą ciągłe na przedziale ( a,b ), gdzie –¥ £ a < b £ ¥. Wtedy dla każdego punktu ( t 0 ,y 0 ), gdzie t 0 Î
( a,b ) oraz y 0 Î R , zagadnienie początkowe
+
ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone na przedziale ( a,b ).
y
'
p
(
t
)
y
=
q
(
t
),
y
(
t
0 )
=
y
0
Rys. 5
Uwaga . Inaczej mówiąc, przez każdy punkt pasa ( a,b ) ´ R przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa (rys. 5) równania
różniczkowego liniowego.
1.5 RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE BERNOULLIEGO
Def. 1.5.1 (równanie różniczkowe Bernoulliego)
Równaniem różniczkowym Bernoulliego nazywamy równanie postaci
y
'
+
p
(
t
)
y
=
q
(
t
)
y
r
,
gdzie r Î R-{0,1} .
Uwaga . Gdyby dopuścić r = 0, to równanie Bernoulliego byłoby równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym.
Natomiast dla r = 1, równanie to byłoby równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym. Zauważmy jeszcze, że dla r > 0
funkcja y ( t ) º 0 jest zawsze jednym z rozwiązań równania Bernoilliego.
Fakt 1.5.2 (sprowadzanie równania Bernoulliego do równania liniowego)
Równanie Bernoulliego
r
y
'
+
p
(
t
)
y
=
q
(
t
)
y
,
1
-
r
z
=
y
gdzie r ¹ 0, 1, przez zamianę zmiennych
sprowadza się do równania liniowego niejednorodnego postaci
)
z
'
+
(
-
r
)
p
(
t
)
z
=
(
-
r
)
q
(
t
.
1. 6 KRZYWE ORTOGONALNE
Def. 1.6.1 (równanie rodziny krzywych)
Jeżeli równanie
t
dla każdej wartości parametru C z pewnego przedziału określa krzywą, to nazywamy je równaniem rodziny krzywych (rys. 6).
F
(
,
y
,
C
)
=
0
Def. 1.6.1 (rodzina krzywych ortogonalnych)
Mówimy, że rodziny krzywych F( t,y,C ) = 0, Y( t,y,C ) = 0 są ortogonalne, jeżeli w każdym punkcie przecięcia krzywych z obu
rodzin, krzywe te tworzą między sobą kąt prosty (rys. 7).
766916822.007.png
Rys. 6
Rys. 7
Fakt 1.6.2 (równanie różniczkowe rodziny krzywych ortogonalnych)
Jeżeli F ( t,y,y’ ) = 0 jest równaniem różniczkowym rodziny krzywych, to równanie różniczkowe rodziny krzywych ortogonal-
nych ma postać
æ
ö
1
F
ç
t
,
y
,
- y
÷
=
0
.
'
è
ø
1.7 POJĘCIA WSTĘPNE DLA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH WYŻSZYCH RZĘDÓW
Def. 1.7.1 (równanie różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu)
Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie postaci
(R)
(
n
)
(
n
-
1
y
=
f
(
t
,
y
,
y
'
,...,
y
)
.
(
n
)
F
(
t
,
y
,
y
'
,...,
y
)
=
0
Uwaga . Najogólniejszą formą równania różniczkowego rzędu n jest wyrażenie postaci
.
Def. 1.7.2 (rozwiązanie równania różniczkowego n-tego rzędu)
Funkcję y ( t ), różniczkowalną n -krotnie na przedziale otwartym ( a,b ), nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego (R)
na tym przedziale, jeżeli zamienia to równanie w tożsamość
(
)
(
n
)
(
n
-
1
º
prawdziwą dla wszystkich t należących do przedziału t Î ( a,b ). Wykres rozwiązania równania różniczkowego nazywamy jego
krzywą całkową.
y
(
t
)
f
t
,
y
(
t
),
y
'
(
t
),...,
y
(
t
)
Def. 1.7.3 (zagadnienie początkowe)
Równanie różniczkowe (R) oraz warunki
(W)
y
(
t
)
=
y
,
y
'
(
t
)
=
y
,...,
y
(
n
-
1
(
t
)
=
y
,
0
0
0
1
0
n
-
1
nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego.
Uwaga . Zagadnienie początkowe będziemy zapisywali krótko
(RW)
(
)
(
n
)
(
n
-
1
(
n
-
1
fy ,
przy czym liczby t 0 i y 0 , y 1 , ..., y n-1 nazywamy wartościami początkowymi, a warunek (W) nazywamy warunkiem
początkowym.
=
t
,
y
,
y
'
,...,
y
,
y
(
t
)
=
y
,
y
'
(
t
)
=
y
,...,
y
(
t
)
=
y
0
0
0
1
0
n
-
1
Def. 1.7.4 (rozwiązanie zagadnienia początkowego)
Funkcja y ( t ) jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego (RW) jeżeli jest rozwiązaniem równania (R) na przedziale
zawierającym punkt t 0 i jeżeli spełnia warunki (W).
Def. 1.7.5 (rozwiązanie ogólne i szczególne równania różniczkowego)
Rodzinę funkcji
y =
y
(
t
,
C
,
C
,...,
C
)
1
2
n
zależnych od
n
rzeczywistych parametrów
C 1 ,
C 2 , ...,
C n
nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania
(
)
(
n
)
(
n
-
1
fy , jeżeli:
1. każda funkcja tej rodziny jest rozwiązaniem tego równania,
2. dla każdego układu warunków początkowych
=
t
,
y
,
y
'
,...,
y
y
(
t
0 )
=
y
y
'
(
t
0 )
=
y
(
n
-
1
y
(
t
)
=
y
,
, ...,
, dla którego rozwiązanie
0
1
0
n
-
1
istnieje i jest jednoznaczne, można dobrać stałe C 1 , C 2 , ..., C n tak, aby
ty .
Każdą funkcję otrzymaną z rozwiązania ogólnego równania (R) przy ustalonych wartościach parametrów C 1 , C 2 , ..., C n
nazywamy rozwiązaniem szczególnym tego równania.
(
,
C
,
C
,...,
C
)
=
y
,
y
'
(
t
,
C
,
C
,...,
C
)
=
y
,...,
y
(
n
-
1
(
t
,
C
,
C
,...,
C
)
=
y
0
1
2
n
0
0
1
2
n
1
0
1
2
n
n
-
1
766916822.008.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin